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第4篇振动与波动 第10章机械振动 1 本章学习要点 简谐振动简谐振动的合成阻尼振动 受迫振动与共振本章小结 2 10 1简谐振动 物体运动时 如果离开平衡位置的位移 或角位移 按余弦函数或正弦函数的规律随时间变化 则这种运动称为简谐振动 在忽略阻力的情况下 弹簧振子的振动及单摆的小角度摆动等都可视为简谐振动 10 1 1简谐振动的运动方程 如下图所示 一轻弹簧 质量可忽略不计 放置在光滑水平面上 一端固定 另一端连一质量为m的物体 这样的系统称为弹簧振子 它是物理学中的又一理想模型 3 如上图 a 所示 弹簧处于自然长度时 物体沿水平方向所受的合外力为零 此时物体所在的位置O点称为平衡位置 以O点为坐标原点 以弹簧的伸长方向为x轴正向建立坐标系 如上图 b 所示 在弹簧的弹性限度内 将物体从平衡位置向右拉至位置P点 然后放手 物体在向左的弹力作用下 向左加速运动 当到达平衡位置O时 物体所受的弹力为零 加速度也为零 但此时物体的速度不为零 由于惯性作用 物体将继续向左运动 使弹簧被压缩 从而产生向右的弹力阻碍物体运动 使物体向左做减速运动 直到速度为零 此时 物体到达左边最远处P 点 如上图 c 所示 然后 物体又在向右的弹力作用下 从P 点返回 向右加速运动 这样 物体在弹力和惯性的作用下 在平衡位置附近的P点和P 点之间做往复运动 4 5 6 例10 1 如下图所示 一质量为m 长度为l的均质细棒悬挂在水平轴O点 开始时 棒在垂直位置OO 处于平衡状态 将棒拉开微小角度 后放手 棒将在重力矩作用下 绕O点在竖直平面内来回摆动 此装置是最简单的物理摆 又称为复摆 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力 棒将摆动不止 试证明在摆角很小的情况下 细棒的摆动为简谐振动 解 以OO 为平衡位置 设逆时针转向为 角正向 棒在任意时刻的角位移都可用棒与OO 的夹角 表示 根据题意 棒所受的重力矩为 7 8 10 1 2描述简谐振动的物理量 振幅 周期 频率 角频率 相位及初相等都是描述简谐振动的物理量 其中 振幅 角频率和初相三个量可以完全确定一个简谐振动 称为简谐振动的特征量 1 振幅 在简谐振动的运动方程x Acos t 中 由于 cos t 1 所以 x A 我们把做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离A称为振幅 它确定了物体的振动范围 在国际单位制中 振幅的单位为米 m 9 2 周期与频率 10 11 3 相位与初相 在简谐振动中 物体的运动状态由物体离开平衡位置的位移和速度共同决定 在振幅A和角频率 都已知的情况下 物体在某一时刻的运动状态由 t 决定 t 称为振动的相位 它是决定简谐振动运动状态的物理量 当t 0时 相位 t 称为初相位 简称初相 它是决定初始时刻振动物体运动状态的物理量 在国际单位制中 相位的单位为弧度 rad 12 用相位描述物体的运动状态 还能充分体现出振动的周期性 例如 t 0时 物体位于正位移最大处 且v 0 t 2时 物体位于平衡位置 且向x轴负方向运动 v A t 时 物体位于负位移最大处 且v 0 t 3 2时 物体位于平衡位置 且向x轴正方向运动 v A t 2 时 物体位于正位移最大处 且v 0 13 4 振幅与初相的确定 14 例10 2 一质点沿x轴做简谐振动 振幅A 0 12m 周期T 2s 当t 0时 质点对平衡位置的位移x0 0 06m 此时 质点向x轴正向运动 求 1 此简谐振动的运动方程 2 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻 解 1 设简谐振动的运动方程为x Acos t 由题意可知 A 0 12m 2 T rad s 因t 0时 x0 0 06m 故0 06 0 12cos 3因t 0时 质点向x轴正向运动 v0 0 故v0 Asin 0sin 0取 