大纲高三数学全程复习方略：第十一章概率

第十一章 概率11.1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（ ）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案 B2.从12个同类产品中（其中有10个正品，2个次品），任意抽取3个，下列事件是必然事件的是（ ）A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品答案D3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）A.B.C. D.答案D5.（2008全国理，6）从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A.B.C. D. 答案D例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解 （1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 (12分)甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是109=90种，即基本事件总数是90. 3分（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为64=24.6分P（A）=.7分（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B含基本事件数为43=12.P（B）=,10分由对立事件的性质可得P（C）=1-P（B）=1-.12分例3 设有5个人，每个人都被等可能地分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的5个房间各有1人住；（2）恰好5个房间，其中各住1人；（3）某指定的房间中恰有3个人住.解 （1）记A为“指定的5个房间各住1人”，则A中有种分法，所以指定的5个房间各住1人的概率P（A）=.（2）记“恰好有5个房间其中各住1人”为事件B，则B中有种分法，所以P（B）=.（3）记“某指定房间恰有3人”为事件C，指定的房间住3人，有种分法，剩余2人中的每人可在7个房间中任选1间有72种选法，所以C中包含72种不同的选法，所以P（C）=.1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.2.在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，试求：（1）x+y是10的倍数的概率；（2）xy是3的倍数的概率.解 （1）先后两次抽取卡片，每次都有110这10种结果，故形成有序实数对（x，y）共有1010=100个.因为x+y是10的倍数,它包含下列10个数对:(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4)(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),故x+y是10的倍数的概率P(A)=.(2)符合xy是3的倍数，只要x是3的倍数或y是3的倍数就可以.其中x是3的倍数，y不是3的倍数与y是3的倍数，x不是3的倍数的数对（x，y）各有个；x，y都是3的倍数的数对有个，故xy是3的倍数的数对（x，y）有2+个.因此所求的xy是3的倍数的概率P（A）=.3.（1）某医院3位主任医师，每人一周出诊一天，出诊时间可以在7天之中随意安排，求3位主任医师在不同的3天出诊活动的概率.（2）6位同学随意到A、B、C三处参加社会实践，求A处恰有3位同学的概率.解 （1）3位主任医师在7天内，每人随意安排一天出诊的方法数为73，记“3位主任医师在不同三天出诊”为事件A1，它们的结果数就是.P(A1)=.（2）6位同学随意到A、B、C三处中的一处，参加社会实践活动的方法数为36，记“6人中有3人到A处”为事件A2，它的结果数为：23，事件A2的概率为P（A2）=.一、 选择题1.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的倍，则个体a被抽到的概率为 （ ）A.B.C.D.答案A2.（2008辽宁理，7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A.B.C.D.答案C3.有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）A.B.C.D.答案B4.有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为（ ）A.B.C. D.答案A5.从一副去掉了大、小王的52张扑克牌中任取5张，取得“四种花色齐全”的概率是 （ ）A. B.C.D.答案D6.同时掷两枚骰子，则下列命题中正确的是 （ ）A.“两枚点数都是5”的概率比“两枚点数都是6”的概率小B.“两枚点数相同”的概率是C.“两枚点数之和为奇数”的概率小于“两枚点数之和为偶数”的概率D.“两枚点数之和为6”的概率不大于“两枚点数之和为5”的概率答案B二、填空题7.（2008江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 .答案 8.（2008上海文）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.答案 三、解答题9. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P1=.（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共54=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P2=.（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有32=6种基本事件，P3=.（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P4=.10.箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有种方法，可以抽出3个正品的概率P=.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b个产品中不放回抽样3次共有种方法，从a个正品中不放回抽样3次共有种方法，可以取出3个正品的概率P=.两种方法结果一致.（2）从a+b个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b种方法，所以共有（a+b）3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率P=11. (2008海南，宁夏文，19)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解 (1)总体平均数为(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P（A）=12.有6个房间安排4个人居住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率:（1）事件A：指定的4个房间中各有一人；（2）事件B：恰有4个房间各有一人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第一号房间有一人，第二号房间有三人.解 由于每个人可以进住任一房间，则4个人进住6个房间共有64种方法.（1）指定的4个房间中各有一人，有种方法，P（A）=.（2）恰有4个房间各有一人的进住方法有种，P（B）=.（3）从4个人中选出2人去指定的某个房间，有种方法，其余2人各有5种进住方法，总共有55种进住方法，P（C）=.（4）选一人进住一号房间，有种方法，余下三人进住第二号房间，只有一种方法，共有=4种方法,P（D）=.11.2 互斥事件有一个发生的概率基础自测1.下列说法正确的是（ ）A.事件A、B中至少一个发生的概率一定比A、B恰有一个发生的概率大B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案D2.如果事件A、B互斥，那么（ ）A.A+B是必然事件B.是必然事件C.与一定不互斥D.与一定互斥答案B3.（2009佛山调研）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A.B.C.D.答案D4.某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4，参加抽奖的每位顾客从0，1，9这十个号码中抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（ ）A.B.C.D.答案D5.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A.B.C.D.答案C例1 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（kN，k10），则事件Ak彼此互斥. 2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥 事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表 示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.12分例2 盒中装着标有数字1、2、3、4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（1）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；（2）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；（3）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.解 （1）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意P（A）=.（2）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则P（B）=.（3）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为P（D）=，所以P（C）=1-P（D）=1-.