三年高考两年模拟——数学平面向量

1 第五章 平面向量 解三角形 第一节第一节 平面向量平面向量 第一部分第一部分 三三年年高考荟萃高考荟萃 20201010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 湖南文湖南文 6 若非零向量 a b 满足 2 0ababb 则 a 与 b 的夹角为 A 30 0 B 600 C 1200 D 1500 答案 C 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理理 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uur 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 答案 B 命题意图 本试题主要考查向量的基本运算 考查角平分线定理 解析 因为CD平分ACB 由角平分线定理得 ADCA 2 DBCB1 所以 D 为 AB 的三等 分点 且 22 ADAB CBCA 33 所以 2121 CDCA ADCBCAab 3333 故选 B 3 3 20102010 辽宁文辽宁文 8 平面上 O A B三点不共线 设 OAa OBb 则OAB 的面积等 于 A 22 2 aba b B 22 2 aba b C 22 2 1 2 aba b D 22 2 1 2 aba b 答案 C 解析 2 2 22 111 sin 1cos 1 222 OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 2 22 2 1 2 aba b 4 4 20102010 辽宁理辽宁理 8 平面上 O A B 三点不共线 设 OA a OBb 则 OAB 的面积等于 A 222 aba b B 222 aba b C 222 1 2 aba b D 222 1 2 aba b 答案 C 命题立意 本题考查了三角形面积的向量表示 考查了向量的内积以及同角三角函数的基 本关系 解析 三角形的面积 S 1 2 a b sin 而 2222222 11 cos 22 ababababa b 2 11 1 cos sin 22 a ba ba ba b 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文文 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CB a CA b a 1 b 2 则CD A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 答案 B 解析 B 本题考查了平面向量的基础知识 CD为 角 平 分 线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 6 6 20102010 安徽文安徽文 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 A ab B 2 2 a b C ab D ab 与b垂直 3 答案 D 解析 11 22 ab 0ab b 所以 ab与b垂直 规律总结 根据向量是坐标运算 直接代入求解 判断即可得出结论 7 7 20102010 重庆文重庆文 3 若向量 3 am 2 1 b 0a b 则实数m的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 6 答案 D 解析 60a bm 所以m 6 8 8 20102010 重庆理重庆理 2 已知向量 a b 满足0 1 2 a bab 则2ab A 0 B 2 2 C 4 D 8 答案 B 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 9 9 20102010 山东文山东文 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 am n bp q 令abmqnp 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则0ab B abba C 对任意的R 有 abab D 2222 aba bab 答案 B 10 10 20102010 四川理四川理 5 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16 BCABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 4 答案 C 11 11 20102010 天津文天津文 9 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 温馨提示 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强 平面向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 12 12 20102010 广东文广东文 13 13 20102010 福建文福建文 14 14 2012010 0 全国卷全国卷 1 1 文文 11 已知圆O的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两 切点 那么PA PB 的最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 5 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 1 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 解析 2 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换 元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 解析 3 建系 园的方程为 22 1xy 设 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 15 15 20102010 四川文四川文 6 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 2 16BC P A B O 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 