《数学分析1》教学大纲.doc

数学分析（1）教学大纲一、课程说明课程名称：数学分析（1）；所属专业：数学与应用数学专业各方向；课程性质：专业基础课；学分：5 课程简介：数学分析是数学与应用数学专业各方向的一门重要基础课程，在初等数学和高等数学之间起着承前启后的重要作用。通过本课程的学习，建立和培养学生现代数学的素质，并为继续学习本专业众多后续课程打下坚实的基础。目标与任务：使学生获得实数理论、极限论，一元函数微分学等方面的系统知识。先修课：初等数学；后续课：数学分析（2）、数学分析（3）、复变函数论、微分方程、概率论、实变函数与泛函分析等。 教材与主要参考书：1、数学分析（第三版）（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社。2、数学分析讲义（第二版）（上、下册），刘玉链，高等教育出版社。3、微积分学教程，.菲赫金哥茨，人民教育出版社。4、数学分析习题课教程（上、下册），郑元英，高等教育出版社。 二、课程内容与安排第一章：实数集和函数1实数；2数集 确界原理；3 函数概念；4具有某些特性的函数。（一）教学方法与学时分配：讲授10学时，习题课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：实数概念，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界与确界原理，函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等），函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数，具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。【重点掌握】：绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、基本初等函数、初等函数。【掌握】：函数的四则运算、复合函数、反函数、具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。【了解】：函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等）。【一般了解】：【难点】：确界概念与确界原理。第二章：数列极限1数列极限概念；2收敛数列的性质；3 数列极限存在的条件。（一）教学方法与学时分配：讲授10学时，习题课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：数列概念、数列极限的 定义、收敛数列性质唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限 。 【重点掌握】：数列极限的 定义，收敛数列唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算，重要极限 ，单调有界数列极限存在定理，柯西准则。【掌握】： 【了解】：数列的部分实例。【一般了解】：【难点】：数列极限的 定义及应用定义证明极限。第三章：函数极限1函数极限概念；2函数极限性质；3 函数极限存在的条件；4两个重要的极限；5 无穷小量与无穷大量。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：函数极限、 定义、 定义，单侧极限，函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，归结原则（Heine 定理），函数极限的柯西准则， 、 ，无穷小量及其阶的比较，非正常极限，无穷大量及其阶的比较，渐近线。 【重点掌握】： 定义， 定义，单侧极限，函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，归结原则（Heine 定理），重要极限和。【掌握】：无穷小量及其阶的比较，非正常极限，无穷大量及其阶的比较【了解】：渐近线。【一般了解】：【难点】： 定义、 定义、归结原则（Heine 定理）等。第四章：函数的连续性1连续性概念；2连续函数的性质；3 初等函数的连续性。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。 【重点掌握】：函数在一点的连续性、单侧连续性、连续函数的局部性质、连续函数的四则运算。闭区间上连续函数的性质、初等函数连续性。【掌握】：在区间上连续的函数、复合函数的连续性、反函数的连续性、间断点及其分类。【了解】： 【一般了解】：【难点】：一致连续性、间断点的分类。第五章：导数和微分1导数概念；2求导法则；3 参变量函数的导数；4高阶导数；5 微分。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：引入问题（切线问题与瞬时速度问题），导数定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马( Fermat)定理，和、积、商的导数，反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数，高阶导数，微分概念、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的应用，高阶微分。 【重点掌握】：导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、求导公式和法则、微分概念、微分的运算法则、可导与可微的关系。【掌握】：费马( Fermat)定理、微分的几何意义、一阶微分形式不变性、高阶导数、高阶微分。【了解】：【一般了解】：微分在近似计算中的应用。【难点】：复合函数的导数、微分概念、微分的几何意义。第六章：微分中值定理及其应用1拉格朗日定理和函数的单调性；2柯西中值定理和不定式极限；3 泰勒公式；4函数的极值与最大（小）值；5 函数的凸性与拐点；6函数图像的讨论；*7方程的近似解。