人教B版选修23 杨辉三角 课件（44张）.pptx

第一章 计数原理 学习目标 1 了解杨辉三角 会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数 2 理解二项式系数的性质并灵活运用 1 3二项式定理1 3 2杨辉三角 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗 答不是 二项式系数表中第一行是两个数 而杨辉三角的第一行只有一个数 实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n 1行对应数值相等 2 根据杨辉三角的第1个规律 同一行中与两个1等距离的项的系数相等 你可以得到二项式系数的什么性质 3 二项式系数何时取得最大值 预习导引 二项式系数的性质 1 每一行的两端都是1 其余每个数都等于它 肩上 两个数的 2 每一行中 与首末两端 等距离 的两个数 和 相等 3 如果二项式的幂指数n是偶数 那么t项的二项式系数最大 如果n是奇数 那么t与t项的二项式系数相等且最大 4 二项展开式的二项式系数的和等于 2n 要点一与杨辉三角有关的问题例1如图在 杨辉三角 中 斜线ab的上方 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列 1 2 3 3 6 4 10 5 记其前n项和为sn 求s19的值 274 规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是 通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系 然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来 使问题得解 注意观察方向 横看 竖看 斜看 连续看 隔行看 从多角度观察 跟踪演练1如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第 行中从左到右第14与第15个数的比为2 3 第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051 解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2 3 答案34 要点二二项展开式的系数和问题例2已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求下列各式的值 1 a1 a2 a7 解令x 1 则a0 a1 a2 a3 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a7 37 令x 0 得a0 1 代入 中得 a1 a2 a3 a7 2 2 a1 a3 a5 a7 解由 得2a1 2a3 2a5 2a7 1 37 3 a0 a2 a4 a6 解由 得2a0 2a2 2a4 2a6 1 37 4 a0 a1 a2 a7 解方法一 1 2x 7的展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 方法二 a0 a1 a2 a7 是 1 2x 7展开式中各项的系数和 令x 1 a0 a1 a7 37 2187 规律方法赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个值 也可以取几组值 解决问题时要避免漏项 一般地 对于多项式f x a0 a1x a2x2 anxn 各项系数和为f 1 奇次项系数和为 f 1 f 1 偶次项系数和为 f 1 f 1 a0 f 0 跟踪演练2设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 或令x 0 则展开式可化为a0 2100 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 解令x 1 与 联立相减可得 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 解原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 要点三求二项展开式中的最大项问题例3已知f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1 求展开式中二项式系数最大的项 解令x 1 则二项式各项系数的和为f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍 或2n 32 n 5 由于n 5为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项 它们分别是 2 求展开式中系数最大的项 r n r 4 规律方法 1 求二项式系数最大的项 要依据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 求展开式系数最大的项 如求 a bx n a b r 展开式中系数最大的项 一般是采用待定系数法 设展开式各项系数分别为a1 a2 an 1 且第r 1项系数最大 应用解出r来 即得系数最大的项 跟踪演练3在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 解二项式系数最大的项是第11项 2 系数绝对值最大的项 解设系数绝对值最大的项是r 1项 于是 所以r 8 3 系数最大的项 解由于系数为正的项为y的偶次方项 由 2 知 t9为系数绝对值最大的项 又t9中y的次数为8 所以t9为所有y的偶次方项中系数最大项 即展开式的系数最大项 且t9 c 312 28 x12y8 1 1 x 2n 1的展开式中 二项式系数最大的项的项数是 a n n 1b n 1 nc n 1 n 2d n 2 n 3 1 2 3 4 解析 1 x 2n 1展开式有2n 2项 系数最大的项是中间两项 是第n 1项与第n 2项 它们的二项式系数为 c 1 2 3 2 x 10的展开式中 系数最大的项是 a 第6项b 第3项c 第3项和第6项d 第5项和第7项 d 4 1 2 3 3 在 x y n的展开式中 第4项与第8项的系数相等 则展开式中系数最大的项是 a 第6项b 第5项c 第5 6项d 第6 7项 4 1 2 3 解析由题意 得第4项与第8项的系数相等 则其二项式系数也相等 4 展开式中二项式系数最大的项为第6项 它也是系数最大的项 答案a 1 2 3 4 设 x2 1 2x 1 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a11 x 2 11 则a0 a1 a2 a11的值为 a 2b 1c 1d 2 4 1 2 3 解析令x 1 则原式化为 1 2 1 2 1 1 9 a0 a1 2 1 a2 2 1 2 a11 2 1 11 a0 a1 a2 a11 2 答案a 4 课堂小结1 二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2 求展开式