6 ABACABAC 则AM A 8 B 4 C 2 D 1 答案 C 解析 由 2 BC 16 得 BC 4 ABACABACBC 4 而ABACAM 故AM 2 16 16 20102010 湖北文湖北文 8 已知ABC 和点 M 满足0MAMBMC 若存在实m使得 AMACmAM 成立 则m A 2 B 3 C 4 D 5 17 17 20102010 山东理山东理 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n bp q 令ab mq np 下面说法错误的是 A 若a 与b 共线 则ab 0 B ab ba C 对任意的R 有a b ab D 2222 ab ab a b 答案 B 解析 若a 与b 共线 则有ab mq np 0 故 A 正确 因为bapn qm 而 ab mq np 所以有abba 故选项 B 错误 故选 B 命题意图 本题在平面向量的基础上 加以创新 属创新题型 考查平面向量的基础知识 以及分析问题 解决问题的能力 7 18 18 20102010 湖南理湖南理 4 在Rt ABC 中 C 90 AC 4 则AB AC uuu r uuu r 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 19 19 20201010 年年安徽理安徽理 20 20 20102010 湖北理湖北理 5 已知ABC 和点 M 满足0MA MB MC 若存在实数 m 使得 AB ACAMm 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 二二 填空题填空题 1 2010 上海文上海文 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的 点P 若 1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 4ab 1 解析 因为1 2 1 e 2 2 1 e 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为xy 2 1 又1 2 5 bac 8 双曲线方程为1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe 22 baba 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 2 2010 浙江理浙江理 16 已知平面向量 0 满足1 且 与 的夹 角为 120 则 的取值范围是 解析 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中 即可迎刃而解 本题主要考察了平面向 量的四则运算及其几何意义 突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力 属中档题 3 3 20102010 陕西文陕西文 12 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则 m 答案 1 解析 0 1 1 21 1 1 mcbamba得由 所以 m 1 4 4 20102010 江西理江西理 13 已知向量a b 满足1a 2b a 与b 的夹 角为 60 则ab 答案 3 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余弦 定理等知识 如图 aOA bOB abOAOBBA 由余弦定理 得 3ab 5 2010 浙江文浙江文 17 在平行四边形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交点 P Q M N 分 别是线段 OA OB OC OD 的中点 在 APMC 中任取一点记为 E 在 B Q N D 中任 取一点记为 F 设 G 为满足向量OGOE OF 的点 则在上述的点 G 组成的集合中的点 落在平行四边形 ABCD 外 不含边界 的概率为 9 答案 3 4 6 2010 浙江文浙江文 13 已知平面向量 1 2 2 则2a 的值是 答案 10 7 7 20102010 天津理天津理 15 如图 在ABC 中 ADAB 3BCBD 1AD 则AC AD 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 解析 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平面 向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 8 2010 广东理广东理 10 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x 答案 2 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 解得2x 10 三三 解答题解答题 1 1 20102010 江苏卷江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2 2 10 方法二方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC 4 2 AD 2 10 2 由题设知 OC 2 1 32 5 ABtOCtt 由 OCtAB OC 0 得 32 5 2 1 0tt 从而511 t 所以 11 5 t 或者 2 ABOCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 11 20092009 年高考题年高考题 一一 选择题选择题 1 2009 年广东卷文 已知平面向量a a 1x b b 2 x x 则向量 ab A 平行于x轴 B 平行于第一 三象限的角平分线 C 平行于y轴 D 平行于第二 四象限的角平分线 答案 C 解析 ab 2 0 1 x 由 2 10 x 及向量的性质可知 C 正确 2 2009 广东卷理 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处于 平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 答案 D 解析 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以72 