（一）教学方法与学时分配：讲授20学时，习题课4学时。（二）内容及基本要求 主要内容：罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，函数单调性，柯西（Cauchy）中值定理，不定式极限、洛比达（LHospital）法则，泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项），近似计算，极值、最大值与最小值，曲线的凸凹性、拐点，函数图形的讨论，*方程的近似解 。 【重点掌握】：拉格朗日（Lagrange）中值定理，函数单调性, 柯西（Cauchy）中值定理,不定式极限，洛比达（LHospital）法则，极值、最大值与最小值，曲线的凸凹性、拐点，函数图形的讨论。【掌握】：罗尔（Rolle）定理，泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项）。【了解】：近似计算。【一般了解】：方程的近似解 。【难点】：泰勒（Taylor）公式，余项的形式。第八章：不定积分1不定积分概念与基本积分公式；2换元积分法与分部积分法；3 有理函数和可化为有理函数的不定积分。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分（ 等）。【重点掌握】：原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法、分部积分法。【掌握】：有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分（ 等）。【了解】：积分表及其应用。【一般了解】：【难点】：第二类换元积分法、三角函数有理式的积分法，无理根式的积分法。三、课程考核（一）基本要求及比例：重点掌握内容，要求学生能准确理解，灵活运用，在考核中占有60%以上的比例；掌握内容，要求学生理解并能应用，在考核中占有30%左右的比例；了解和一般了解内容，要求学生能知道其结论性的东西，在考核中所占比例在10%以下。（二）成绩构成与说明：1、平时成绩，平时成绩主要由以下部分组成：平时作业，要求学生能独立思考，独立完成，但可集体讨论，各抒己见，作业完成量不得少于学期总作业量的70%，作业内容在平时成绩中占50%的比重；考勤，要求学生于课前5分钟到教室，并作好课前准备，缺课数不得超过学时数的30%，考勤在平时成绩中占40%的比重；课堂提问一般随堂进行，主要内容为预先安排的思考题及要求预习的内容等，课堂提问在平时成绩中占10%的比重。平时成绩在整个成绩评定中占有30%的比重。2、期中考试：期中考试一般为闭卷笔试，主要考核上半期的学习内容，其目的是进行阶段性的总结，巩固已学知识，并为后续内容的学习打下基础，要求与上述基本要求一致。期中考试成绩在整个成绩评定中占有30%的比例。3、期末考试：期末考试为闭卷笔试，是对整个学期教学情况的考核与检测，考试内容为整个学期的学习内容，可考虑对下半学期的内容有所偏重，但由于本课程内容的连续性，一般不可能有分明的界限。考试时间一般为两小时，题型主要为填空题（20%）、选择填空题（20%），解答题(40%)和证明题(20%)。期末考试成绩在整个学期成绩评定中占有40%的比重。制定人：梅兴平审定人： 批准人： 日期： 2006.9 数学分析（2）教学大纲一、课程说明课程名称：数学分析（2）；所属专业：数学与应用数学专业各方向；课程性质：专业基础课；学分：5 课程简介：数学分析是数学与应用数学专业各方向的一门重要基础课程，在初等数学和高等数学之间起着承前启后的重要作用。数学分析（2）主要包含一元函数积分学以及级数的部分内容，是数学分析课程的重要组成部分。通过本课程的学习，建立和培养学生现代数学的素质，并为继续学习本专业众多后续课程打下坚实的基础。目标与任务：使学生获得不定积分、定积分及其应用、反常积分、数项级数等方面的系统知识。先修课：初等数学，数学分析（1）；后续课：数学分析（3）、复变函数论、微分方程、概率论、实变函数与泛函分析等。 教材与主要参考书：1、数学分析（第三版）（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社。2、数学分析讲义（第二版）（上、下册），刘玉链，高等教育出版社。3、微积分学教程，.菲赫金哥茨，人民教育出版社。4、数学分析习题课教程（上、下册），郑元英，高等教育出版社。 二、课程内容与安排第九章：定积分1定积分概念；2牛顿莱布尼茨公式；3 可积条件；4定积分的性质；5微积分学基本定理定积分计算；*6 可积理论补叙。（一）教学方法与学时分配：讲授20学时，习题课或讨论课4学时。（二）内容及基本要求 主要内容：引入问题（曲边梯形面积与变力做功）。定积分定义，定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。定积分性质线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法，泰勒公式的积分型余项。*上和与下和的性质 。 【重点掌握】：定积分定义，定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。定积分性质，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。【掌握】：泰勒公式的积分型余项。 【了解】：上和与下和的性质。【一般了解】：【难点】：可积的充要条件，变限函数。第十章：定积分的应用1平面图形的面积；2由平行截面面积求体积；3 平面曲线的弧长与曲率；4旋转曲面的面积；5 定积分在物理学中的某些应用；*6 定积分的近似计算。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：简单平面图形面积。由平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分、*曲率。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）。*定积分近似计算。 