2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1

3 2函数模型及其应用 3 2 1几类不同增长的函数模型 1 三种函数模型的性质 变陡 变缓 2 三种函数的增长速度比较 1 在区间 0 内 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是 但 不同 且不在同一个 档次 上 2 在区间 0 内随着x的增大 y ax a 1 增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会 因此 总会存在一个x0 使得当x x0时 有logax xn ax 增函数 增长速度 越来越慢 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 当x 4时 a 4x b log4x c x4的大小关系为 2 某商店每月利润的平均增长率为2 若12月份的利润是当年1月份利润的k倍 则k 答案 1 b c a 2 1 02113 思一思 函数y x2与y 2x在 0 2 内具有相同的增长速度吗 解析 增长速度不同 y x2在 0 2 之间函数值由0增大到4 y 2x在 0 2 之间函数值由1增大到4 故增长速度不同 例1 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数函数变化的变量是 几类函数模型增长差异比较 解题探究 从表格观察函数值y1 y2 y3 y4的增加值 哪个变量的增加值最大 则该变量关于x呈指数函数变化 答案 y2 解析 从表格中可以看出 四个变量y1 y2 y3 y4均是从2开始变化 变量y1 y2 y3 y4都是越来越大 但是增长速度不同 其中变量y2的增长速度最快 画出它们的图象 图略 可知变量y2关于x呈指数函数变化 故填y2 方法规律 在区间 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 总会存在一个x0 当x x0 就有logax xn ax 1 如图给出了红豆生长时间t 月 与枝数y 枝 的散点图 那么最能拟合诗句 红豆生南国 春来发几枝 所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是 a 指数函数 y 2tb 对数函数 y log2tc 幂函数 y t3d 二次函数 y 2t2 答案 a 解析 由题中图象可知 该函数模型为指数函数 例2 函数f x 2x和g x x3的图象如图所示 设两函数的图象交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图象 判断f 6 g 6 f 2016 g 2019 的大小 几种函数模型的比较 解题探究 1 随着自变量x的增大 图象位于上方的函数是指数函数y 2x 另一个函数就是幂函数y x3 2 结合图象比较大小 解析 1 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 2x 2 f 1 g 1 f 2 g 10 1x2 从图象上可以看出 当x1x2时 f x g x f 2019 g 2019 又g 2019 g 6 f 2019 g 2019 g 6 f 6 方法规律 由图象判断指数函数 对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数 对数函数和幂函数时 通常是观察函数图象上升得快慢 即随着自变量的增大 图象最 陡 的函数是指数函数 图象趋于平缓的函数是对数函数 2 函数f x lgx g x 0 3x 1的图象如图所示 1 试根据函数的增长差异指出曲线c1 c2分别对应的函数 2 以两图象交点为分界点 对f x g x 的大小进行比较 解析 1 c1对应的函数为g x 0 3x 1 c2对应的函数为f x lgx 2 当0 xf x 当x1g x 当x x2时 g x f x 当x x1或x x2时 f x g x 函数模型的选取 解题探究 本题是通过数据验证 确定系数 然后分析确定函数变化情况 最终找出与实际最接近的函数模型 方法规律 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律 1 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律 2 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 3 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 4 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 因此 需抓住题中蕴含的数学信息 恰当 准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题 3 某公司为了实现100万元的利润目标 准备制定一个激励公司员工的奖励方案 在利润达到5万元时 按利润进行奖励 且奖金y随利润x的增加而增加 但奖金总数不超过3万元 同时奖金不超过利润的20 现有三个奖励模型 y 0 2x y log5x y 1 02x 其中哪个模型符合该公司的要求 解析 借助工具作出函数y 3 y 0 2x y log5x y 1 02x的图象 图略 观察图象可知 在区间 5 100 上 y 0 2x y 1 02x的图象都有一部分在直线y 3的上方 只有y log5x的图象始终在y 3和y 0 2x的下方 这说明只有按模型y log5x进行奖励才符合公司的要求 示例 某厂转换机制 两年内产值的月增长率都是a 则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了多少 未读懂题意列出函数关系式致误 错因 对增长率问题的公式y n 1 p x未能理解透彻而造成指数写错 事实上 指数x是基数所在时间与所跨过的时间的间隔数 警示 正确地将实际问题转化为函数模型是解应用题的关键 通过对已知条件的综合分析 归纳和抽象 以及与熟知函数模型的比较来确定函数模型的类型 对于幂函数 要准确确定幂指数 三种函数模型的选取 1 当增长速度变化很快时 常常选用指数函数模型 2 当要求不断增长 但又不会增长过快 也不会增长到很大时 常常选用对数函数模型 3 幂函数模型y xn n 0 则可以描述增长幅度不同的变化 n值较小 n 1 时 增长较慢 n值较大 n 1 时 增长较快 1 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的应该是 a y 100 xb y log100 xc y x100d y 100 x 答案 d 解析 几种函数模型中 指数函数增长最快 故选d 2 三个变量y1 y2 y3 随着变量x的变化情况如下表 则关于x分别呈对数函数 指数函数 幂函数变化的变量依次为 a y1 y2 y3b y2 y1 y3c y3 y2 y1d y1 y3 y2 答案 c 解析 对数函数的增长速度越来越慢 变量y3随x的变化符合此规律 指数函数的增长速度成倍增长 y2随x的变化符合此规律 幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间 y1随x的变化符合此规律 故选c 3 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10 4 要增长到原来的x倍 需经过y年 则函数y f x 的图象大致是 答案 d 解析 设该林区的森林原有蓄积量为a 由题意 ax a 1 0 104 y 故y log1 104x x 1 y f x 的图象大致为d中图象 4 若a 1 n 0 那么当x足够大时 ax xn logax的大小关系是 答案 ax xn lo