3 F 选 D 3 2009 浙江卷理 设向量a b满足 3 a 4 b 0 a b 以a b ab的 模为边长构成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 w A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能 实现 4 2009 浙江卷文 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 答案 D 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 则有3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 命题意图 此题主要考查了平面向量的坐标运算 通过平面向量的平行和垂直关系的 12 考查 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 5 2009 北京卷文 已知向量 1 0 0 1 abckab kR dab 如果 cd 那么 A 1k 且c与d同向 B 1k 且c与d反向 C 1k 且c与d同向 D 1k 且c与d反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线 平行 向量的加减法 属于基础知识 基本运算考查 a a 1 0 b b 0 1 若1k 则c c a a b b 1 1 d d a a b b 1 1 显然 a a与b b不平行 排除 A B 若1k 则c c a a b b 1 1 d d a a b b 1 1 即c c d d且c c与d d反向 排除 C 故选 D 6 2009 北京卷文 设 D 是正 123 PP P 及其内部的点构成的集合 点 0 P是 123 PP P 的中心 若集合 0 1 2 3 i SP PD PPPPi 则集合 S 表示的平面区域是 A 三角形区域 B 四边形区域 C 五边形区域 D 六边形区域 答案 D 解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识 本题主要 考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生 分析问题和解决问题的能力 属于创新题型 如图 A B C D E F 为各边三等分点 答案是集合 S 为六边形 ABCDEF 其中 02 1 3 i P AP APA i 即点 P 可以是点 A 7 2009北京卷理 已知向量a a b b不共线 c ck a a b b k R R d d a a b b 如果c c d d 那么 A 1k 且c c与d d同向 B 1k 且c c与d d反向 C 1k 且c c与d d同向 D 1k 且c c与d d反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线 平行 向量的加减法 属于基础知识 基本运算的考 查 13 取a a 1 0 b b 0 1 若1k 则c c a a b b 1 1 d d a a b b 1 1 显然 a a与b b不平行 排除 A B 若1k 则c c a a b b 1 1 d d a a b b 1 1 即c c d d且c c与d d反向 排除 C 故选 D 8 2009 山东卷理 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 2BCBABP 则 A 0PAPB B 0PCPA C 0PBPC D 0PAPBPC 答案 B 解析 因为2BCBABP 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 B 命题立意 本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则 可以借助图形解答 9 2009 全国卷 文 已知向量a a 2 1 a a b b 10 a a b b 5 2 则 b b A 5 B 10 C 5 D 25 答案 C C 解析 本题考查平面向量数量积运算和性质 由5 2ab 知 a b 2 a2 b2 2ab 50 得 b 5 选 C 10 2009 全国卷 理 设a b c是单位向量 且a b 0 则 acbc 的最 小值为 A 2 B 22 C 1 D 12 答案 D 解析 a b c 是单位向量 2 acbca bab cc 12cos 121 abcab c 11 2009 湖北卷理 已知 1 0 0 1 1 1 1 1 Pa ammR Qb bnnR 是两个向量集合 则PQ I A 1 1 B 1 1 C 1 0 D 0 1 答案 A 14 解析 因为 1 1 1 ambnn 代入选项可得 1 1PQ 故选 A 12 2009 全国卷 理 已知向量 2 1 10 5 2aa bab 则 b A 5 B 10 C 5 D 25 答案 C 解析 2222 50 2 520 abaa bbb 5b 故选 C 13 2009 辽宁卷理 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 2 0 a 1b 则2ab A 3 B 2 3 C 4 D 2 答案 B 解析 由已知 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 2ab 2 3 14 2009 宁夏海南卷理 已知 O N P 在ABC 所在平面内 且 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPBPCPCPA 则点 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 答案 C 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角型的垂心 解析 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为 ABC的垂心 选 15 2009 湖北卷文 若向量 a 1 1 b 1 1 c 4 2 则 c A 3a b B 3a b C a 3b D a 3b 答案 B 解析 由计算可得 4 2 3ccb 故选 B 16 2009 湖南卷文 如图 1 D E F 分别是 ABC 的边 AB BC CA 的中点 则 15 E F D C B A A 0ADBECF