3所以 简谐振动的运动方程为 x 0 12cos t 3 15 16 10 1 3简谐振动曲线 由式 10 6 和式 10 7 可知速度和加速度的最大值分别为vmax A amax 2A 根据式 10 5 式 10 6 和式 10 7 可作出如下图所示振动曲线 分别表示位移 速度和加速度随时间的变化情况 可以看出 物体做简谐振动时 其位移 速度和加速度都是呈周期性变化的 17 10 1 4旋转矢量法 如右图所示 一个模为A的矢量绕O点以恒角速度 沿逆时针方向转动 在此矢量转动过程中 矢量的端点M在Ox轴上的投影点P也以O点为平衡位置不断地往返运动 在任意时刻 投影点P在Ox轴上的位置由方程x Acos t 确定 因此 投影点P的运动为简谐振动 即简谐振动可以借助于一个旋转着的矢量来表示 这个矢量称为旋转矢量 其对应关系为 旋转矢量的模A为简谐振动的振幅 旋转矢量的转动角速度 为简谐振动的角频率 旋转矢量在初始时刻与Ox轴的夹角 为简谐振动的初相 旋转矢量在t时刻与Ox轴的夹角 t 为简谐振动的相位 旋转矢量旋转一周所用的时间为简谐振动的周期 18 例10 3 在弹簧振子系统中 有一质量m 0 01kg的物体做简谐振动 其振幅A 0 08m 周期T 4s 初始时刻物体在x0 0 04m处向Ox轴负方向运动 求 1 t 1s时 物体所处的位置和所受的力 2 由初始位置运动到x 0 04m处所需要的最短时间 解 先求简谐振动方程 设x Acos t 题意可知A 0 08m 2 T 2 rad s 因t 0时 x0 0 06m则0 06 0 12cos 3作旋转矢量如下图所示 从图中可知 3 故简谐振动方程为 19 20 10 1 5简谐振动的能量 21 动能 势能及总能量随时间变化的曲线如右图所示 设 0 关于简谐振动的能量需要说明几点1 振动系统的动能和势能都随时间呈周期性变化 其周期为物体做简谐振动周期的1 2 2 在振动过程中 虽然动能和势能在不断变化 但它们之间是相互转换的 其总和为一恒量 即系统的总能量是守恒的 由上图所示可以看出 当物体位移最大时 势能达到最大 动能为零 当物体位移为零时 势能为零 动能达到最大 而其总能量为一常数 等于动能或势能的最大值 3 振动系统的总能量与振幅的平方都成正比 也与角频率的平方成正比 虽然这个结论是从弹簧振子系统中导出的 但却是简谐振动的共同性质 对其他形式的振动也是适用的 22 例10 4 在水平弹簧振子中 物体的质量m 0 025kg 弹簧的劲度系数k 0 4N m 当物体在正向离平衡位置0 1m处时运动的速率v 0 4m s 求 1 系统的总能量E 2 振幅A 3 物体的最大速率vmax 4 物体在A 2处具有的动能Ek和势能Ep 23 24 10 2简谐振动的合成 10 2 1相位差 相位差是指两个振动在同一时刻的相位值之差 设有两个质点1 2做同方向 同频率的简谐振动 其运动方程分别为 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 则它们在任意时刻的相位差 为 t 2 t 1 2 1由上式可知 两个同方向 同频率的简谐振动 在任意时刻的相位差都等于它们的初相位差 为一恒量 25 如果 2 1 0 则在振动过程中 质点2将始终比质点1先到达任一特定的振动状态 如左图所示 两振动的步调存在一个确定的差异 此时 我们称质点2的振动超前质点1的振动 或质点1的振动落后质点2的振动 如果 2 1 2k k 0 1 2 则两质点将同时到达任一特定的振动状态 如中图所示 两振动的步调完全一致 此时 我们称两振动同相 如果 2 1 2k 1 k 0 1 2 则两振动的步调完全相反 例如 一个质点到达正最大位移时 另一个质点到达负最大位移 如右图所示 此时 我们称两振动反相 26 10 2 2两个同方向 同频率简谐振动的合成 若一个质点同时参与两个同方向 同频率的简谐振动 其运动方程分别为 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 因两个振动的方向相同 由运动的叠加原理可知 