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2013专升本选拔考试微积分模拟试卷1与参考答案 120分钟100分填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.函数的反函数是( );答案： x 2 2.设，且，则a=( );答案：3.设，则=( );答案：解：；.4. 设，且，则 ( );答案：对y积分：，对y积分：，5.设是连续函数， 且，则 = ( );答案：二、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设的二阶导数存在，且，则在上( A );A.单调增加； B.单调减少； C.有极大值； D.有极小值.解 ，；.2.设可导，如果广义积分收敛，则要求 ( B )存在;A. ； B. ； C. ； D. .解 3.设在上连续，则必有，使 ( C );A. 1； B. 1； C. 0； D. .提示：由罗尔定理可得4.已知为函数的全微分，则a，b的值分别为( B );A. 2和2； B. 2和2； C. 3和3； D. 3和3.解 ；5.设,其中D由所围成,则I =( A );A. ； B. ；C. ； D. .三、计算题（本题共4小题，每小题10分，共40分）1.已知，求.2.设，其中由方程所确定,则当时,求. 解 由，（1）由，设，.（2）将代入（2）式得：；再将，代入（1）式得：. 3. 设，(1)求的极大值M；(2)设，当M取极小值时，求a的值.解 (1) 极大值；极大值；(2) ；相关题1：计算定积分.解 该积分的不定积分属积不出类型，类似的还有.设相关题2：相关题3：设是的原函数，当时，有，且，求.相关题4：设连续，且满足，求.4.设，其中D：.相关题：四、应用题（本题满分10分）已知，(1)求由曲线与x轴和y轴围成的图形面积；(2)求上述图形绕x轴和y轴旋转所成的旋转体体积.解 （1）图形面积（2）绕x轴旋转的体积：相关题1：设，.问t为何值，图中阴影部分的面积S1与S2之和S(1)最小;(2)最大.相关题2：设抛物线（0ab.求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1.证明函数在区间0,1上不可能有两个零点. 2.设，(1)证明不等式；(2)利用(1)证明，若，则；(3) 利用(1)估计积分值.证明（1）对任意实数k，有（2）由于可设，a,b 0,1，由(1)有 即 （3）设，a,b 0,1，由(1)有由于在0,1，上式两端开方，得 又在0,1，由定积分的比较性
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