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2004年上海市初中数学竞赛试卷填空第10题的多种解法10、如图，ABC中，ABCD，点P、Q分别在AC、AB上，且APPQQBBC，求A的大小。解法1：在AC上取点D连结QD、BD，使QDPQ，设Ax，则AQPxQPD2 xQDPQ，QDP2 x，BQD3xPQQB，QDQBQDB90xBDC1802 x90x90x又在ABC中C90xBDCC，BDDCQBBCQBBDQDBQD3x60x20，即A20解法2：过P作PDAB，过B作BDPQ，PD和BD相交于点D，连CDPDAB，BDPQ又PQQB，四边形PQBD是菱形BDPQQBPD设Ax，则AQPxPDAB，DPCAx又ABCD，APQBAQPC在APQ与PDC中APPD，AQPC，ADPCAPQPDCDCPQ，PQADCPxDCBDBCDCB60又在ABC中ACB90x90x60x，x20即A20解法3：因为AQPC，所以可以将等腰三角形APQ剪下拼到PC上，则PMMCAPPQ，MCPMPCAPQA连结QM，MCPAMCAB，又MCQB，四边形MCBQ是平行四边形BCQM，从而PQQMPMQPM60而QPC2A，MPCAQPM3A，3A60，A20解法4：因为APQB，所以可以将等腰三角形APQ剪下拼到QB上，则QBMQAPPQ，MBAQMBQQMBAPQA连结MP，AQPC，MBPC又QBMA，BMPC四边形MBCP是平行四边形BCPM，从而PMMQPQMQP60MQAMBQQMB2AAQPAMQP3A3A60，A20解法5：过B作BD平分QBC交AC于D，连结QDBD平分QBCQBDDBC又QBBC，BDBDQBDDBCQDBBDC，BQDC设Ax，则AQPxBQDC90xPQD180x90x90xPQDBQD又QBQP，QDQDQBDPQDQDBPDQQDBPDQBDC6090x45x60180x20，即A20解法6：设APPQQBBCa，AQPCbA则A20解法7：连结PB，设A，则AQPPQQB，AQPQBPQPBQBPQPB而QPC2，BPCABC，PBC在APQ中，在PBC中，两式相比得：A20
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