B 0BDCFDF C 0ADCECF D 0BDBEFC 答案 A 图 1 解析 ADDBADBEDBBEDEFC 得0ADBECF 或0ADBECFADDFCFAFCF 17 2009 辽宁卷文 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 a 2 0 b 1 则 a 2b 等于 A 3 B 23 C 4 D 12 答案 B 解析 由已知 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 2ab 2 3 18 2009全国卷 文 设非零向量a b c满足cbacba 则 ba A 150 B 120 C 60 D 30 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算 考查数形结合的思想 基础题 解 由向量加法的平行四边形法则 知a b可构成菱形的两条相邻边 且a b为起 点处的对角线长等于菱形的边长 故选择 B 19 2009 陕西卷文 在ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 1 点 P 在 AM 上且满足学2PAPM 则科网 PAPBPC 等于 A 4 9 B 4 3 C 4 3 D 4 9 答案 A 解析 由2APPM 知 p为ABC 的重心 根据向量的加法 2PBPCPM 则 16 APPBPC 2 14 2 2cos021 3 39 AP PMAP PM 20 2009 宁夏海南卷文 已知 3 2 1 0ab 向量ab 与2ab 垂直 则实 数 的值为 A 1 7 B 1 7 C 1 6 D 1 6 答案 A 解析 向量ab 3 1 2 2ab 1 2 因为两个向量垂直 故 有 3 1 2 1 2 0 即 3 1 4 0 解得 1 7 故选 A 21 2009 湖南卷理 对于非 0 向时 a b a b 的正确是 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由0ab 可得ab 即得 ab 但 ab 不一定有ab 所以 0ab 是 ab的充分不必要条件 22 2009 福建卷文 设 a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满 足 a与 b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以 a b为邻边的平行四边形的面积 B 以 b c为两边的三角形面积 C a b为两边的三角形面积 D 以 b c为邻边的平行四边形的面积 答案 A 解析 假设 a与 b的夹角为 b c b c cos b a cos 90 0 b a sin 即为以 a b为邻边的平 行四边形的面积 23 2009 重庆卷理 已知1 6 2 aba ba 则向量a与向量b的夹角是 A 6 B 4 C 3 D 2 17 答案 C 解析 因为由条件得 22 2 23cos1 6 cos a baa baa b 所以 1 cos 23 所以 所以 24 2009 重庆卷文 已知向量 1 1 2 x ab若a b与 4b2a平行 则实数x的值 是 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 D 解法 1 因为 1 1 2 abx 所以 3 1 42 6 42 abxbax 由于ab 与42ba 平行 得6 1 3 42 0 xx 解得2x 解法 2 因为ab 与42ba 平行 则存在常数 使 42 abba 即 21 41 ab 根据向量共线的条件知 向量a与b共线 故2x 25 2009 湖北卷理 函数cos 2 2 6 yx 的图象F按向量a平移到 F F的函数解析 式为 yf x 当 yf x 为奇函数时 向量a可以等于 2 6 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 答案 B 解析 直接用代入法检验比较简单 或者设 ax y v 根据定义 cos 2 2 6 yyxx 根据 y 是奇函数 对应求出 x y 26 2009 湖北卷文 函数2 6 2cos xy的图像 F 按向量 a 平移到 F F 的解析式 y f x 当 y f x 为奇函数时 向量 a 可以等于 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 答案 D 解析 由平面向量平行规律可知 仅当 2 6 a 时 F cos 2 2 66 f xx sin2x 为奇函数 故选 D 18 26 2009 广东卷理 若平面向量a b满足1 ba ba 平行于x轴 1 2 b 则 a 答案 1 0 2 1 3 1 解析 0 1 ba或 0 1 则 1 1 1 2 0 1 a 或 1 3 1 2 0 1 a 27 2009 江苏卷 已知向量a 和向量b 的夹角为30o 2 3ab 则向量a 和向量b 的 数量积a b 答案 3 解析 考查数量积的运算 3 233 2 a b 28 2009 安徽卷理 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB 它们的夹角为120o 如图所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动 若 OCxOAyOB 其中 x yR 则xy 的最大值是 答案 2 解析 设AOC OC OAxOA OAyOB OA OC OBxOA OByOB OB 即 0 1 cos 2 1 cos 120 2 xy xy 0 2 coscos 120 cos3sin2sin 2 6 xy 29 2009 安徽卷文 在平行四边形 ABCD 中 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点 或 其中 R 则 答案 4 3 解析 设BCb BAa 则 1 2 AFba 1 2 AEba ACba 代入条件得 24 33 uu A B C P 19 30 2009 江西卷文 已知向量 3 1 a 1 3 b 2 ck 若 acb 则 k 答案 0 解析 因为 3 1 ack 所以0k 31 2009 江西卷理 已知向量 3 1 a 1 3 b 7 ck 若 ac b 则 k 答案 5 解析 36 5 13 k k 32 2009 湖南卷文 如图 2 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若ADxAByAC 