人教A版选修23 2.4正态分布 课件（42张）.ppt

第二章 随机变量及其分布 2 4正态分布 自主预习学案 高斯是一个伟大的数学家 一生中的重要贡献不胜枚举 德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线 这就传达了一个信息 在高斯的科学贡献中 对人类文明影响最大的是 正态分布 那么 什么是正态分布 正态分布的曲线有什么特征 2 正态曲线的性质 曲线位于x轴 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线 对称 曲线在x 处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 如图甲所示 上方 x 1 0 6826 0 9544 0 9974 4 3 原则通常服从正态分布n 2 的随机变量x只取 3 3 之间的值 1 2018 遂宁模拟 已知随机变量 服从正态分布n 2 若p 2 p 6 0 15 则p 2 4 等于 a 0 3b 0 35c 0 5d 0 7 b 2 2018 孝义市一模 一次考试中 某班学生的数学成绩x近似服从正态分布n 100 100 则该班数学成绩的及格率可估计为 成绩达到90分为及格 参考数据 p x 0 68 a 60 b 68 c 76 d 84 d 3 已知随机变量 服从正态分布n 1 2 且p 2 0 6 则p 0 1 解析 随机变量 服从正态分布n 1 2 曲线关于直线x 1对称 p 2 0 6 p 0 1 0 6 0 5 0 1 故答案为0 1 0 1 4 某班有50名学生 一次考试的数学成绩 服从正态分布n 100 102 已知p 90 100 0 3 估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 10 5 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布n 10 0 12 单位 kg 任选一袋这种大米 质量在9 8 10 2kg的概率是多少 解析 因为大米的质量服从正态分布n 10 0 12 要求质量在9 8 10 2的概率 需化为 2 2 的形式 然后利用特殊值求解 由正态分布n 10 0 12 知 10 0 1 所以质量在9 8 10 2kg的概率为p 10 2 0 1 x 10 2 0 1 0 9544 互动探究学案 命题方向1 正态曲线及其性质 如图所示是一个正态曲线 试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式 求出总体随机变量的数学期望和方差 典例1 跟踪练习1 把一条正态曲线c1沿着横轴方向向右移动2个单位 得到一条新的曲线c2 下列说法中不正确的是 a 曲线c2仍然是正态曲线b 曲线c1和曲线c2的最高点的纵坐标相等c 以曲线c2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线c1为概率密度曲线的总体的期望大2d 以曲线c2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线c1为概率密度曲线的总体的方差大2 d 命题方向2 利用正态分布的对称性求概率 1 已知随机变量 服从正态分布n 0 2 若p 2 0 023 则p 2c a 则p 4 c 等于 a ab 1 ac 2ad 1 2a 典例2 c b 解析 1 p 22 1 2 0 023 0 954 2 对称轴x 2 p 4 c 1 p c 1 a 跟踪练习2 为了了解某地区高三男生的身体发育状况 抽查了该地区1000名年龄在17 5岁至19岁的高三男生的体重情况 抽查结果表明他们的体重x kg 服从正态分布n 22 且正态分布密度曲线如图所示 若体重大于58 5kg小于等于62 5kg属于正常情况 则这1000名男生中属于正常情况的人数是 a 997b 954c 819d 683 d 解析 由题意 可知 60 5 2 故p 58 5 x 62 5 p x 0 6826 从而属于正常情况的人数是1000 0 6826 683 命题方向3 正态分布的应用 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸x n 4 0 25 质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件 测得它的外径为5 7cm 试问该厂生产的这批零件是否合格 思路分析 判断某批产品是否合格 主要运用统计中假设检验的基本思想 欲判定这批零件是否合格 关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在 3 3 之内还是在 3 3 之外 解析 由于圆柱形零件的外径尺寸x n 4 0 25 由正态分布的特征可知 x在区间 4 3 0 5 4 3 0 5 即 2 5 5 5 之外取值的概率约为0 0027 而5 7 2 5 5 5 这说明在一次试验中 