13二项式定理 教案

13二项式定理 教案 二项式定理教学目标理解二项式定理及推导方法，二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；教学重点、难点二项式定理的内容及归纳过程；发现各项及各项系数的规律。 二项式定理由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。 探索(a+b)4的展开式的形式。 4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-k bk， （1）k=0时，a4-k bk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得C40； （2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得C41a3C33b （3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得C42a2C22b2 （4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得C43aC11b3 （5）k=4时，四个括号中全都取b，得C44b4(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展开式又是什么呢？0n1n?1k n?k k n n猜想(a?b)n?C na?C na b?C na b?C nb(n?N*)证明对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，不取bC na n；0取1个bC na b；取2个bC n1a n-2b2；xx.03.30选修2-3二项式定理第1页共13页1n-1?(k+1)取k个bC nka n-k bk；?(n+1)取n个bC nnb n；然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，0n1n-1kn-k kn n(a+b)n=Cn a+C nab+?+C na b+?+C nb(nN+)这就是二项式定理。 r r n?r r它有n+1项，各项的系数C n(r?0,1,?n)叫二项式系数，C na b叫二项展开式的通项，用T r?1表示，即通项为展开式的第k+1项r n?r rT r?1?C na b1r r二项式定理中，设a?1,b?x，则(1?x)n?1?C nx?C nx?x n你怎么记忆这个公式？项数:共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式；指数:a的指数从n逐项递减到0，是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。 例1求(2x?16161)的展开式解(2x?)?3(2x?1)6x x x?16152433221(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?1666663x60121?2?3x x x?64x3?192x2?240x?160?例2 （1）求(1?2x)7的展开式的第4项的系数；1 （2）求(x?)9的展开式中x3的系数及二项式系数xxx.03.30选修2-3二项式定理第2页共13页3解(1+2x)7的展开式的第四项是T3?1?C7(2x)3?280x3，(1+2x)7的展开式的第四项的系数是28011 （2）(x?)9的展开式的通项是T r?1?C9rx9?r(?)r?(?1)rC9rx9?2r，9-2r=3,r=3，xx333x3的系数(?1)3C9?84，x的二项式系数C9?84x39)的展开式常数项；例3求(x?a)12的展开式中的倒数第4项；求(?3x解(x?a)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，912?99339T9?1?C12x a?C12x a?220x3a939?rx9?r3r r2r?9Tr?1?C()()?C9?3x2，3xr936当9?r?0,r?6时展开式是常数项，即常数项为T7?C9?33?2268；2x39)的展开式的中练习求(2a?3b)6，(3b?2a)6的展开式中的第3项求(?3x间两项22解T2?1?C6(2a)4(3b)2?2160a4b2，T2?1?C6(3b)4(2a)2?4860b4a2(2a?3b)6，(3b?2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同x39)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，(?3x159?42510?9?3，T6?C9?3x2?378x3xT5?C?3498?9x9?12xx.03.30选修2-3二项式定理第3页共13页“杨辉三角”(a?b)1?11(a?b)2?121(a?b)3?1331(a?b)4?14641(a?b)5?15101051(a?b)6?1615xx61这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。 “杨辉三角”的特征表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。 当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。 设表中不为1的数C rn+1,那么它肩上的两个数分别为C n n-1，C nr，所以C rn+1=C n n-1+C nr。 详解九章算术中的“杨辉三角”如右图。 二项式系数的性质12n(a?b)n展开式的二项式系数依次是C0n,C n,C n,?,C n从函数角度看，Crn可看成是以r为自变量的函数f(x)，其定义域是?0,1,2,?,n?，对于确定的n，还可以画出它的图象；例如，当n=6时，其图象是7个孤立的点（如图）m n?m对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（C n）直线r?C nn2是图象的对称轴k?增减性与最大值C nn(n?1)(n?2)?(n?k?1)k?1n?k?1?C n?，k!kxx.03.30选修2-3二项式定理第4页共13页k k?1Cn相对于C n的增减情况由n?k?1n?k?1n?1?1?k?