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例谈数列知识在解题中的应用http:/www.DearEDU.com王启东 袁海峰 某些数学问题初看好像与数列性质毫不相干，但如果我们能仔细观察已知条件与结论的结构特征，或挖掘题目的隐含因素，经过恰当的变形处理，可发现它们与数列仍有密切关系。通过构造等差（比）数列，然后利用等差（比）数列的有关性质可巧妙简捷地求解，下面通过具体的例子来说明。一、巧设公差（比）求解方程（组） 例1. 解方程： 分析：本题若两边平方直接解方程很繁，如能分析方程结构特征，变形巧设等差数列，则很简洁。 解：由已知显然，成等差数列 所以可设 所以或 若，代入（1）得：是增根，舍去。 若符合。 所以原方程的解为： 例2. 解方程组： 解：由（1）变形得： 解得：，即，即成等比数列。 所以可设代入 整理得： 即或 所以 经检验，上述四个解都是原方程组的解。二、巧用等差（比）知识解（证）不等式 例3. （第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设，且，求证： 分析：如能联想到无穷递增等比数列的求和公式： 则解法就简洁多了。 证明：因为 所以 所以 例4. （第25届IMO）设x，y，z为非负实数，且，求证： 证明：由对称性，不妨设 因为 所以成等差数列，故可设 由得： 所以 当且仅当时取“” 又 所以原不等式成立。三、巧用等差（比）数列知识求最值 例5. 已知，求使 成立的z的最大、小值。 解：因为 所以成等差数列 所以可设代入得： 整理得： 所以 即： 所以当， 当时，四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题 例6. 从n个数中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等。 证明：因为时，对任意成立。不妨设剩下的数中最大的数在第一部分中，则第一部分各数之和第二部分之和，得证。 例7. 桌面上有个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，第n次任意翻动其中的n（np）个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改为向下（或向上），求证：翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。 证明：为了方便，给杯口向上的杯子赋值1，杯口向下的杯子赋值，设操作前各杯子的数值之积记为，设n次操作后各杯子的数值之积为，依题意可知：若，则命题必成立。 因为翻动一个杯子，相当于将该杯的数值
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