例3 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.解 记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记事件为事件Ai的对立事件，i=1，2，3.记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为事件C的对立事件.方法一 P（C）=P（A1A2+A1A3+A2A3+A1A2A3）=P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）+P（A1A2A3）=0.90.80.3+0.90.20.7+0.10.80.7+0.90.80.7=0.902.方法二 P（C）=1-P（）=1-P（）=1-P（）+P（A1）+P（）+P（）=1-(0.10.20.3+0.90.20.3+0.10.80.3+0.10.20.7)=1-0.098=0.902.所以，理论考查中至少有两个合格的概率为0.902.（2）记“三人该课程都合格”为事件D.P（D）=P（A1B1）（A2B2）（A3B3）=P（A1B1）P（A2B2）P（A3B3）=P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）P（B3）=0.90.80.80.70.70.9=0.254 0160.254.所以，这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.1.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.解 记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出红球或黑球的概率为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+.（2）取出红或黑或白球的概率为P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=.2.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够7环的概率.解 （1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.（2）设“少于7环”为事件C，则P（C）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.3.口袋里放了12个大小完全一样的球，其中3个是红色的，4个是白色的，5个是蓝色的，在袋中任意取出4个球.试求：（1）取出的球的颜色至少是两种的概率；（2）取出的球的颜色是三种的概率.解 （1）设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为A，A的对立事件为，其中全为白色的有1种，全为蓝色的有5种，则P（）=.所以P（A）=1-P（）=1-.（2）设取出4球中，1个红色，1个白色，2个蓝色的事件为A1；1个红色，2个白色，1个蓝色的事件为A2；2个红色，1个白色，1个蓝色的事件为A3，且A1、A2、A3彼此互斥，所求的概率为：P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=.一、选择题1.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶答案C2.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案B3.一辆班车送职工下班，有10个站，车上有30个人，如果某站无人下车，则班车在此站不停，则班车停车次数不少于2次的概率为（ ）A.1-B.C.1-D. 答案A4.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是（ ）A.0.8B.0.2C.0.5D.0.3答案B5.一个盒子中装有相同大小的红球32个，白球4个，从中任取两个，则概率为的事件是（ ）A.没有白球B.至少有一个是红球C.至少有一个是白球D.至多有一个是白球答案C6.某省举行的一次民歌大赛中，全省六个地区各选送一对歌手参赛，现从这12名歌手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中恰有两人是同一地区送来的歌手的概率是（ ）A.B.C.D.答案C二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .答案 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 .答案 50%三、解答题9.甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛是采用五局三胜制.（保留三位有效数字）（1）在前两局乙队以20领先的条件下，求最后甲、乙队各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率.解 （1）设最后甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，P（A）=0.63=0.216，P（B）=1-P（A）=0.784.（2）设甲获胜为事件C，其比分可能为30，31，32.P（C）=0.63+0.620.40.6+0.620.420.60.683.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：（1）派出医生至多2人的概率；（2）派出医生至少2人的概率.解 记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”.事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）.解 方法一 因为A+B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）=.方法二 记事件C为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C，且A与C互斥.又因为P（C）=，P（A）=，所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）=.12.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于事件A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到解得所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是.11.3 相互独立事件同时发生的概率基础自测1.甲、乙两人独立的解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）A.P1P2B.P1（1-P2）+P2（1-P1）C.1-P1P2D.1-（1-P1）（1-P2）答案B2.打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（ ）A.B.C.D.答案D3.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.（2008福建理，5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.B.C.D.答案B5.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）答案 例1 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.解 记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A或B；“至少有1人击中目标”是AB或A或B.（1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P（AB）=P（A）P（B）=0.80.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即A），另一种是甲未击中，乙击中（即B），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为：P=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）方法一 “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P=P（AB）+P（A）+P（B）=0.64+0.32=0.96.方法二 人都未击中目标”的概率是P（）=P（）P（）=（1-0.8）（1-0.8）=0.20.2=0.04.至少有一人击中目标的概率为P=1-P（）=1-0.04=0.96.例2 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在5次射击中:(1)恰击中1次的概率;(2)第二次击中的概率;(3)恰击中2次的概率;(4)第二、三两次击中的概率；（5）至少击中1次的概率.解 由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4，此射手射击5次，是一独立重复试验，可用公式Pn（k）=Pk（1-P）n-k.（1）n=5，k=1，得P5（1）=P（1-P）4=0.259 2.（2）事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用独立重复试验的概率公式，其实，“第二次击中”的概率，就是此射手“射击一次击中”的概率，为0.4.（3）n=5，k=2，得P5（2）=P2（1-P）3=0.345 6.（4）“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次击中或击不中，所以概率为0.40.4=0.16.（5）设“至少击中一次”为事件B，则B包括“击中一次”、“击中两次”、“击中三次”、“击中四次”、“击中五次”，所以概率为P（B）=P5（1）+P5（2）+P5（3）+P5（4）+P5（5）因为事件B是用“至少”表述的，可以考虑它的对立事件.B的对立事件是“一次也没有击中”，所以P（B）=1-P（）=1-P5（0）=1-（1-0.4）5=0.922 24.例3 （12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.