决定，k k2当k?n?1时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中2间取得最大值；n2nn?12nn?12n当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C各二项式系数和，C取得最大值012rn1r r(1?x)n?1?C n?C n?C n?C n?C nx?C nx?x n，令x?1，则2n?C n例4证明在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 n1n?1n?22n证明在展开式(a?b)n?C0b?C2b?C nna?C na na nb中，123令a=1,b=-1，得(1?1)n?C0)n C nn?C n?C n?C n?(?1n。 23213就是0?(C0)?(C1)C0n?Cn?n?Cn?n?C n?C n?C n?即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。 122k kn n事实上，在(a?b)n的展开式中，联想到(1?x)n?C0n?C nx?C nx?C nx?C nx122k knn把它看作关于x的函数，即f(x)=(1?x)n?C0n?C nx?C nx?C nx?C nx，那么f(-1)=0，由此很容易得到上述结论。 例5已知(3x?2n)的展开式中,第4项二项式系数是倒数第2项二项式系数的7倍x求展开式中x的一次项。 n?1解依题意C3?7Cn n得(n?1)(n?2)?6?7n=8设展开式中含x的项是第r+1项，则xx.03.30选修2-3二项式定理第5页共13页T r?1?C8r(3x)8?r(?(?2)C xr r88?r r?322r)x8?r?r?1解得r?2322故展开式中含x的项为第3项，即T3?(?2)2C8x?112x。 练习已知(1?3x)n的展开式中的系数和比(x?2n)的展开式中的二项式系数和大x240，求(x?2n)的展开式中的第3项。 x24)的展开式中的第3项是x解依题意有4n?2n?240得n?4于是(x?2T3?C2x(?422)?24x例6已知(x?124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，证明展开式中没有常数项；求展开式中所有的有理项1112?1?C n?()2，即n2?9n?8?0，n?8(n?1舍去）解由题意2C n22T r?1?Cr8?x8?r16?3r r r r?1r r8?r C8?(?4)?(?)?C8x2?x4?1?r?x4222x1r?0?r?8?r?Z?若T r?1是常数项，则16?3r?0，即16-3r=0，4r?Z，这不可能，展开式中没有常数项；xx.03.30选修2-3二项式定理第6页共13页若T r?1是有理项，当且仅当16?3r为整数，0?r?8,r?Z，r=0,4,8，4351?2x，T9?x8256即展开式中有三项有理项，分别是T1?x4，T5?例7已知(x?式的常数项2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14:3，求展开x2242依题意C4:C?14:3?3C?14Cn nnn3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=1010?5r2设第r+1项为常数项，又T r?1?C(x)r1010?r2r(?2)r?(?2)rC10xx令10?5r2?0?r?2，?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为1802例8求(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)10展开式中x3的系数(1?x)1?(1?x)10(x?1)11?(x?1)解(1?x)?(1?x)?=，（1?x）?x1?(1?x)2107原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为C11例9求0.9986的近似值，使误差小于0.001016解0.9986?(1?0.002)6?C6?C6(?0.002)1?C6(?0.002)6，2展开式中第三项为C60.0022?0.00006，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，010.9986?(1?0.002)6?C6?C6(?0.002)1?0.998，一般地当a较小时(1?a)n?1?naxx.03.30选修2-3二项式定理第7页共13页二项展开式中系数的最大与最小例1在二项式(x?1)11的展开式中，求系数最小的项的系数。 解因为在(x?1)11的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又5665展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项C11x(?1) 5、第七项C11x(?1)6，所以5系数最小的项的系数为?C11?462.例2已知(3x?x2)2n的展开式的系数和比(3x-1)n的展开式的系数和大992,求1(2x?)2n的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.x解由题意22n?2n?992,解得n=5.115(2x?)10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6?T5?1?C10?(2x)5?(?)5?8064.xx1xr r设第r+1项的系数的绝对值最大,则T r?1?C10?(2x)10?r?(?)r?(?1)r?C10?210?r?x10?2r r10?r r?1r r?1?C10?210?r?1?11?r?2r?C10?2?C10?2C10?r10?r,得,即?r?r?110?r?1r?12(r?1)?10?r?C10?2?C10?2?2C10?C10811?r?,r=3,故系数的绝对值最大的是第4项。 33例3求(2x?3y)28的展开式中系数最大的是第几项？r28?r r r?129?r?3r?1?C28?2?3?C28?2解设展开式中第r+1项的系数最大，则?r28?r r r?127?r r?1?3?C28?2?3?C28?2rr?1?3(29?r)?2r22?3C28?2C2816?r?17即?r得解得?r?155?2(r?1)?3(28?r)?2C28?3C28r=7故第18项的系数最大。 