2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修2-2

1 4生活中的优化问题举例 1 生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 通过前面的学习 我们知道 是求函数最大 小 值的有力工具 运用 可以解决一些生活中的 优化问题 导数 导数 优化问题 2 优化问题中最值的确定解决实际应用问题时 要把问题中所涉及的几个变量转化成 这需通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由 和 的函数值确定 当定义域是开区间 而且其上有 的极值 则它就是函数的最值 函数关系 极值 端点 唯一 数学建模 2 某银行准备新设一种定期存款业务 经预算 存款量与存款利率的平方成正比 比例系数为k k 0 已知贷款的利率为0 0486且假设银行吸收的存款能全部放贷出去 设存款利率为x x 0 0 0486 若使银行获得最大收益 则x的取值为 a 0 0162b 0 0324c 0 0243d 0 0486 答案 b 3 某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他三边需要砌新的墙壁 若使新砌墙壁所用的材料最省 堆料场的长和宽应分别为 单位 米 a 32 16b 30 15c 40 20d 36 18 答案 a 几何中的最值问题 例1 有一块边长为a的正方形铁板 现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形 做成一个长方体形的无盖容器 为使其容积最大 截下的小正方形边长应为多少 解题探究 求出无盖容器的体积 容积 表达式 用导数知识求解 1 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 分析实际问题中各量之间的关系 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小 最大 小 者为最大 小 值 把所得数学结论回归到数学问题中 看是否符合实际情况并下结论 2 几何中最值问题的求解思路面积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 1 2019年江苏宿迁期末 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 要使正方形与圆面积之和最小 则弯成圆的一段铁丝长为 cm 例2 2018年江苏连云港模拟 现有一批货物由海上从a地运往b地 已知轮船的最大航行速度为35海里 时 a地至b地之间的航行距离约为500海里 每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 比例系数为0 6 其余费用为每小时960元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度x 海里 时 的函数 2 为了使全程运输成本最小 轮船应以多大速度行驶 用料 费用最少问题 解题探究 根据题目的条件 写出相应关系式 然后运用导数求最值 解决费用最少问题时 需要正确表达出费用y关于自变量x的函数关系 然后根据导数来求得极值点 比较极值与端点处取值的大小 从而判定最小值 在实际问题中还要注意自变量的取值范围 答案 16m 8m 利润最大问题 关于利润问题常用的两个等量关系 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 答案 d 2 解决生活中的优化问题应当注意的问题 1 在求实际问题中的最大 小 值时 一定要考虑实际问题的意义 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点处有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决优化问题时 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示 还应确定出函数关系式中自变量的取值范围 答案 a 2 2017年重庆期中 某产品的销售收入y1 单位 万元 是产量x 单位 千台 的函数 y1 17x2 x 0 生产成本y2 单位 万元 是产量x 单位 千台 的函数 y2 2x3 x2 x 0 为使利润最大 应生产 a 9千台b 8千台c 7千台d 6千台 答案 d 解析 由题意 利润y y1 y2 17x2 2x3 x2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 由y 36x 6x2 6x 6 x 0 得x 6或x 0 又x 0 所以当x 0 6 时 y 0 当x 6 时 y 0 函数在 0 6 上为增函数 在 6 上为减函数 则当x 6 千台 时 y有最