函数图象变换及综合运用高三数学总复习教案新课标人教

函数图象变换及综合运用高三数学总复习教案http:/www.DearEDU.com重点难点分析： 函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面刻画函数的变化规律。通过函数图象，可以形象地反映函数的性质，利用函数图象既有助于记忆各类初等函数的性质，又可以运用数形结合的方法去解决某些问题。在中学阶段，画函数图象有两种基本方法，一是描点法，这种方法要与研究函数性质结合起来，切忌画图的随意性；二是图象变换法，它是把常见函数图象与图象变换的知识结合起来，可以研究各种不同函数的性质。在这一部分，首先应熟悉各种变换规则，并且从各个角度将不同变换方法进行对比，从中总结规律，达到熟练掌握的目的。 例题讲解： 例1若f(x)的图象过(0,1)点，则f-1(x)的图象过_点，f(x+1)的图象过_点，f-1(x+1)的图象过_点。 分析：由于f(x)的图象与f-1(x)的图象关于直线y=x对称，所以f-1(x)的图象过(1,0)点。 f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移一个单位得到，而f(x)的图象过(0,1)点，所以f(x+1)的图象过(-1,1)点。 f-1(x+1)的图象是由f-1(x)的图象向左平移一个单位得到，而f-1(x)的图象过(1,0)点，所以f-1(x+1)图象过(0,0)点。 注意：f(x)与f-1(x)图象关于y=x对称，而f(x+1)与f-1(x+1)的图象并不关于y=x对称，事实上它们不是函数与反函数的关系。读者可以按照上面所说的平移、对称的过程作图，可发现它们是关于y=x+1对称的。 例21）把函数y=(x-2)2+2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为_。2）将函数y=2x的图象向_平移_个单位，再作关于直线y=x对称的图象可得出函数y=log2(x+1)的图象。 分析：关于函数图象变换经常会考察这两个内容，给出函数解析式说明变换过程，或给出变换过程写解析式。 1)中，把图象左移一个单位，解析式变为y=(x+1-2)2+2=(x-1)2+2,向上平移一个单位，解析式变为y=(x-1)2+2+1=(x-1)2+3. 2）中，先逆向考虑，y=log2(x+1)图象作关于y=x对称的图象得原函数为y=2x-1，因而应将y=2x的图象向下平移一个单位得到。 例3函数y=21-x与y=21+x的图象关于_对称。 分析：（一）把它们都看成是由y=2x作图象变换而得到的。 y=2xy=2x+1. y=2xy=2-x y=2-(x-1)=21-x. 从而y=21+x与y=21-x图象关于y轴对称。 （二）不妨设f(x)=21+x则f(-x)=21-x. 而f(x)与f(-x)图象关于y轴对称，因而y=21+x图象与y=21-x图象关于y轴对称。 注意：在横轴上的平移，对称，翻折，伸缩等变换，都是相对于自变量x而言，即要分析前后x发生了什么样的变化，来确定图形的变化。如y=f(2x)y=f2(x-1)，只能是自变量x减去1，又y=f(x+1)y=f(-x+1)，负号只能加在自变量x上。上题中，由y=2-x到y=2-x+1，并非向左平移一个单位，“+1”仅仅是“-x”加上1，对于自变量x而言，发生的变化是由x变成x-1，因而是向右平移一个单位。 例4函数y=x2-3|x|+(xR)的单调区间有_。 分析：设f(x)=x2-3x+,则y=x2-3|x|+=(|x|)2-3|x|+=f(|x|), 由翻折变换知 因而，函数的增区间有-，0和,+)；减区间有(-,-和0, . 注意：这两个增区间和减区间不能合并，事实上，y=x2-3|x|+在-，0,+)不具有单调性。 