xx.03.30选修2-3二项式定理第8页共13页展开式的系数和例1已知(x?3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项23解令x=1，则展开式中各项系数和为(1?3)n?22n，又展开式中二项式系数和为2n，22n?2n?992，n?5 （1）n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第 三、四两项，233232223T3?C(x)(3x)?90x，T4?C(x)(3x)?270x，235?r10?4r3252263523 （2）设展开式中第r+1项系数最大，则Tr?1?C(x)r5(3x)?3C x2rrr5，rrr?1r?1?79?3C5?3C5?r?rr，r?4，r?1r?122?3C5?3C5即展开式中第5项系数最大，T5?C(x)(3x)?405x例2设(2x?3)3?a0?a1x?a2x2?a3x3。 求(a0?a2)2?(a1?a3)2的值。 解在(2x?3)3?a0?a1x?a2x2?a3x3令x=1，得(a0?a2)?(a1?a3)?(2?3)3令x=-1，得(a0?a2)?(a1?a3)?(3?2)3两式相乘得(a0?a2)2?(a1?a3)2?(?1)3?1。 例3已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2?a7x7，求 （1）a1?a2?a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|?|a7|.解 （1）当x=1时，(1?2x)7?(1?2)7?1，展开式右边为a0?a1?a2?a7a0?a1?a2?a7?1，xx.03.30选修2-3二项式定理第9页共13页452324263当x=0时，a0?1，a1?a2?a7?1?1?2， （2）令x=1，a0?a1?a2?a7?1令x=-1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?371?37?得2(a1?a3?a5?a7)?1?3，a1?a3?a5?a7?.27 （3）由展开式知a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，由 （2）中+得2(a0?a2?a4?a6)?1?37，?1?37a0?a2?a4?a6?，2|a0|?|a1|?|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37例4在(2x?3y)10的展开式中,求:二项式系数的和；各项系数的和；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；奇数项系数和与偶数项系数和；x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.r分析:因为二项式系数特指组合数C n,故在,中只需求组合数的和,而与二项式2x?3y中的系数无关.解设(2x?3y)10?a0x10?a1x9y?a2x8y2?a10y10(*),各项系数和即为a0?a1?a10,奇数项系数和为a0?a2?a10,偶数项系数和为a1?a3?a5?a9,x的奇次项系数和为a1?a3?a5?a9,x的偶次项系数和a0?a2?a4?a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.0110二项式系数和为C10?C10?C10?210.令x=y=1,各项系数和为(2?3)10?(?1)10?1.0210奇数项的二项式系数和为C10?C10?C10?29,偶数项的二项式系数和为xx.03.30选修2-3二项式定理第10页共13页139C10?C10?C10?29.设(2x?3y)10?a0x10?a1x9y?a2x8y2?a10y10,令x?y?1,得到a0?a1?a2?a10?1? (1),令x?1,y?1(或x?1,y?1)得a0?a1?a2?a3?a10?510? (2) (1)+ (2)得2(a0?a2?a10)?1?510,奇数项的系数和为1?510;2 (1)- (2)得2(a1?a3?a9)?1?510,偶数项的系数和为1?5210x的奇次项系数和为a1?a3?a5?a9?1?5;210x的偶次项系数和为a0?a2?a4?a10?1?5.102要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例5设?1?x?1?x?1?x?1?x?a0?a1x?a2x2?a nx n，当a0?a1?a2?a n?254时，求n的值23n2(2n?1)?254，解令x=1得2n?128,n?7，a0?a1?a2?a n?2?2?2?2?2?123n对于f(x)?a0(x?a)n?a1(x?a)n?1?a n，令x-a=1即x=a+1可得各项系数的和a0?a1?a2?a n的值；令x-a=-1即x=a-1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系二项式定理的其它问题例1在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数解(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C15?5x，4在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C152x?80x55展开式中含x的项为1?(80x)?5x (32)?240x，此展开式中x的系数为240xx.03.30选修2-3二项式定理第11页共13页123n例2求证C n?2C n?3C n?nC n?n?2n?1123n证（法一）倒序相加设S?C n?2C n?3C n?nC nnn?1n?221又S?nC n?(n?1)C n?(n?2)C n?2C n?C nrn?r0n1n?1C n，C n?C n?C n,C n?C n,?，012n?C n?C n?C n由+得2S?n?C n?，1123nS?n?2n?n?2n?1，即C n?2C n?3C n?nC n?n?2n?12（法二）左边各组合数的通项为r?r?rC nn!n?(n?1)!r?1?nC n?1，r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!123n012n?1n?1?2C n?3C n?nC n?n?C n?C?C?CC n?1n?1n?2n?1?n?21n?12n?2n?1例3已知S n?2n?C n2?C n2?C n?2?1(n?N?)，求证当n为偶数时，S n?4n?1能被64整