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第八讲定解问题复习 定解问题的导出及解决 李小燕 1 泛定方程 定解问题 演化方程 稳定方程 线性边界条件 自然边界条件 初始状态 初始速度 波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 周期性 有界性 第三类 定解条件 边界条件 初始条件 2 定解问题的导出步骤 确定物理量 速度 位移 研究邻近点的相互作用 抓主要矛盾 忽略次要矛盾 短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响将这种影响用数学关系式表达出来 并简化整理 数学物理方程 3 定解条件 引入定解条件的必要性 从物理多角度看 物理方程仅能表示一般性 要个性化物体的运动需要附加条件 从数学上看 微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定 这些附加的条件就是初始条件和边界条件 统称为定解条件 初始条件 能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件 边界条件 能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件 4 初始时刻的温度分布 B 热传导方程的初始条件 C 泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件 只含边界条件条件 A 波动方程的初始条件 1 初始条件 描述系统的初始状态 系统各点的初位移系统各点的初速度 称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件 初始条件应该完全描写初始时刻 t 0时 介质内部及边界上任意一点的状况 初始条件的个数 等于方程中关于时间偏导数的阶数 5 2 自由端 x a端既不固定 又不受位移方向力的作用 2 边界条件 描述系统在边界上的状况 A 波动方程的边界条件 1 固定端 对于两端固定的弦的横振动 其为 或 3 弹性支承端 在x a端受到弹性系数为k的弹簧的支承 或 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 6 B 热传导方程的边界条件 1 给定温度在边界上的值 S为给定区域v的边界 2 绝热状态 3 热交换状态 牛顿冷却定律 单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比 交换系数 周围介质的温度 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 C 拉普拉斯方程的边界条件 7 其他边界条件 1 衔接条件背景 系统中出现跳跃点 研究方法 具体问题具体分析 在跳跃点处寻找连续条件 2 自然边界条件边界值为有限的 周期边界条件 8 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 特征方程 特征根 9 1 有两个不相等的实根 齐次方程的通解为 特征根为 2 有两个相等的实根 特征根为 齐次方程的通解为 3 有一对共轭复根 特征根为 齐次方程的通解为 二阶常系数齐次线性微分方程的解 10 齐次边界条件齐次方程的解 偏微分方程 常微分方程1 初始条件 齐次边界条件 常微分方程2 解1 解2 本征解解1 解2 通解 本征解 分离变量 确定叠加系数 11 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 12 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 13 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 14 用分离变量法求解定解问题的步骤 定解问题 选择合适的坐标系 边界条件非齐次转换为齐次边界条件 非齐次方程 齐次定解条件特征函数法 齐次方程 齐次边界条件分离变量法 非齐次方程 齐次边界条件 特解法 15 齐次边界非齐次初始条件下非齐次方程的解法 16 齐次定解条件非齐次方程的解 17 齐次边界非齐次初始条件非齐次方程的解 18 设定 19 泊松方程 特解法 待求 20 非齐次边界条件的处理 一 一般处理方法 21 二 特殊处理方法 在圆形域求解 22 圆域内 圆域外 23 长为的杆 上端固定在电梯天花板 杆身竖直 下端自由 电梯下降 当速度为时突然停止 求解杆的振动 磁致伸缩换能器 鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆 它作纵振动 研究两端自由棒的自由纵振动 即定解问题 研究细杆导热问题 初始时刻杆的一端温度为零度 另一端跟外界绝热 杆上初始温度为 试求无热源时细杆上温度的变化 长为l 两端固定的弦 在单位长度上受横向力g x sinwx的作用下做小振动 已知弦的初始位移和速度分别为j x 和f x 求其横振动的规律 有一长为l 侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆 它的一端保持温度始终为零度 而另一端温度随时间直线上升 求杆的温度分布 1 2 3 4 5 24 长为的杆 上端固定在电梯天花板 杆身竖直 下端自由 电梯下降 当速度为时突然停止 求解杆的振动 解 I II 25 26 磁致伸缩换能器 鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆 它作纵振动 研究两端自由棒的自由纵振动 即定解问题 解 由边界条件知特征值和特征函数 27 由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数 比较两边的系数 得 由叠加原理 一般解为 28 解 杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 研究细杆导热问题 初始时刻杆的一端温度为零度 另一端跟外界绝热 杆上初始温度为 试求无热源时细杆上温度的变化 于是得特征值和特征函数为 29 由叠加原理 得 确定系数 由初值条件知 于是 30 长为l 两端固定的弦 在单位长度上受横向力g x sinwx的作用下做小振动 已知弦的初始位移和速度分别为j x 和f x 求其横振动的规律 令U x t v x t w x t 代入定解问题 定解问题 解 31 即 定解问题 定解问题 定解问题 的特解为 32 33 34 解 有一长为l 侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆 它的一端保持温度始终为零度 而另一端温度随时间直线上升 求杆的温度分布 令U x t v x t w x t 代入定解问题 设杆长方向为x轴 x l端保持温度始终为零度 x 0端温度随时间直线上升 比例系数为常数c 则定解问题为 视v x t 为原方程的特解 考虑到非齐次边界条件 取 35 将v x t 代入原定解问题的边界条件 得 可知 原定解问题化为w x t 满足的定解问题 边界条件 初始条