2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2VIP

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种 1 若从公共点的数目分 可以分为 只有一个公共点 相交 平行 异面 相交 平行 异面 不同在任何一个平面内 平行线的传递性 a c 4 等角定理空间中如果两个角的两边分别 那么这两个角 或 5 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的 或 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 2 异面直线所成的角 的取值范围 3 当 时 a与b互相垂直 记作 平行 相等 互补 锐角 直角 0 90 90 a b 1 判一判 正确的打 错误的打 1 分别在两个平面内的直线一定为异面直线 2 两条直线垂直 则一定相交 3 两条直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 若正方体abcd a1b1c1d1中 点e在棱bc上且 bae 25 1 写出下列直线的位置关系 ae与dd1是 直线 a1b1与cd是 直线 2 异面直线ae与b1c1所成的角的大小为 答案 1 异面平行 2 65 3 思一思 已知直线a b是两条异面直线 在空间中任取一点o 作直线a a b b 那么直线a b 所成的角等于异面直线a b所成的角吗 解析 根据定理可知a 与b 所成的角等于a b所成的角 例1 1 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l至少与l1 l2中的一条相交b l与l1 l2都相交c l至多与l1 l2中的一条相交d l与l1 l2都不相交 空间两条直线的位置关系 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 判断下列直线的位置关系 直线a1b与直线d1c的位置关系是 直线a1b与直线b1c的位置关系是 直线d1d与直线d1c的位置关系是 直线ab与直线b1c的位置关系是 解题探究 1 本题考查直线 平面的位置关系 可利用反证法证明 2 先判断各对直线是否共面 再判断具体位置关系 答案 1 a 2 平行 异面 相交 异面 解析 1 假设l和l1 l2都不相交 l和l1 l2都共面 l和l1 l2都平行 l1 l2 l1和l2共面 这与已知l1和l2异面相矛盾 故假设不成立 即l至少与l1 l2中的一条相交 故选a 2 因为直线a1d1与bc平行且相等 所以四边形a1bcd1为平行四边形 所以直线a1b与直线d1c平行 点a1 b1 b在平面abb1a1内 而点c不在平面abb1a1内 所以直线a1b与直线b1c异面 直线d1d与d1c相交于d1 同 直线ab与直线b1c也是异面直线 8 1 判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断 而两条直线平行也可以用公理4判断 2 判定两条直线是异面直线有定义法和排除法 由于使用定义判断不方便 故常用排除法 即说明这两条直线不平行 不相交 则它们异面 1 1 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 相交或异面 2 若直线a b c满足a b a c异面 则b与c a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 答案 1 d 2 c 解析 1 一条直线和两条平行直线中的一条是异面直线 它和另一条直线不可能平行 故它和另一条直线的位置关系是相交或异面 2 若a b a c是异面直线 那么b与c不可能平行 否则由公理4知a c 例2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m m1分别是棱ad和a1d1的中点 求证 1 四边形bb1m1m为平行四边形 2 bmc b1m1c1 平行公理与等角定理的应用 解题探究 1 利用公理4 证明两直线平行于同一直线 再说明两对边相等 2 由平面几何知识判定两角相等还是互补 2 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 由平面几何知识可知 bmc和 b1m1c1都是锐角 bmc b1m1c1 8 1 空间两条直线平行的证明 一是定义法 即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点 二是利用平面图形的有关平行的性质 如梯形 中位线 平行四边形等关于平行的性质 三是利用公理4 找到一条直线 使所证的直线都与这条直线平行 2 等角 定理的结论是相等或互补 在实际应用时 一般要借助于图形判断是相等还是互补 2 如图 已知在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd ad的中点 求证 1 四边形mna1c1是梯形 2 dnm d1a1c1 2 由 1 可知mn a1c1 又 nd a1d1 dnm与 d1a1c1相等或互补 而 dnm与 d1a1c1均为锐角 dnm d1a1c1 求异面直线所成的角 1 异面直线一般依附于某几何体 所以在求异面直线所成的角时 首先将异面直线平移成相交直线 而定义中的点o常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点 2 求异面直线所成的角的一般步骤为 作角 平移成相交直线 证明 用定义证明前一步的角为所求 计算 在三角形中求角的大小 但要注意异面直线所成的角的范围 3 已知abcd a1b1c1d1是正方体 求异面直线a1c1与b1c所成角的大小 解析 如图所示 连接a1d和c1d b1c a1d da1c1或其补角即为异面直线a1c1与b1c所成的角 a1d a1c1 c1d为正方体各面上的对角线 a1d a1c1 c1d a1c1d为等边三角形 即 c1a1d 60 异面直线a1c1与b1c所成的角为60 示例 设点p是直线a外一定点 过点p与a成30 角的异面直线有 a 无数条b 两条c 至多有两条d 一条 错解 b 错因 错误产生的原因是局限在平面内了 而我们现在研究的平台是三维空间 没有形成立体感考虑问题易出错 正解 如图 与a成30 角的圆锥面上的母线有无数条 若过p点的直线与该圆锥面上的任意一条母线平行 则该直线与a成30 角 答案 a 警示 在解立体几何问题时 应时刻注意解题的平台是空间图形 不能只是考虑平面图形的情况 1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 将空间问题向平面问题转化 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径 需要强调的是 两条异面直线所成角为 且0 90 解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小 1 不平行的两条直线的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 相交或异面 答案 d 解析 若两直线不平行 则直线可能相交或异面 2 已知ab pq bc qr abc 30 则 pqr等于 a 30 b 30 或150 c 150 d 以上结论都不对 答案 b 解析 abc的两边与 pqr的两边分别平行 但方向不能确定是否