2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明章末归纳整合课件 新人教A版选修2-2

章末归纳整合 知识构建 专题一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理 两种推理的结论 合情 但不一定 合理 其正确性都有待严格证明 尽管如此 合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用 演绎推理的主要形式是三段论 在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 事实上 演绎推理是我们解决问题最常用的推理形式 思想方法专题 例1 由倍角公式cos2x 2cos2x 1 可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式 对于cos3x 我们有cos3x cos 2x x cos2xcosx sin2xsinx 2cos2x 1 cosx 2 sinxcosx sinx 2cos3x cosx 2 1 cos2x cosx 4cos3x 3cosx 可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式 一般地 存在一个n次多项式pn t 使得cosnx pn cosx 这些多项式pn t 称为切比雪夫 p l tschebyscheff 多项式 1 请尝试求出p4 t 即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x 2 利用结论 cos3x 4cos3x 3cosx 求出sin18 的值 3 18 90 2 18 答案 962 2 2019年福建厦门模拟 刘老师带甲 乙 丙 丁四名学生去某地参加自主招生考试 考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况 四名学生回答如下 甲说 我们四人都没考好 乙说 我们四人中有人考得好 丙说 乙和丁至少有一人没考好 丁说 我没考好 结果 四名学生中有两人说对了 则这四名学生中说对的两人是 方法点评 本题主要考查了综合法 综合法解决问题的关键是从 已知 已知条件 已有定义 公理 定理 看 可知 逐步逼近 未知 其逐步推理 实质上是寻找已知的必要条件 运用综合法解题时首先要明确方向 然后可以将每个条件一一解码 使文字 符号 图形 结构实现信息迁移 化生为熟 化新为旧 从而使结论水落石出 例4 如图 在四面体bacd中 cb cd ad bd且e f分别是ab bd的中点 求证 1 直线ef 平面acd 2 平面efc 平面bcd 证明 1 要证直线ef 平面acd 只需证ef ad且ef 平面acd 因为e f分别是ab bd的中点 所以ef是 abd的中位线 所以ef ad 所以直线ef 平面acd 4 已知a b r a b e 其中e是自然对数的底数 求证 ba ab 方法点评 通过此例可看到观察 归纳 猜想 证明的思想方法 其基本思路是 在探讨某些问题时 可以先从观察入手 发现问题的特点 形成解决问题的初步思路 然后用归纳方法进行试探 提出合理的猜想 最后用数学归纳法给出证明 5 设函数f x x sinx 数列 an 满足an 1 f an 1 若a1 2 试比较a2与a3的大小 2 若0 a1 1 求证 0 an 1对任意n n 恒成立 1 2019年新课标 在 一带一路 知识测验后 甲 乙 丙三人对成绩进行预测 甲 我的成绩比乙高 乙 丙的成绩比我和甲的都高 丙 我的成绩比乙高 成绩公布后 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确 那么三人按成绩由高到低的次序为 a 甲 乙 丙b 乙 甲 丙c 丙 乙 甲d 甲 丙 乙 解读高考 答案 a 解析 如果乙预测正确 则丙预测正确 不合题意 如果丙预测正确 假设甲 乙预测不正确 则有丙 乙 乙 甲 因为乙预测不正确 而丙 乙正确 故只有丙 甲不正确 所以甲 丙 与丙 乙 乙 甲矛盾 不合题意 所以只有甲预测正确 得甲 乙 乙 丙 故选a 3 2017年上海 如图 用35个单位正方形拼成一个矩形 点p1 p2 p3 p4以及四个标记为 的点在正方形的顶点处 设集合 p1 p2 p3 p4 点p 过p作直线lp 使得不在lp上的 的点分布在lp的两侧 用d1 lp 和d2 lp 分别表示lp一侧和另一侧的 的点到lp的距离之和 若过p的直线lp中有且只有一条满足d1 lp d2 lp 则 中所有这样的p为 答案 p1 p3 p4 解析 设记为 的四个点为a b c d 线段ab bc cd da的中点分别为e f g h 易知efgh为平行四边形 如图所示 四边形abcd两组对边中点的连线交于点p2 则经过点p2的所有直线都是符合条件的直线lp 因此经过点p2的符合条件的直线lp有无数条 经过点p1 p3 p4的符合条件的直线lp各有1条 即直线p2p1 p2p3 p2p4 故 中所有这样的p为p1 p3 p4 解析 1 用数学归纳法证明xn 0 当n 1时 x1 1 0 假设n k时 xk 0 那