例5已知函数f(x)的图象如图，求作y=f-1(-x+1)的图象。 分析：y=f(x) y=f-1(x) y=f-1(-x) y=f-1-(x-1)=f-1(1-x). 注意：不能先得到y=f(1-x)再作关于y=x的对称图象，因为y=f(1-x)与y=f-1(1-x)不是互为反函数的关系。 例6作函数y=的图象。 分析：必须选择好变换的顺序。 y=y= y= 注意：在第二步中，翻折变换是对x而言，因而绝对值应加在x上。本题不能先翻折再平移，因为 y= y=y=, 所得并非所求图象。 例7试讨论方程 |x2-4x+3|=a的解的个数(aR). 分析：本题采用数形结合的方式。 把方程的解的个数看成函数y=|x2-4x+3|和函数y=a的交点个数。 y=|x2-4x+3|的图象是y=x2-4x+3的图象保留x轴以上部分，将x轴以下部分沿x轴翻折上来形成的图象，而y=a是一条垂直于y轴的直线，如图，由图象可知，a1时，方程有两个实数解；a=1时，方程有三个实数解；0a1时，方程有四个实数解。 例8给定实数a，a0且a1，设函数y=(xR,x). 求证：这个函数图象关于直线y=x成轴对称图形。 分析：（一）要证明f(x)的图象关于y=x对称，需要证明y=f(x)图象上任意一点P关于y=x的对称点P仍在y=f(x)的图象上。因而设P(x0,y0)是y=f(x)上任一点，则y0=，而P(x0,y0)关于直线y=x的对称点的坐标为P(y0,x0),只需验证P(y0,x0)也在y=f(x)上。 f(y0)=x0, (y0,x0)也在y=f(x)的图象上， y=f(x)=(xR,x)图象关于y=x对称。 （二）联想到函数与反函数图象之间的关系，我们只需证明函数的反函数就是它本身即可。从而由 y=()=(1+) x, 0, y, 反解x，得x=( y) 即f-1(x)=(x)， f(x)=f-1(x),又 y=f(x)与y=f-1(x)图象关于y=x对称， y=f(x)=(x)的图象关于直线y=x成轴对称图形。 注意：函数与反函数的图象对称是两个函数关于y=x的对称问题，而本题是要证明函数图象自身关于y=x对称。 例9已知f(x)当xR时恒满足f(2+x)=f(2-x)，若方程f(x)=0恰有5个不同的实数根，求各根之和。 分析：由f(2+x)=f(2-x)，则y=f(x)图象关于x=2对称，从而f(x)=0的解若2则应成对出现。由题意，作出草图如右， x1+x2+x3+x4+x5=10. 例10已知x1是方程x+lgx=3的解，x2是方程x+10x=3的解，则x1+x2=_. 分析：方程化为lgx=3-x, 10x=3-x, x1为y=lgx与y=3-x交点横坐标，x2为y=10x与y=3-x交点横坐标， y=lgx与y=10x互为反函数，其图象关于y=x对称，而y=x与y=3-x垂直，从而，如图中A、B关于y=x对称，AB中点为M， 联立， 可求M(,), 由中点坐标公式 ， x1+x2=3. 例11若f(x)=|lgx|,当abf(c)f(b).则下列不等式中正确的为（ ）。 A、(a-1)(c-1)0 B、ac1 C、ac=1 D、ac1 分析：作出y=|lgx|的图象，可知其单调性， 若1abc，则f(a)f(b)f(c). 若0abcf(b)f(c)，与已知矛盾。 a1而b不定，又|lga|lgc|, -lgalgc, lga+lgc=lg(ac)0, ac0,y-0, , 从而 f-1(x)=()2 (xR). 2)显然f-1(x)过(0,1)点，从而f(x)过(1,0)点，而要判断y=f-1(x)与y=x有无交点，只要判断y=f(x)与y=x有无交点。作y=f(x)示意图如右： 0x1时，f(x)在(0,+)单增，f(x)f(1)=0x, f(x)1时，f(x)=x. 综上，x0时