人教A版必修2 第四章 4.2.1直线与圆的位置关系 课件（36张）.pptx

4 2 1直线与圆的位置关系 第四章 4 2直线 圆的位置关系 学习目标1 掌握直线与圆的三种位置关系 相交 相切 相离 2 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点直线ax by c 0与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系及判断 d r d r d r 0 0 0 0 1 2 1 若直线与圆有公共点 则直线与圆相交 2 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线和圆相交或相切 3 若圆心到直线的距离大于半径 则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 思考辨析判断正误 题型探究 例1求实数m的取值范围 使直线x my 3 0与圆x2 y2 6x 5 0分别满足 相交 相切 相离 类型一直线与圆的位置关系的判断 解圆的方程化为标准形式为 x 3 2 y2 4 解答 反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 跟踪训练1对任意的实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 2的位置关系一定是a 相离b 相切c 相交但直线不过圆心d 相交且直线过圆心 解析 答案 解析直线y kx 1恒过定点 0 1 由定点 0 1 在圆x2 y2 2内 则直线y kx 1与圆x2 y2 2一定相交 又直线y kx 1不过圆心 0 0 则位置关系是相交但直线不过圆心 故选c 命题角度1求切线方程例2过点a 4 3 作圆 x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线方程 解答 类型二切线问题 解因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点a在圆外 若所求直线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 即kx y 4k 3 0 设圆心为c 因为圆心c 3 1 到切线的距离等于半径1 即15x 8y 36 0 若直线斜率不存在 圆心c 3 1 到直线x 4的距离为1 这时直线x 4与圆相切 所以另一条切线方程为x 4 综上 所求切线方程为15x 8y 36 0或x 4 引申探究若例2的条件不变 求其切线长 解答 解因为圆心c的坐标为 3 1 设切点为b 则 abc为直角三角形 又 bc r 1 所以切线长为4 反思与感悟求过某一点的圆的切线方程 首先判定点与圆的位置关系 以确定切线的数目 1 求过圆上一点p x0 y0 的圆的切线方程 如果斜率存在且不为0 先求切点与圆心连线的斜率k 则由垂直关系 切线斜率为由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或斜率不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求圆外一点p x0 y0 的圆的切线时 常用几何方法求解 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圆心到直线的距离等于半径 可求得k 进而切线方程即可求出 但要注意 若求出的k值只有一个时 则另一条切线的斜率一定不存在 可由数形结合求出 跟踪训练2若点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点p处的切线方程为 解析 答案 x 2y 5 0 解析点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 可得此圆的方程为x2 y2 5 所以该圆在点p处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 命题角度2已知直线与圆相切 求圆的方程例3过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 则圆c的方程为 解析 答案 x 3 2 y2 2 解析由已知kab 0 所以ab的中垂线方程为x 3 过b点且垂直于直线x y 1 0的直线方程为y 1 x 2 即x y 3 0 所以圆心坐标为 3 0 所以圆c的方程为 x 3 2 y2 2 反思与感悟圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径 从而建立关系解决问题 跟踪训练3已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2 解析 答案 解析设圆心为c a a 圆c的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选b 例4 1 过圆x2 y2 8内的点p 1 2 作直线l交圆于a b两点 若直线l的倾斜角为135 则弦ab的长为 解析 答案 解析由题意知直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 类型三弦长问题 2 圆心为c 2 1 截直线y x 1的弦长为的圆的方程为 解析 答案 解析设圆的半径为r 由条件 得 x 2 2 y 1 2 4 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 3 如果一条直线经过点且被圆x2 y2 25所截得的弦长为8 求这条直线的方程 解答 解圆x2 y2 25的半径长r为5 直线被圆所截得的弦长l 8 因为圆心o 0 0 到直线x 3的距离恰为3 所以直线x 3是符合题意的一条直线 故直线的方程为3x 4y 15 0 综上可知 满足题意的直线有两条 对应的方程分别为x 3和3x 4y 15 0 反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法 1 交点法 将直线方程与圆的方程联立 求出交点a b的坐标 根据两点间的距离公式 ab 求解 2 弦长公式 如图所示 将直线方程与圆的方程联立 设直线与圆的两交点分别是a x1 y1 b x2 y2 3 几何法 如图 直线与圆c交于a b两点 设弦心距为d 圆的半径为r 弦长为 ab 则有 通常采用几何法较为简便 跟踪训练4已知直线l kx y k 2 0与圆c x2 y2 8 1 证明 直线l与圆相交 证明 证明 l kx y k 2 0 直线l可化为y 2 k x 1 直线l经过定点 1 2 1 2 22 8 1 2 在圆c内 直线l与圆相交 2 当直线l被圆截得的弦长最短时 求直线l的方程 并求出弦长 解答 解由 1 知 直线l过定点p 1 2 又圆c x2 y2 8的圆心为原点o 则与op垂直的直线截得的弦长最短 kop 2 达标检测 1 2 3 4 1 直线x y m与圆x2 y2 m m 0 相切 则m等于 答案 5 1 2 3 4 5 2 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0相交所得弦的长为2 则该直线的方程为 解析设所求直线方程为y kx 即kx y 0 由于直线kx y 0被圆截得的弦长等于2 圆的半径是1 因此圆心到直线的距离等于 0 即圆心 1 2 位于直线kx y 0上 于是有k 2 0 即k 2 因此所求直线方程是2x y 0 解析 答案 2x y 0 1 2 3 4 5 3 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短弦的长为 解析设点a 3 1 易知圆心c 2 2 半径r 2 当弦过点a 3 1 且与ca垂直时为最短弦 解析 答案 1 2 3 4 5 4 已知圆c的圆心是直线x y 1 0与x轴的交点 且圆c与直线x y 3 0相切 则圆c的方程为 解析 答案 x 1 2 y2 2 解析令y 0 得x 1 所以直线x y 1 0与x轴的交点为 1 0 即为圆心 因为直线x y 3 0与圆c相切 所以圆心c到直线x y 3 0的距离等于半径 所以圆c的方程为 x 1 2 y2 2 1 2 3 4 5 5 直线y kx 3与圆 x 1 2 y 2 2 4相交