32[1].曲线方程的求法专项训练

曲线方程的求法专项训练【例题精选】：例1：已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为，直线l过且与直线的夹角为与线段的垂直平分线的交点是P，线段与双曲线C的交点为Q，且|QP|QF2|=21。求双曲线C的方程。分析：这里可适当建立平面直角坐标系或极坐标系，而得到曲线C的直角坐标方程或极坐标方程。解法一：如右图所示，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。设双曲线C的方程为则的坐标分别为，其中。直线的方程为，所以点P的坐标为。又由已知，Q内分所成的比为2，故可求得点Q的坐标为。解法二：（供理科学生选用）如图，以为极点，的反向延长线为极轴，建立极坐标系，设所求双曲线右支的极坐标方程为。设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c。由于P、Q两点的极坐标分别为由于点Q在双曲线C的右支上，由，以和代入，得小结：从高考要求看，求直角坐标系下的方程为主。例2：已知双曲线过点是双曲线的一个焦点，求这双曲线另一焦点的轨迹方程。解：设双曲线另一焦点的坐标为，由双曲线定义，由F2是线段AB的垂直平分线，方程为由，A、B是定点，F2是动点，根据椭圆定义可知，动点F2的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其中心为（1，4），综上所述，F2的轨迹方程为小结：动点运动的规律符合某已知曲线的定义，利用定义法求解最为简捷，解题中要注意各量之间的关系，通过定量分析求出曲线方程。例3：动点P到椭圆长轴两端点距离之积等于到短轴两端点距离之积，求P点的轨迹方程。解：设动点P的坐标为。椭圆长轴两端点为短轴两端点为,。依题意小结：在题意中明确给出动点运动的规律可考虑用直接法求轨迹，解题中设点、列式、代换、化简（证明省略）这几个步骤要层次分明，这类问题往往是思路比较简单，但化简方程要求有较强的运算能力。例4：M是抛物线上的动点，从M作直线的垂线，垂足为N，延长MN到P点，使，求P点的轨迹方程。分析：这里生成轨迹的过程有三个动点（多动点问题），其中M是主动点，P是从动点，多动点问题要解决好以下两点：（1）主动点怎么表示；（2）主动点和从动点的坐标之间如何建立联系。解法一：设如图所示，则有：上述三个方程有四个未知量，消去得解法二：设则直线MN的方程与直线方程联立，可以解得再由，得P点轨迹的参数方程为例5：求过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率的椭圆的左顶点的轨迹方程。分析：已知条件中给出了准线、离心率，从知识方面可考虑圆锥曲线的统一定义，从轨迹生成的过程看，左顶点和左焦点是两个关联的动点。解：如图所示，设左顶点，F为左焦点，由于y轴是椭圆的准线，连FA交y轴于N，则有，又由已知椭圆过定点M，则，即化简整理得。例6：求抛物线的焦点弦的中点轨迹。分析：要表示抛物线焦点弦AB的中点坐标，可选弦AB所在的直线的斜率k为参数，也可选A、B两点的坐标为参数。解法一：设抛物线，焦点弦AB的中点为，如图所示。消去参数k得轨迹的普通方程：。焦点弦中点的轨迹是项点为，焦点为的抛物线。解法二：设抛物线焦点弦AB中点为，则、在抛物线上。例7：已知两点P（2，2），Q（0，2）以及一条直线，设长为的线段AB在直线l上移动，如图所示，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）。分析：本题实质上是求相交的两条动直线的交点的轨迹，设为参数，写出PA、QB的方程，再消去a。解：由于线段AB在直线上移动，且AB长是，所以可设点A和点B的坐标分别是，其中是参数，于是可得直线PA的方程是直线QB的方程是（1）当时，直线PA和QB平行，直线PA和OB无交点。（2）当时，直线PA和QB相交，设交点，由得，把上面两式代入式，得整理得即当时，直线PA和QB仍然相交，且交点坐标也满足式，所求动点的轨迹方程是例8：是否存在圆锥曲线C，同时满足下列两个条件：（1）原点O及直线为曲线C的焦点和相应的准线；（2）被直线垂直平分的直线截曲线C所得的弦长恰好为。若存在，求出曲线C的方程，若不存在，说明理由。分析：这是一道开放性的题目，探求满足上述两个条件的圆锥曲线是否存在，本题的难点是题目没有具体的给出圆锥曲线的形状，由条件（1）给出焦点和相应的准线，因此可考虑用圆锥曲线统一定义，设离心率为，通过计算，推理，探求的存在性。解：设存在符合题设的圆锥曲线C，此曲线离心率为（0），P（x，y）是曲线C上任一点。由圆锥曲线的定义有化简整理得，设曲线C被直线垂直平分，其弦长为的弦所在直线方程为,这弦的两个端点将代入式中，消去y得由题意0，由此可解得AB的中点D的坐标为由条件（2），中点D在，于是有：解，代入得。经检验符合题意，因此符合条件的曲线C存在，其方程为。【专项训练】：（90分钟）一、选择题：1、一动点P到一定点F（2，0）的距离与它到定直线的距离之比为12，则动点P的轨迹方程是：A24B48C24D482、的底边的两个端点分别为B（6，0）和C（6，0），周长为32，则顶点A的轨迹方程为：ABCD3、P为椭圆上的动点，过P作椭圆长轴上的垂线，D为垂足，则PD的中点的轨迹方程为：ABCD4、若动圆与圆相外切且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程是：AB CD 5、一元二次方程的判别式等于1，两根之积为8，则点（）的轨迹是：A椭圆B双曲线C抛物线D两条直线6、一动圆与两圆都相外切，则动圆圆心的轨迹为：A圆B椭圆C双曲线一支D抛物线二、解答题：7、设椭圆与双曲线有共同的焦点，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。8、动点到定点F（3，0）和到定直线的距离分别是，且，求动点P的轨迹方程，并指明曲线的形状。9、已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程，并指明这种轨迹为哪种曲线。10、设F是椭圆的左焦点，M是上任意一点，P是线段FM上一点，且满足|FM|MP|=31。（1）求点P的轨迹；（2）过点F作直线l，与交于A、D两点，与交于B、C两点（在直线l上四点依次为A、B、C、D）求使|CD|=2|AB|时，直线l的方程。【答案】：一、1、D2、C3、A4、B5、A6、C二、7、设是两曲线的交点，其中，化简得，于是有或，化