6 求通项公式

第六讲 求通项公式高考在考什么【考题回放】1. 已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在数列中，且，则 35 3在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2 n+1-3_.4对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2 .5.已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 . 2n-10 ; 86.已知数列对于任意，有，若，则47. 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列an的通项an .解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 高考要考什么一、 根据数列an的前n项和求通项Sn= a1+ a2+ a3+ + an 已知数列前n项和Sn,相当于知道了n2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1. 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。4.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。 突 破 重 难 点【范例1】记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（）由所以【变式】数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以【范例2】设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故则又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则解析： (1)由已知得，又因为，所以, 因此，即(2) 由结论(1)可知 ，即，于是，即【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列 Pn.求：（）的关系式；（）数列的通项公式；（）（理）当时，的极限位置的坐 解析 （）由题得 过点P1（的切线为过原点 又过点Pn（的因为过点Pn-1（ 整理得 （）由（I）得 所以数列xn-a是以公比为的等比数列（） 的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f (x)=，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，() x （）.解、