2020新课标高考艺术生数学复习：离散型随机变量的分布列及均值与方差含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：离散型随机变量的分布列及均值与方差含解析编 辑：_时 间：_第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差最新考纲核心素养考情聚焦1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念、了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程、并能进行简单的应用3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差、并能解决一些实际问题1.离散型随机变量的分布列、达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养2.离散型随机变量的期望与方差、增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养3.超几何分布、增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养2020年的高考预计与分布列相结合、考查期望、方差、通过设置密切贴近现实生活的场景、考查概率思想的应用意识和创新意识一般以解答题形式出现、难度中等1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、所有取值可以一一列出的随机变量、称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地、若离散型随机变量X可能取的不同值为x1、x2、xi、xn、X取每一个值xi(i1,2、n)的概率P(Xxi)pi、则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1,2、n)；p1p2pn13常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布、其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中、任取n件、其中恰有X件次品、则P(Xk)、(k0,1,2、m、其中mminM、n、且nN、MN、n、M、NN*)、称分布列为超几何分布列如果随机变量X的分布列具有下表的形式、则称随机变量X服从超几何分布X01mP4.离散型随机变量X的均值与方差(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)方差：称D(X)n,i1 (xiE(X)2pi为随机变量X的方差、它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度、称其算术平方根为随机变量X的标准差(3)均值与方差的性质：E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a、b为常数)1.随机变量的线性关系若X是随机变量、YaXb、a、b是常数、则Y也是随机变量2分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的、利用这一点可以求相关事件的概率思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)随机试验所有可能的结果是明确的、并且不止一个( )(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出( )(3)随机变量的均值是常数、样本的平均值是随机变量、它不确定()(4)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人、其中女演员的人数X服从超几何分布( )(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度、方差或标准差越小、则偏离均值的平均程度越小( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 小题查验1袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后、若取得黑球则另换1个红球放回袋中、直到取到红球为止若抽取的次数为、则表示“放回5个红球”事件的是()A4B5C6D5解析：C“放回五个红球”表示前五次摸到黑球、第六次摸到红球、故6. 故选C.2(人教A版教材P49A组T5改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍、用随机变量X去描述1次试验的成功次数、则P(X0)等于()A0 B. C. D.解析：C设失败率为p、则成功率为2p.X的分布列为X01Pp2p即“X0”表示试验失败、“X1”表示试验成功、由p2p1得p、故选C.3已知某离散型随机变量X的分布列如下表、则随机变量X的方差D(X)等于( )X01Pm2mA. B. C. D.解析：B由已知得m2m1得m、由于X服从两点分布、所以D(X)m2m.4(20xx市模拟)一盒中有12个乒乓球、其中9个新的、3个旧的、从盒子中任取3个球来用、用完即为旧的、用完后装回盒中、此时盒中旧球个数X是一个随机变量、则P(X4)的值为_解析：事件“X4”表示取出的3个球有1个新球、2个旧球、故P(X4).答案：5设离散型随机变量的可能取值为1,2,3,4、P(k)akb(k1,2,3,4)又E()3、则ab_.解析：因为P(1)P(2)P(3)P(4)10a4b1、又E()30a10b3、解得a、b0、所以ab.答案：考点一离散型随机变量的分布列(自主练透)题组集训1已知2件次品和3件正品混放在一起、现需要通过检测将其区分、每次随机检测一件产品、检测后不放回、直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元、设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)、求X的分布列和均值(数学期望)解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A、P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)、P(X300)、P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PE()2003004002090240350.2(20xx市模拟)盒内有大小相同的9个球、其中2个红色球、3个白色球、4个黑色球规定取出1个红色球得1分、取出1个白色球得0分、取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设为取出的3个球中白色球的个数、求的分布列解：(1)P1.(2)记“取出1个红色球、2个白色球”为事件B、“取出2个红色球、1个黑色球”为事件C、则P(BC)P(B)P(C).(3)可能的取值为0,1,2,3、服从超几何分布、P(k)、k0,1,2,3.故P(0)、P(1)、P(2)、P(3).的分布列为0123P求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义、写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率、在求解时、要注意应用计数原理、古典概型等知识考点二离散型随机变量的期望与方差(师生共研)典例(20xx贵阳监测)从A地到B地共有两条路径L1和L2、经过这两条路径所用的时间互不影响、且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图和.现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地、乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地(1)求图中a的值；并回答、为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地、甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数、针对(1)中的选择方案、求X的分布列和数学期望解(1)(0.010.023a)101、解得a0.03、用Ai表示甲选择Li(i1,2)在40分钟内从A地到B地、用Bi表示乙选择Li(i1,2)在50分钟内从A地到B地、则P(A1)(0.010.020.03)100.6、P(A2)(0.010.04)100.5、P(A1)P(A2)、所以甲应选择L1.