则 x y 图 2 答案 3 1 2 x 3 2 y 解析 作DFAB 设12ABACBCDE 60DEB 6 2 BD 由45DBF 解得 623 222 DFBF 故 3 1 2 x 3 2 y 33 2009 辽宁卷文 在平面直角坐标系 xoy 中 四边形 ABCD 的边 AB DC AD BC 已知点 A 2 0 B 6 8 C 8 6 则 D 点的坐标为 答案 0 2 解析 平行四边形 ABCD 中 OBODOAOC ODOAOCOB 2 0 8 6 6 8 0 2 20 即 D 点坐标为 0 2 34 2009 年广东卷文 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 2 0 1 求 sin和 cos的值 2 若 cos53 cos 5 0 2 求 cos的值 解 ab v v Q sin2cos0a b v vg 即sin2cos 又 2 sincos1 22 4coscos1 即 2 1 cos 5 2 4 sin 5 又 2 5 0 sin 25 5 cos 5 2 5cos 5 coscossinsin 5cos2 5sin 3 5cos cossin 222 cossin1 cos 即 2 1 cos 2 又 0 2 2 cos 2 35 2009 江苏卷 设向量 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc 1 若a 与2bc 垂直 求tan 的值 2 求 bc 的最大值 3 若tantan16 求证 a b 解析 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二倍角 的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 满分 14 分 36 2009广东卷理 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 0 2 1 求 sin和 cos的值 21 2 若 10 sin 0 102 求cos 的值 解 1 a与b互相垂直 则0cos2sin ba 即 cos2sin 代入 1cossin 22 得 5 5 cos 5 52 sin 又 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 2 0 2 0 22 则 10 103 sin1 cos 2 37 2009 湖南卷文 已知向量 sin cos2sin 1 2 ab 1 若 ab 求tan 的值 2 若 0 ab 求 的值 解 1 因为 ab 所以2sincos2sin 于是4sincos 故 1 tan 4 2 由 ab 知 22 sin cos2sin 5 所以 2 1 2sin24sin5 从而2sin22 1 cos2 4 即sin2cos21 于是 2 sin 2 42 又由0 知 9 2 444 所以 5 2 44 或 7 2 44 因此 2 或 3 4 38 2009 湖南卷理 在ABC 已知 2 233AB ACABACBC 求角 A B C 的大小 解 设 BCa ACb ABc 22 由23AB ACABAC 得2cos3bcAbc 所以 3 cos 2 A 又 0 A 因此 6 A 由 2 33ABACBC 得 2 3bca 于是 2 3 sinsin3sin 4 CBA 所以 53 sinsin 64 CC 133 sin cossin 224 CCC 因此 2 2sincos2 3sin3 sin23cos20CCCCC 既sin 2 0 3 C 由 A 6 知 5 0 6 C 所以 3 4 2 33 C 从而 20 3 C 或2 3 C 既 6 C 或 2 3 C 故 2 636 ABC 或 2 663 ABC 39 2009 上海卷文 已知 ABC 的角 A B C 所对的边分别是 a b c 设向量 ma b sin sin nBA 2 2 pba 1 若m n 求证 ABC 为等腰三角形 2 若m p 边长 c 2 角 C 3 求 ABC 的面积 证明 1 sinsin mnaAbB u vv Q 即 22 ab ab RR 其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径 ab ABC 为等腰 三角形 解 2 由题意可知 0 2 2 0mpa bb a u vu v 即 abab 由余弦定理可知 222 4 3abababab 2 340abab 即 4 1 abab 舍去 11 sin4 sin3 223 SabC 23 20082008 年高考题年高考题 一 选择题 1 2008 全国 I 在ABC 中 AB c AC b 若点D满足2BDDC 则AD A 21 33 bc B 52 33 cb C 21 33 bc D 12 33 bc 答案 A 2 2008 安徽 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 AB 1 3 AC 则BD A 2 4 B 3 5 C 3 5 D 2 4 答案 B 3 2008 湖北 设 2 1 a 4 3 b 2 3 c则 cba 2 A 15 12 B 0 C 3 D 11 答案 C 4 2008 湖南 设D E F分别是 ABC的三边BC CA AB上的点 且 2 DCBD 2 CEEA 2 AFFB 则ADBECF 与BC A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直 答案 A 5 2008 广东 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点OE 是线段OD的中点 AE 的延长线与CD交于点F 若AC a BD b 则AF A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 答案 B 6 2008 浙江 已知a b b是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量c满足 0 cbca 则c的最大值是 24 A 1 B 2 C 2 D 2 2 答案 C 二 填空题 1 2008 陕西 关于平面向量 abc 有下列三个命题 若 a b a c 则 bc 若 1 2 6 k ab ab 则3k 非零向量a和b满足 abab 则a与 ab的夹角为60 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 