【重点掌握】简单平面图形面积。由平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分。微元法、旋转体体积与侧面积。【掌握】：物理应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）。【了解】：曲率。【一般了解】：定积分近似计算。【难点】：微元法。第十一章：反常积分1反常积分概念；2无穷积分的性质与收敛判别；3 瑕积分的性质与收敛判别（一）教学方法与学时分配：讲授10学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：无穷限反常积分概念、柯西准则，线性运算法则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。【重点掌握】：无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛、比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。【掌握】：无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。【了解】： 【一般了解】：【难点】：反常积分概念，反常积分判别法。第十二章：数项级数1级数的收敛性；2正项级数；3 一般项级数。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝（Raabe）判别法 * 。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。 【重点掌握】：级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。【掌握】：积分判别法、绝对收敛级数的重排定理。【了解】：拉贝（Raabe）判别法。【一般了解】： 【难点】：绝对收敛级数的重排定理，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。第十三章：函数列与函数项级数1一致收敛性；2一致收敛函数列与函数项级数的性质。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。 【重点掌握】：收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，优级数判别法，狄利克雷判别法，函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。【掌握】：阿贝尔（Abel）判别法。 【了解】： 【一般了解】：【难点】：一致收敛概念。第十四章：幂级数1幂级数；2函数的幂级数展开；*3 复变量的指数函数欧拉公式。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。 泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开、*复变量指数函数与欧拉（Euler）公式 。 【重点掌握】：幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。【掌握】： 【了解】：复变量指数函数与欧拉（Euler）公式 。【一般了解】：【难点】：函数的泰勒展开、利用逐项积分与逐项求导求幂级数的和函数。第十五章：傅里叶级数1傅里叶级数；2以 为周期的函数的展开式。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼勒贝格定理，按段光滑且以 为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以 为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数，收敛定理的证明。【重点掌握】：三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数、按段光滑且以 为周期的函数展开、傅里叶级数的收敛定理。【掌握】：贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼勒贝格定理，以 为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数，收敛定理的证明。【了解】： 【一般了解】：【难点】：收敛定理及其证明。三、课程考核（一）基本要求及比例：重点掌握内容，要求学生能准确理解，灵活运用，在考核中占有60%以上的比例；掌握内容，要求学生理解并能应用，在考核中占有30%左右的比例；了解和一般了解内容，要求学生能知道其结论性的东西，在考核中所占比例在10%以下。（二）成绩构成与说明：1、平时成绩，平时成绩主要由以下部分组成：平时作业，要求学生能独立思考，独立完成，但可集体讨论，各抒己见，作业完成量不得少于学期总作业量的70%，作业内容在平时成绩中占50%的比重；考勤，要求学生于课前5分钟到教室，并作好课前准备，缺课数不得超过学时数的30%，考勤在平时成绩中占40%的比重；课堂提问一般随堂进行，主要内容为预先安排的思考题及要求预习的内容等，课堂提问在平时成绩中占10%的比重。平时成绩在整个成绩评定中占有30%的比重。2、期中考试：期中考试一般为闭卷笔试，主要考核上半期的学习内容，其目的是进行阶段性的总结，巩固已学知识，并为后续内容的学习打下基础，要求与上述基本要求一致。期中考试成绩在整个成绩评定中占有30%的比例。3、期末考试：期末考试为闭卷笔试，是对整个学期教学情况的考核与检测，考试内容为整个学期的学习内容，可考虑对下半学期的内容有所偏重，但由于本课程内容的连续性，一般不可能有分明的界限。考试时间一般为两小时，题型主要为填空题（20%）、选择填空题（20%），解答题(40%)和证明题(20%)。期末考试成绩在整个学期成绩评定中占有40%的比重。 