912三角形的内角和与外角和

9 1 2三角形的内角和与外角和 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 1 三角形的内角和 如图 已知 A B C为 ABC的三个内角 证明 A B C 180 解 如图 延长BC至点E 在 ACE内作 DCE B 则CD BA D E A ACD ACB ACD DCE 180 A B ACB 180 结论 三角形的内角和等于180 推论 直角三角形的两个锐角互余 A B C 180 的几种变形 A 180 B C B 180 A C C 180 A B A B 180 C B C 180 A A C 180 B 注 这里的结论 以后可以直接运用 2 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角 叫做三角形的外角 三角形外角的特征 1 顶点在三角形的一个顶点上 2 一条边是三角形的一边 3 另一条边是三角形某条边的延长线 实际上三角形的一个外角 就是三角形一个内角的邻补角 思考 三角形同一顶点有几个外角 它们有什么关系 答 有两个 它们是对顶角 D 如图 ABC中 A 70 B 60 ACD是 ABC的一个外角 能由 A B求出 ACD吗 如果能 ACD与 A B有什么关系 你能进一步说明 ACD与图中的其它角有什么关系 用文字表述为 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ACD A B ACD ACB 180 ACD A ACD B 思考 三角形的外角总比内角大吗 随堂练习 例1已知 如图 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 则AD BC 请说明理由 解 EAC B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 AD BC 内错角相等 两直线平行 又 B C 已知 DAC C 等量代换 AD平分 EAC 已知 DAC EAC 角平分线的定义 C EAC 例2已知 如图 在 ABC中 1是它的一个外角 E为边AC上一点 延长BC到D 连接DE 则 1 2 请说明理由 解 1是 ABC的一个外角 已知 1 3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 3是 CDE的一个外角 外角定义 3 2 三角形的一个外角大于和与它不相邻的任何一个内角 1 2 不等式的性质 已知 国旗上的正五角星形如图所示 求 A B C D E的度数 解 1是 BDF的一个外角 分析 设法利用外角把这五个角 凑 到一个三角形中 运用三角形内角和性质来求解 1 B D 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2 C E 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 又 A 1 2 180 又 2是 EHC的一个外角 A B C D E 180 3 三角形的外角和 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加 得到的和称为三角形的外角和 1 2 3 如图 1 BAC 180 2 ACB 180 3 ABC 180 则 1 BAC 2 ACB 3 ABC 540 而 BAC ACB ABC 180 则 1 2 3 360 结论 三角形的外角和等于360 例3如图 D是 ABC的BC边上一点 B BAD ADC 80 BAC 70 求 B C的度数 解 ADC是 ABD的外角 C 180 BAC B B BAD B 40 ADC B BAD 80 D 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 B BAC C 180 三角形的内角和等于180 180 40 70 70 2 等边三角形的每一个外角等于 1 已知在 ABC中 A 2 B 10 B C 20 求该三角形的各内角的度数 3 一个三角形的三个外角中 至少有两个角 4 已知 ABC中 C B AD AE分别是 ABC的高和角平分线 试探索 DAE与 B和 C之间的关系 5 已知如图 P是 ABC内一点 求证 BPC BAC P 课后作业 一 校内作业 下午第一节课前交 1 课本第79页的 练习题 基础较差的做 2 补充 1 某三角形的三外角之比是2 3 4 则其三个内角之比为 2 已知如图 ABC中 1 B 2 C BAC 63 求 DAC的度数 3 已知如图 ABC中 BAC 90 AD BC于D E是AD上的一点 试比较 BED与 C的大小 4 正五角星的每个角是多少度 课后作业 二 家庭