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文档简介
1990年全国初中数学联合竞赛试卷第 一 试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1的值是( )(A)1 (B)1 (C)2 (D)22在ABC中,AD是高,且AD2 = BDCD,那么BAC的度数是( )(A)小于90 (B)等于90 (C)大于90 (D)不确定3方程是实数)有两个实根、,且01,12,那么k的取值范围是( )(A)3k4; (B)2k1;(C)3k4或2k1(D)无解。4恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同,那么这个相同整数是( )(A)17 (B)18 (C)35 (D)365ABC中,设为边上任一点,则( )(A)(B)(C)(D)的大小关系并不确定6若六边形的周长等于20,各边长都是整数,且以它的任意三条边为边都不能构成三角形,那么,这样的六边形( )(A)不存在 (B)只有一个(C)有有限个,但不只一个 (D)有无穷多个7若的尾数是零,且,那么下列四个结论: (1) ;(2);(3)(3)中,正确的结论的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)48如图,点,分别在的边上、上,且,那么,面积的最大值是( )(A) (B)2 (C) (D)3二、填空题1已知,则= 2,1234567892的和的个位数的数字是 3方程,有两个整数根,则 4中,边有100个不同的点,记 ( 1,2,100) 则 = 第 二 试一、已知在凸五边形ABCDE中,BAE = 3,BC=CD=DE,且BCD=CDE=1802,求证:BAC=CAD=DAE二、表示不超过实数的最大整数,令(1)找出一个实数,满足(2)证明:满足上述等式的,都不是有理数三、设有个正方形方格棋盘,在其中任意的个方格中各有一枚棋子求证:可以选出行和列,使得枚棋子都在这行和列中1990年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、选择题1(D) 原式=2(D)如图,由,有2 即 ,可得BAC90如图,虽然,点在外,90,90因此的度数不确定3.(C)记由4.(A)高这35个连续自然数最小的是,最大的是 ,即, 5.(C)如图,设,在中,由余弦定理,有BPcosB在中,由余弦定理,有 而 令 6.(D)若能找到6个整数使满足(1);(2),; ,;(3) 则以为边长的六边形,即可符合要求事实上,对任选三整数16,必有,可见此六边形的任三边不能构成一个三角形现取 ,则,满足全部条件.故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7. (A)由.所以 0得,所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的.这样,只有结论(4)是正确的.事实上,由,可得 又因为.因为为整数,所以=-1,即,结论(4)正确.8. (B)首先,若以,分别记,则S,S,S均不大于.又因为,所以易证:(,分别为公共边PR上的高,因若作出PQR关于PR的对称图形PQR,这时Q,A都在以PR为弦的含A的弓形弧上,且因PQ=QR,所以Q为这弧中点,故可得出h1h2)。从而S,这样=S+S+S+SN最后,当AB=AC-2,A=90时,SABC=2即可以达到最大值2。二、填空题1 622 5因 123456789=1012345678+9所以所求数字等于(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)12345678+(1+4+9+6+5+6+9+4+1)的结果的个位数字。即58+5=45的个位数的数字,故所求数字为5。3 8原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根,由x1+x2=a+8,知a为整数,因此,x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=1) 所以a=8 4400作ADBC,如图,则BD=DC。设BD=DC=y,DPi =x,则 .第二试一.证明 如图, 连BD, CE.因 . 又 ,.二.解法1 设, 若 x+=+=1 是整数。 令 即 解得 当易验证它不满足所设等式。当3时,是满足等式的全体实数。由于不是完全平方数(事实上,若则但当3时,两个平方数之差不小于5)。所以x是无理数,即满足题设等式的x,都不是有理数。解法2 (1)取或 (2)用反证法证明之。 反设满足等式之x为有理数。 首先,若x为整数,则x=0,代入等式得=1,与01矛盾。 其次,若x为非整数的有理数。 令 (其中n,p,q均为整数1. qp且(q,p)=1) 则(其中s,r为整数当n0时0rnp+q当n-1时,np+qr0) = 若x满足等式,即即.从而得.即矛盾.故满足等式之x都不是有理数.三.证明 设各行的棋子数分别.且.由题设 选取含棋子数为的这n行,则 ,否则
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