质点的合振动位移等于两个分振动位移的代数和 即x x1 x2 A1cos t 1 A2cos t 2 应用旋转矢量法可以更直观 更简洁的得出合振动的规律 27 如下图所示 取坐标轴Ox 画出两个分振动的旋转矢量A1和A2 它们在Ox轴上的投影x1和x2分别表示两个分振动的位移 根据平行四边形法则 可作出合矢量A A1 A2 它在Ox轴上的投影x表示合振动的位移 可以看出 x x1 x2 t 0时 合矢量A与Ox轴的夹角为 由于A1和A2以相同的角速度 逆时针旋转 在旋转过程中 其夹角 2 1保持不变 因此 平行四边形OM1MM2的形状在旋转中保持不变 即合矢量A的模保持恒定 且以同一角速度 与A1 A2一起绕O点逆时针旋转 28 29 30 例10 5 一质点同时参与两个同方向 同频率的简谐振动周期都为4s 振幅分别为A1 0 06m A2 0 104m 初相分别为 1 3 2 5 6 求合振动的振幅 初相及运动方程 31 32 10 2 3两个同方向 不同频率简谐振动的合成 两个同方向 不同频率简谐振动的合成结果比较复杂 为了便于理解 设两分振动的振幅和初相相同 则两分振动的运动方程为 x1 Acos 1t x2 Acos 2t 合振动为 x x1 x2 Acos 1t Acos 2t 根据三角函数公式 上式可化为 33 由上式可以看出 两个同方向 不同频率简谐振动的合振动虽然仍与分振动的方向相同 但不再是简谐振动 如果两分振动的频率相近 且有 1 2 1 2 时 上式中 项随时间快速变化 而项随时间缓慢变化 因此 可以将此合振动看作是角频率为 振幅为的简谐振动 这种振幅时大时小作缓慢周期性变化的振动现象称为拍 拍的振动曲线如下图所示 34 10 3阻尼振动 受迫振动与共振 10 3 1阻尼振动 简谐振动系统除回复力外 不受任何阻力影响 振动过程中系统的能量守恒 其振幅也不随时间变化 这种振动称为无阻尼振动 然而 实际的振动总要受到阻力的影响 由于需要克服阻力做功 系统的能量会不断损耗 振幅也会随时间逐渐减小 我们把这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动 在阻尼振动中 能量损失的原因通常有以下两种 一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力作用 使振动物体的能量转变为热能 称为摩擦阻尼 另一种是由于振动物体引起临近质点的振动 使系统的能量向四周辐射出去 转变为波动的能量 称为辐射阻尼 例如 音叉振动时 不仅因为摩擦而消耗能量 同时也因辐射声波而损失能量 35 36 37 38 阻力很大 即 0时 在未完成一次振动前 振动系统的能量已全部耗尽 此时 振动系统将通过非周期运动的方式回到平衡位置 这种阻尼振动称为过阻尼振动 如下图所示b曲线 0时 0 这是物体不能作周期运动的临界情况 此时 阻力使振动物体刚好能不作周期运动 而又能最快地回到平衡位置 这种阻尼振动称为临界阻尼振动 如下图所示c曲线 在工程技术中 可根据不同的要求 用不同的方法来控制阻尼的大小 例如 汽缸中的活塞运动时 可通过加润滑剂来减小其摩擦阻尼 各种声源和乐器上的空气箱可以加大辐射阻尼 使其能辐射足够强的声波等 39 10 3 2受迫振动 40 41 42 10 3 3共振 由式 10 34 可知 对于一定的振动系统 如果阻尼系数和驱动力的幅值一定 则稳定状态受迫振动的振幅随驱动力的角频率 p变化 如下图所示为不同阻尼时受迫振动的振幅与驱动力角频率之间的关系曲线 可以看出 当驱动力的角频率为某一定值时 受迫振动的振幅会达到最大 我们把这种现象称为共振 共振时的角频率称为共振角频率 r 43 44 共振现象在科学研究和工程技术中都有非常广泛地应用 共振现象有其有利的一面 例如 利用共振原理可测定某些振动系统的固有频率 小提琴等乐器可以利用共振来提高音响效果等 但共振也会引起损害 例如 机床或重要仪器工作时 如果外来干扰力的频率接近于其固有频率 将会发生共振 从而影响加工精度 因此 为避免共振引起的损害 应设法使驱动力的频率与