321几种不同增长的函数模型(1)

几种不同增长的函数模型 圆的周长随着圆的半径的增大而增大 L 2 R 一次函数 圆的面积随着圆的半径的增大而增大 S R2 二次函数 回顾 某种细胞分裂时 由1个分裂成两个 两个分裂成4个 一个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数关系是 第一次 第二次 第三次 第四次 y 2x 2x 例题 例1 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案呢 思考 比较三种方案每天回报量 2 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多 我们就在那段时间选择该方案 分析 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 再通过比较它们的增长情况 为选择投资方案提供依据 解 设第x天所得回报为y元 则方案一 每天回报40元 y 40 x N 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 y 10 x x N 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 y 0 4 2x 1 x N 图112 1 从每天的回报量来看 第1 3天 方案一最多 第4天 方案一和方案二一样多 第5 8天 方案二最多 第9天以后 方案三最多 有人认为投资1 4天选择方案一 5 8天选择方案二 9天以后选择方案三 累积回报表 结论 投资8天以下 不含8天 应选择第一种投资方案 投资8 10天 应选择第二种投资方案 投资11天 含11天 以上 应选择第三种投资方案 例题的启示 解决实际问题的步骤 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 例2 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且资金y 单位 万元 随着销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但资金数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司的要求呢 1 由函数图象可以看出 它在区间 10 1000 上递增 而且当x 1000时 y log71000 1 4 55 5 所以它符合资金不超过5万元的要求 模型y log7x 1 令f x log7x 1 0 25x x 10 1000 利用计算机作出函数f x 的图象 由图象可知它是递减的 因此 f x f 10 0 3167 0 即log7x 1 0 25x 所以 当x 10 1000 小结 实际问题 读懂问题 将问题抽象化 数学模型 解决问题 基础 过程 关键 目的 几种常见函数的增长情况 作业 课本116页练习题集1 2题 思考 从上节课的两个例子中可以看到 这三类函数的增长是有差异的 那么 这种差异的具体情况到底怎么样呢 几何画板演示 结论1 一般地 对于指数函数y ax a 1 和幂函数y xn n 0 通过探索可以发现 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定范围内 ax会小xn 但由于ax的增长快于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有ax xn 结论2 一般地 对于对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 通过探索可以发现 在区间 0 上 随着x的增大 logax增大得越来越慢 图象就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在x的一定范围内 logax可能会大xn 但由于logax的增长慢于xn的增长 因此总存在一个x0 当x x0时 就会有logax xn 综上所述 1 在区间 0 上 y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 2 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会远远大于y xn n 0