2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修2-3

3 1回归分析的基本思想及其初步应用 随机误差 0 越小 解释变量 预报变量 xi yi 越小 越好 1 下列变量是相关关系的是 a 人的身高与视力b 角的大小与所对的圆弧长c 小麦亩产量与总产量d 人的年龄与身高 答案 d 例1 某商场经营一批进价是30元 台的小商品 在市场试验中发现 此商品的销售单价x x取整数 元与日销售量y台之间有如下关系 线性回归分析 1 画出散点图 并判断y与x是否具有线性相关关系 2 求日销售量y对销售单价x的线性回归方程 3 设经营此商品的日销售利润为p元 根据 1 写出p关于x的函数关系式 并预测当销售单价x为多少元时 才能获得最大日销售利润 解题探究 作出散点图 根据散点图观察是否具有线性相关关系 解析 1 散点图如图所示 从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近 因此两个变量线性相关 8求线性回归方程的最大难点是系数计算较为烦琐 计算时要仔细认真 随时做好检查 防止错误数据给后续步骤带来连锁反应 为避免出错 以及出错后便于检查 可将公式分解分别求出 1 随着我国经济的快速发展 城乡居民的生活水平不断提高 为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系 该市统计部门随机调查了10个家庭 得数据如下 1 判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关 2 若二者线性相关 求回归直线方程 解析 1 作出散点图 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近 所以二者呈线性相关关系 例2 一个车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此进行了10次试验 测得的数据如下 1 建立零件数为解释变量 加工时间为预报变量的回归模型 并计算残差 2 你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗 拟合效果分析 解题探究 利用公式分别计算即可 解析 1 根据表中数据作出散点图 图略 从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据 计算得加工时间对零件数的线性回归方程为 0 668x 54 96 残差数据如下表 2 以零件数为横坐标 残差为纵坐标作出残差图如上图所示 由图可知残差点分布较均匀 即用上述回归模型拟合数据效果很好 但需注意 由残差图也可以看出 第4个样本点和第5个样本点的残差比较大 需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误 8 1 残差平方和越小 预报精确度越高 2 相关指数r2越大 说明模型的拟合效果越好 2 在一段时间内 某种商品的价格x 元 和需求量y 件 之间的一组数据为 求出y对x的回归直线方程 并说明拟合效果的好坏 例3 在一化学反应过程中 化学物质的反应速度y g min 与一种催化剂的量x g 有关 现收集了8组观测数据列于表中 试建立y与x之间的回归方程 非线性回归分析 解题探究 作出散点图可看出此题是非线性回归分析问题 样本点分布在一条指数函数曲线y c1ec2x的周围 不妨设变量z lny 然后对x与z作相关性检验 如果它们具有线性相关关系 就可以进一步求z对x的回归直线方程 这时再回代z lny 就得到了y对x的回归方程 解析 根据收集的数据 作散点图 如图 根据已有的函数知识 可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y c1ec2x的周围 其中c1和c2是待定的参数 令z lny 则z lny c2x lnc1 即变换后的样本点应该分布在直线z bx a a lnc1 b c2 的周围 由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表 作出z与x的散点图 如图 8非线性回归问题有时并不给出经验公式 此时可以由已知的数据画出散点图 再把散点图与已经学习过的函数 如幂函数 二次函数 指数函数 对数函数等 做比较 挑选出这些散点图拟合最好的函数模型 然后采用变量置换 把问题转化为线性回归分析问题 使问题得以解决 3 某种书每册的成本费y 元 与印刷册数x 千册 有关 经统计得到数据如下 示例 关于x与y有如下数据 对相关指数r2利用不当致错 错因分析 用相关指数r2来比较模型的拟合效果 r2越大 模型的拟合效果越好 并不是r2越小拟合效果越好 5 若两个变量不呈线性关系 就不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系 可以通过变换的方法转化为线性回归模型 例如y c1ec2x 我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系 令z lny 则变换后样本点应该分布在直线z bx a a lnc1 b c2 的周围 2 一位母亲记录了儿子3 9岁的身高 由此建立的身高与年龄的回归模型为y 7 19x 7