又P(B1)(0.010.020.030.02)100.8、P(B2)(0.010.040.04)100.9、P(B2)P(B1)、所以乙应选择L2.(2)用M、N分别表示针对(1)的选择方案、甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地、由(1)知P(M)0.6、P(N)0.9、X的可能取值为0,1,2.由题意知、M、N相互独立、所以P(X0)0.40.10.04、P(X1)0.40.90.60.10.42、P(X2)0.60.90.54、所以X的分布列为X012P0.040.420.54所以E(X)00.0410.4220.541.5.求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)理解的意义、写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值的定义求E()；(5)由方差的定义求D()跟踪训练随着网络营销和电子商务的兴起、人们的购物方式更具多样化。某调查机构随机抽取10名购物者进行采访、5名男性购物者中有3名倾向于选择网购、2名倾向于选择实体店、5名女性购物者中有2名倾向于选择网购、3名倾向于选择实体店(1)若从10名购物者中随机抽取2名、其中男、女各一名、求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名、设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数、求X的分布列和数学期望解：(1)设“随机抽取2名、其中男、女各一名、至少1名倾向于选择实体店”为事件A、则表示事件“随机抽取2名、其中男、女各一名、都倾向于选择网购”、则P(A)1P()1.(2)X所有可能的取值为0,1,2,3、且P(Xk)、则P(X0)、P(X1)、P(X2)、P(X3).所以X的分布列为X0123PE(X)0123.考点三超几何分布(师生共研)典例(20xx天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人、进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足、3人睡眠充足、现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查()用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数、求随机变量X的分布列与数学期望；()设A为事件“抽取的3人中、既有睡眠充足的员工、也有睡眠不足的员工”、求事件A发生的概率解析(1)由已知、甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322、由于采用分层抽样的方法从中抽取7人、因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人(2)()随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以、随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.()设事件B为“抽取的3人中、睡眠充足的员工有1人、睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中、睡眠充足的员工有2人、睡眠不足的员工有1人”、则ABC、且B与C互斥、由()知、P(B)P(X2)、P(C)P(X1)故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以、事件A发生的概率为.1超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的特征：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体、考查某类个体个数X的概率分布3超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型、其实质是古典概型跟踪训练(20xx河南豫南九校二模)为创建国家级文明城市、某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”、该城市某出租车公司共200名司机、他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人、设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X、求X的分布列及数学期望解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人、送考2次的有100人、送考3次的有80人、所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2.3.(2)从该公司任选两名司机、记“这两人中一人送考1次、另一人送考2次”为事件A、“这两人中一人送考2次、另一人送考3次”为事件B、“这两人中一人送考1次、另一人送考3次”为事件C、“这两人送考次数相同”为事件D、由题意知X的所有可能取值为0,1,2、P(X1)P(A)P(B)、P(X2)P(C)、P(X0)P(D)、所以X的分布列为X012PE(X)012.1(20xx市模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛、设随机变量表示所选3人中女生的人数、则P(1)等于()A.B.C.D.解析：DP(1)1P(2)1.故选D.2设随机变量的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)、则P等于()A. B. C. D.解析：C由已知、分布列为12345Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得a2a3a4a5a1、解得a.PPPP.故选C.3随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a、b、c成等差数列若E(X)、则D(X)的值是()A. B. C. D.解析：Babc1.又2bac、故b、ac.由E(X)、得ac、故a、c.D(X)222.故选B.4体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次、一旦发球成功、则停止发球、否则一直发到3次为止设某学生一次发球成功的概率为p(p0)、发球次数为X、若X的数学期望E(X)1.75、则p的取值范围是()A. B.C. D.解析：B根据题意、学生一次发球成功的概率为p、即P(X1)p, 发球二次的概率P(X2)p(1p)、发球三次的概率P(X3)(1p)2、则E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3、依题意有E(X)1.75、则p23p31.75、解得p或p、结合p的实际意义、可得0p、即p.故选B.5有10件产品、其中3件是次品、从这10件产品中任取两件、用表示取到次品的件数、则E()等于()A. B. C. D1解析：A服从超几何分布P(X)(x0,1,2)、P(0)、P(1)、P(2).E()012.故选A.6(20xx市二模)已知随机变量X的分布列如表：Xa234Pb若E(X)2、则a_；D(X)_.解析：由随机变量X的分布列及E(X)2、得：、解得D(X)(02)2(22)2(32)2(42)2.答案：07(20xx市模拟)设袋中有10个红球和5个黑球、不放回的抽取4次、每次抽取一个、设抽到的黑球个数为X、则E(X)_.解析：袋中有10个红球和5个黑球、不放回的抽取4次、每次抽取一个、设抽到的黑球个数为X、则X的可能取值为0,1,2,3,4、P(X0)、P(X1)、P(X2)、P(X3)、P(X4)；X的分布列为 X01234P数学期望为E(X)01234.答案：8某公司有5万元资金用于投资开发项目、如果成功、一年后可获利12%；如果失败、一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是_元解：由题意知、一年后获利6 000元的概率为0.96、获利25 000元的概率为0.04、故一年后收益的期望是6 0000.96(25 00