2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修2-1

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示3 1 5空间向量运算的坐标表示 1 空间向量基本定理定理 如果三个向量a b c 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 叫作空间的一个基底 都叫作基向量 2 空间向量的正交分解及其坐标表示 1 单位正交基底三个有公共起点o且 的单位向量e1 e2 e3称为单位正交基底 不共面 xa yb zc a b c a b c 两两垂直 公共起点o e1 e2 e3 平移 起点 xe1 ye2 ze3 x y z a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a1b1 a2b2 a3b3 x2 x1 y2 y1 z2 z1 终点 起点 1 设p a b c是三个非零向量 q a b c 为空间的一个基底 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 空间向量基本定理的理解 判断给出的某一向量组能否作为基底 关键是要判断它们是否共面 如果从正面难以入手 可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断 答案 用坐标表示已知向量 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线 建立的空间直角坐标系不同 得到的坐标也不同 故本题的答案不唯一 答案 2 1 4 4 2 4 例3 已知a 1 1 0 b 0 1 1 c 1 0 1 p a b q a 2b c 求p q p q 解题探究 利用空间向量的坐标运算法则计算即可 解 p a b 1 1 0 0 1 1 1 0 1 q a 2b c 1 1 0 2 0 1 1 1 0 1 0 3 1 p q 1 0 1 0 3 1 1 空间向量的坐标运算 1 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 2 空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算 再进行加法或减法运算 最后进行数量积运算 先算括号里 后算括号外 3 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样 应注意一些计算公式的应用 解题探究 建立适当的直角坐标系 利用空间向量的坐标计算 利用向量的坐标运算证明平行 垂直 解决空间向量垂直 平行问题的有关思路 1 若有关向量已知时 通常需要设出向量的坐标 例如 设向量a x y z 2 在有关平行的问题中 通常需要引入参数 例如 已知a b 则引入参数 有a b 再转化为方程组求解 3 选择向量的坐标形式 可以达到简化运算的目的 例5 如图 在直三棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱 abca1b1c1中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 n为a1a的中点 1 求bn的长 2 求a1b与b1c所成角的余弦值 利用向量的坐标运算解决夹角 距离问题 1 利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤 1 根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系 2 利用题设条件写出有关的坐标 进而获得相关的坐标 3 利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角 并将它转化为异面直线所成的角 2 利用向量解决几何问题 可使复杂的线面关系的论证 角及距离的计算变得简单 5 设向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算2a 3b 3a 2b a b a 2b 及a与b的夹角的余弦值 解题探究 利用向量数量积公式进行计算 错因分析 将 bad误认为是90 以至于建系错误 则后面的错误就不可避免了 警示 空间直角坐标系的建立必须保证三条轴的垂直关系 若图中没有建系的环境 则应根据已知条件 通过作辅助线创造三条两两垂直的直线 1 利用向量求解或证明时可以选择基底来处理 也可以建立直角坐标系化为坐标运算 通常坐标运算较为简单 2 坐标运算 选择坐标系是关键 为了使点的坐标易于计算和证明 一定要分析几何体的特征 选取合适的坐标系 同时还要灵活应用平面几何的相关知识进行求解 答案 a 3 设 e1 e2 e3 是空间向量的一个单位正交基底 若a 4e1 8e2 3e3 则a的坐标为 答案 4 8 3 解析 由于 e1 e2 e3 是空间向量的一个单位正交基底 所以a 4 8 3