安徽太和中学高三数学一轮复习第6讲空间距教案

第六讲 空间距（上、下）一、考情分析空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离在空间的距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点本讲主要是培养考生的观察思考能力、空间想象能力、分析能力，培养考生的严谨的逻辑推理能力以及转化与化归的数学思想的应用二、二、知识归纳及例析（一）空间距的求解思路：作证求（二）两点之间的距离（1）异面直线上两点之间的距离解决思路：化归法；向量法：在上取一点, 在上取一点, 设分别为异面直线的方向向量，设异面直线的公共的垂直向量为，则异面直线的距离为：（此方法移植于点面距离的求法）公式法：；例1：如图，分别是异面直线上的两点，是异面直线的公垂线，证明：解析：法1：化归法；法2：向量法；例2：四边形中，对棱所成的角为，分别是的中点，求解析：如图，或，则：或（2）几何体表面上两点之间的距离解决思路：借助于几何体的平面展开图解决问题例3：长方体的长、宽、高分别为4、3、5，一只蚂蚁从点在表面上爬到处，求蚂蚁爬行的最短路程解析：蚂蚁从点在表面上爬到处，有如下三种情形：以上三种情形的最短路程分别是，故蚂蚁爬行的最短路程是例4：（05年江西卷）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为 解析：沿棱柱的表面从到两点的途径有四种情形： 以上四种情形的最短路程分别是，故沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为例5：正四面体的棱长为，从的中点经过每个表面绕一周回到处，求绕行的最短途径解析：如下图展开（途径的棱不能被剪开），显然，绕行的最短途径为，此时，四边形是正方形（3）球面距解决思路：例6：地球上纬度为的两点间的经度差为，求间的距离解析：，故间的距离为（三）点到直线的距离例7：边长为的正六边形所在平面为，求：（1）点到直线的距离；（2）点到直线的距离解析：如图，（1）；（2）（四）点到平面的距离解决思路：（1）化归法：；（2）等积法；（3）向量法：例8：已知是边长为4的正方形，分别是的中点，垂直于所在平面，且，求点到平面的距离解析：法1：直接作出所求之距离，求其长如图，延长交的延长线于， 连 结，作，交于，则平面作于，易证平面平面作，垂足为，则是点到平面的距离亦即： ； 易知：故点到平面的距离 法2：利用直线到平面的距离确定如图，易证平面，所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距离亦即：，作为垂足，易知：故点到平面的距离 法3：等积法解法4如图，设点到平面的距离为，则；易知：故点到平面的距离法4：向量法建系如图，设平面的法向量为，则：，故点到平面的距离（五）直线到直线的距离（1）两条平行线间的距离（略）（2）两条异面直线间的距离解决思路：（1）定义法：作出公垂线，确定公垂线段，证明并加以求解；（2）化归法：；时，例9：棱长为1的正方体中，求以下异面直线的距离：（1）异面直线；（2）异面直线；（3）异面直线解析：（1），故异面直线的距离为；（2），故异面直线的距离为；（3），异面直线的距离为翰林汇例10：棱长为1的正方体中，分别为中点，求异面直线的距离解析：，异面直线的距离就是平面与平面的距离故异面直线的距离是（六）直线与平面之间的距离解决思路：；例11：正三角形所在平面为，分别是的中点，求与平面的距离解析：如图，过点作，交的延长线于，则：故与平面的距离是（七）两个平行平面之间的距离解决思路：；例12：棱长为1的正方体中，