解 （1）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P1=（1-0.5）20.53=0.31.6分（2）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2=（1-0.5）（1-0.8）=0.1.从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的.故至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.950.41.12分1.甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.解 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=乙考试合格的概率为P（B）=.（2）A与B相互独立，且P（A）=，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P（AB+B+A）=.2.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为P.（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次.求：恰好有3次摸到红球的概率；第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率.（2）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求P的值.解 （1）.（2）设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球.由得P=3. 2008年6月南方地区经历了一个38以上的高温期，导致用电极其紧张，为了限制用电，某地区规定该地区5个用电量最大的工厂必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.各个工厂之间的选择互不影响，求：（1）5个工厂均在星期日停电的概率是多少？（2）至少有两个工厂选择在同一天停电的概率是多少？解 （1）设5个工厂均选择星期日停电的事件为A，则P（A）=.（2）设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B，则P（B）=.因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，所以P（）=1-P（B）=1-.一、选择题1.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准 合格的概率为，从中任选一学生，则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） （ ） A.B.C.D.答案B2.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A.B.C.D. 答案A3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88答案D4.若每名学生测试达标的概率都是（相互独立），测试后k个人达标，经计算5人中恰有k人同时达标的概率是，则k的值为（ ）A.3或4B.4或5C.3D.4答案A5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是（ ）A.B.C.D.答案B6.一台X型号自动机床在一小时内不需要工厂照看的概率为0.800 0，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A.0.153 6B.0.180 8C.0.563 2D.0.972 8答案D二、填空题7.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9；他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）.答案 8.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 .答案 三、解答题9.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后2位）：（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.解 （1）5次预报中恰有2次准确的概率为P5（2）=0.82（1-0.8）5-2=100.820.230.05.（2）5次预报中至少有2次准确的概率为1-P5（0）-P5（1）=1-0.80(1-0.8)5-0-0.81(1-0.8)5-1=1-0.000 32-0.006 40.99.（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为0.80.8(1-0.8)4-1=40.820.230.02.10.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.解 (1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是P(A)=.(2)第二个小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数为=12.因此所求的概率为P(B)=.11.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立.（1）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（2）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率.解 （1）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）=，P（B）=.从而甲命中但乙未命中目标的概率为P（A）=P（A）P（）=.（2）设Ak表示甲在两次射击中恰好命中k次，Bt表示乙在两次射击中恰好命中t次.依题意，有P（Ak）=k=0，1，2.P（Bt）=，t=0，1，2.由独立性知两人命中次数相等的概率为P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2）=P（A0）P（B0）+P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）=12.甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为，乙投进的概率为，求：（1）甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率.解 （1）甲投进2球的概率为，乙投进1球的概率为，甲投进2球且乙投进1球的概率为.(2)在甲第一次投篮未进的条件下,甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A),或甲后两投一进且乙三投零进(记为B),P(A)=,P(B)=,故所求概率为P(A+B)=.章末检测十一一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射一次，那么等于（ ） A.甲、乙都击中靶心的概率B.甲、乙恰好有一个击中靶心的概率C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率D.甲、乙不全击中靶心的概率答案D2.现有男生4人，女生4人，将他们任意排成一排，左边4人全是女生的概率是（ ）A.B.C.D.答案A3.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人分别担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.已知kZ, =(k,1), =(2,4),若|4，则ABC是直角三角形的概率是（ ）A.B.C.D.答案C5.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）A.B.C.D.答案D6.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（ ）A.0.4，1）B.（0，0.4C.（0，0.6D.0.6，1）答案A7.（2008安徽皖南八校联考）某校A班有学生40名，其中男生24人，B班有学生50名，其中女生30人，现从A、B两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为（ ）A.B.C.D.答案B8.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）A.B.C.D.答案B9.从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则是（ ）A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率答案C10.甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为（ ）A.B.1C.D.答案C11.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an：an=如果Sn为数列an的前n项和，那么S7=3的概率为 （ ）A.B.C.D.答案B12.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（ ）A. B.C. D.答案B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.（2008浙江温州十校联考）甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 .答案 0.9514.某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生n名（2n9），现从中选出2人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为，则n= .答案 615.有两个相互独立事件A和B，若事件A发生的概率为P，事件B发生的概率为1-P，则A与B同时发生的概率的最大值为 .答案 16.（2008上海理，7）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三