制定人：梅兴平审定人： 批准人： 日期： 2006.9 数学分析（3）教学大纲一、课程说明课程名称：数学分析（3）；所属专业：数学与应用数学专业各方向；课程性质：专业基础课；学分：5 课程简介：数学分析是数学与应用数学专业各方向的一门重要基础课程，在初等数学和高等数学之间起着承前启后的重要作用。数学分析（3）主要包含级数部分的主要内容（函数项级数、幂级数、傅里叶级数等）和多元函数微分学，是数学分析课程的重要组成部分。通过本课程的学习，建立和培养学生现代数学的素质，并为继续学习本专业众多后续课程打下坚实的基础。目标与任务：使学生获得函数项级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数微分学等方面的系统知识。先修课：初等数学，空间解析几何，数学分析（1），数学分析（2）；后续课：复变函数论、微分方程、概率论、实变函数与泛函分析等。 教材与主要参考书：1、数学分析（第三版）（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社。2、数学分析讲义（第二版）（上、下册），刘玉链，高等教育出版社。3、微积分学教程，.菲赫金哥茨，人民教育出版社。4、数学分析习题课教程（上、下册），郑元英，高等教育出版社。 二、课程内容与安排第十六章：多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数；2二元函数的极限；3 二元函数的连续性。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。 【重点掌握】：平面点集概念，二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。【掌握】：平面点集的基本定理区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。【了解】： 【一般了解】： 【难点】：二重极限与累次极限，二元函数的连续性。第十七章：多元函数微分学1可微性；2复合函数微分法；3 方向导数与梯度；4 泰勒公式与极值问题。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。 【重点掌握】：偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，复合函数的偏导数与全微分，二元函数的极值。【掌握】：一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理。【了解】：全微分在近似计算中的应用。【一般了解】： 【难点】：复合函数的偏导数与全微分，二元函数的泰勒定理。第十八章：隐函数定理及其应用1隐函数；2隐函数组；3 几何应用；4 条件极植。（一）教学方法与学时分配：讲授14学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。 隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。 几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。 【重点掌握】：隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导，几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。【掌握】：隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换。【了解】：函数行列式。【一般了解】： 【难点】：隐函数概念、隐函数定理，条件极值与拉格朗日乘数法。第十九章：含参变量积分1含参变量正常积分；2含参变量反常积分；欧拉积分。（一）教学方法与学时分配：讲授12学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：含参量积分概念、含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换 * ， 函数与 函数。【重点掌握】： 含参量积分概念、含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，连续性、可积性与可微性。 函数与 函数。【掌握】：维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。【了解】：积分顺序的交换。【一般了解】：【难点】：含参量积分概念，含参量反常积分的收敛与一致收敛，积分顺序的交换。第二十章：曲线积分1第一型曲线积分；2第二型曲线积分。（一）教学方法与学时分配：讲授10学时，习题课或讨论课2学时。（二）内容及基本要求 主要内容：第一型和第二型曲线积分概念与计算，*两类曲线积分的联系。【重点掌握】：第二型曲线积分概念，两型曲线积分的计算。【掌握】： 【了解】：两类曲线积分的联系。【一般了解】：【难点】：第二型曲线积分概念。第二十一章：重积分1二重积分的概念；2直角坐标系下二重积分的计算；3 格林公式曲线积分与路径的无关性；4 二重积分的变量变换；5 三重积分；6 重积分的应用；7 重积分；8 反常二重积分；9 在一般条件下重积分变换公式的证明。（一）教学方法与学时分配：讲授18学时，习题课或讨论课3学时。（二）内容及基本要求 主要内容：*平面图形的面积 。二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。 三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。 重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。 重积分 * 。 无界区域上的收敛性概念 * 。无界函数反常二重积分 * 。在一般条件下重积分变量变换公式的证明 * 。【重点掌握】：二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。 三重积分定义与计算，三重积分的换元法