出现了几乎不可能发生的小概率事件 根据统计中假设检验的基本思想 认为该厂生产的这批产品是不合格的 典例3 规律总结 在解决有关问题时 通常认为服从正态分布n 2 的随机变量x只取 3 3 之间的值 如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况 求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法 1 根据题目中给出的条件确定 与 的值 2 将待求问题向 2 2 3 3 这三个区间进行转化 3 利用x在上述区间的概率 正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果 跟踪练习3 在某次数学考试中 考生的成绩服从一个正态分布 即 n 90 100 1 试求考试成绩 位于区间 70 110 内的概率 2 若这次考试共有2000名考生 试估计考试成绩在 80 100 间的考生大约有多少人 解析 n 90 100 90 10 1 在该正态分布中 2 70 2 110 p 2 x 2 0 9545 考试成绩 位于区间 70 110 内的概率为0 9545 2 80 100 p x 0 6827 考试成绩 位于区间 80 100 内的概率为0 6827 由共有2000名考生 知考试成绩在 80 100 间的考生大约有2000 0 6827 1365 人 1 统计中假设检验的基本思想 根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值 对事先所作的统计假设作出判断 是拒绝假设 还是接受假设 2 若随机变量 服从正态分布n 2 则 落在区间 3 3 内的概率为0 9974 亦即落在区间 3 3 之外的概率为0 0026 此为小概率事件 如果此事件发生了 就说明 不服从正态分布 假设检验的思想 3 对于小概率事件要有一个正确的理解 小概率事件是指发生的概率小于3 的事件 对于这类事件来说 在大量重复试验中 平均每试验大约33次 才发生1次 所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的 不过应注意两点 一是这里的 几乎不可能发生 是针对 一次试验 来说的 如果试验次数多了 该事件当然是很可能发生的 二是当我们运用 小概率事件几乎不可能发生的原理 进行推断时 也有3 犯错的可能性 某厂生产的产品 质量要求服从正态分布n 100 4 现从产品中抽取了10件 测得质量分别为102 92 104 103 98 96 97 99 101 108 则该生产线是否要停产检修 思路分析 由题意可知产品质量服从正态分布 又由于质量在区间 100 2 100 2 即 98 102 内的概率为0 6826 在区间 96 104 内的概率为0 9544 在区间 94 106 内的概率为0 9974 所以据此可以判断结论 解析 由题意知产品质量x服从正态分布n 100 22 产品质量在区间 100 3 2 100 3 2 即 94 106 内的概率为0 9974 而在这个区间外的概率仅为0 0026 在抽测的10件产品中有2件 分别是92 108 不在这个区间内 小概率事件竟然发生了 说明生产线有问题 故应停产检修 典例4 规律总结 假设检验是就正态总体而言的 进行假设检验可归结为如下三步 提出统计假设 统计假设里的变量服从正态分布n 2 确定一次试验中的取值a是否落入区间 3 3 内 作出判断 如果a 3 3 则接受统计假设 如果a 3 3 则拒绝统计假设 跟踪练习4 假设某省今年高考考生成绩服从正态分布n 500 1002 某校有考生2400人 试估计成绩在下列范围内的考生人数 1 400 600 2 300 700 解析 1 因为该正态分布中 500 100 所以区间 400 600 即为 其概率为0 6826 所以成绩在 400 600 范围内的考生人数约为2400 0 6826 1638 人 2 同理可求成绩在 300 700 内的考生人数约为2400 0 9544 2291 人 随机变量 服从正态分布n 0 1 如果p 1 0 8413 求p 1 0 要准确应用正态分布的对称性转化 典例5 辨析 由于 n 0 1 对称轴为x 0 与 1 0 对称的区间应为 0 1 与 1 对称的区间为 1 正解 如图所示 因为p 1 0 8413 所以p 1 1 0 8413 0 1587 所以p 1 0 1587 所以p 1 0 0 5 0 1587 0 3413 点评 对于x n 2 要特别注意x 为其对称轴 解答正态分布问题 这是主要着眼点 跟踪练习5 已知随机变量 服从正态分布n 1 4 则p 1 3 参考数据 若随机变量 n 2 则p 0 6826 p 2 2 0 9544 p 3 3 0 9974 a 0 6826b 0 3413c 0 9544d 0 4772 b a b 3 2018 全国一模 在某次学科知识竞赛中 总分100分 若参赛学生成绩 服从n 80 2 0 若 在 70 90 内的概率为0 8 则落在