2 2008 上海 若向量a b 满足12ab 且a 与b 的夹角为 3 则ab 答案 7 3 2008 全国 II 设向量 12 2 3 ab 若向量 ab与向量 47 c共线 则 答案 2 4 2008 北京 已知向量a与b的夹角为120 且4 ab 那么 2 bab的值为 答案 0 5 2008 天津 已知平面向量 2 4 a 1 2 b 若 caa b b 则 c 答案 28 20 2008 江苏 a b 的夹角为120 1a 3b 则5ab 答案 7 25 第二部分第二部分 两两年年模拟模拟题题 20112011 届高三届高三模拟模拟题题 题组一题组一 一一 选择题选择题 1 宁夏银川 一中宁夏银川 一中 2011 届 高三 第五次月 考试题全 解全析届 高三 第五次月 考试题全 解全析理理 2121 RbaACbaAB ba 若若是不共线的向量是不共线的向量 则 A B C 三点共线的充要 条件为 A 1 21 B 1 21 C 01 21 D 01 21 答案 D 分析 由于向量 AC AB 由公共起点 因此三点 A B C共线只要 AC AB 共线即可 根 据向量共线的条件即存在实数 使得ACAB 然后根据平面向量基本定理得到两个方 程 消掉 即得结论 解析 只要要 AC AB 共线即可 根据向量共线的条件即存在实数 使得ACAB 即 21 abab 由于 a b 不共线 根据平面向量基本定理得 1 1 且 2 消 掉 得 12 1 考点 平面向量 点评 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理 平 面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示 这个定 理的一个极为重要的导出结果是 如果 a b 不共线 那么 1212 abab 的充要条件 是 11 且 22 2 浙江省金丽衢十二校浙江省金丽衢十二校 2011 届高三第一次联考文届高三第一次联考文 平面向量ba 与的夹角为120 a 2 0 b 1 ab 则 A 3 B 3 C 7 D 7 答案 B 3 山东省日照市山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试文届高三第一次调研考试文 设平面向量 1 2 1 abm 若 a b 则实数m的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 答案 B 4 山东省莱阳市山东省莱阳市 20112011 届高三上学期期末数学模拟届高三上学期期末数学模拟 6 6 理理 已知 5 6 6 5 ba 则a 与b A 垂直 B 不垂直也不平行 C 平行且同向 D 平行且反向 答案 A 5 吉林省东北师大附中吉林省东北师大附中 2011 届高三上学期第三次模底考试理届高三上学期第三次模底考试理 26 已知向量 75751515acossinbcossin ab 那么的值是 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 1 答案 D 6 湖南省嘉禾一中湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期届高三上学期 1 月高考押题卷月高考押题卷 在平行四边形ABCD中 AC与BD 交于点OE 是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 若ACa BDb 则 AF A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 答案 B 7 湖北省涟源一中湖北省涟源一中 双峰一中双峰一中 2011 届高三第五次月考理届高三第五次月考理 已知ABC 和点 M 满足 0MAMBMC 若存在实m使得 ABACmAM 成立 则m A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 8 湖北省 八校湖北省 八校 20112011 届高 三第一次 联考理届高 三第一次 联考理 如图 在ABC 中 1 3 ANNC P是BN上的一点 若 2 11 APm ABAC 则实数m的值为 A 9 11 B 5 11 C 3 11 D 2 11 答案 C 9 黑龙江省佳木斯大学附属中学黑龙江省佳木斯大学附属中学 20112011 届高三上学期期末考试理届高三上学期期末考试理 已知向量a 2 1 b 3 0 则a 在b 方向上的投影为 A 2 B 5 C 2 D 5 答案 C 10 黑黑龙江省哈九中龙江省哈九中 2011 届高三期末考试试题理届高三期末考试试题理 已知 2 0 2 2 2cos 2sin OBOCCA 则OA 与OB 夹角的取值 范围是 A 12 3 B 5 4 12 C 5 12 12 D 5 12 2 C A B N P 27 答案 C 11 河南省鹿邑县五校河南省鹿邑县五校 2011 届高三届高三 12 月联考理月联考理 若两个非零向量a b 满足 2ababa 则向量ab 与ab 的夹角是 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案 C 12 河南省焦作市部分学校河南省焦作市部分学校20112011届高三上学期期终调研测试理届高三上学期期终调研测试理 如图 向量等于 A B C D 答案 D 13 广东省高州市南塘中学广东省高州市南塘中学 2011 届高三上学期届高三上学期 16 周抽周抽考理考理 已知向量 2 3 5 1 ab 若manb 0 m 与a 垂直 则 n m 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 C 14 广东六校广东六校 2011 届高三届高三 12 月联考文月联考文 已知平面向量 3 1 3 abx 且ab 则x A 3 B 1 C 1 D 3 答案 C 15 北京四中北京四中 20112011 届高三上学期开学测试理科试题届高三上学期开学测试理科试题 已知为非零的平面向量 甲 乙 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 16 北京五中北京五中 20112011 届高三上学期期中考试试题理届高三上学期期中考试试题理 设非零向量ba 满足 baba 则a与ba 的夹角为 28 A 30 B 60 C 90 D 120 答案 D 17 福建省安溪梧桐中学福建省安溪梧桐中学 20112011 届高三第三次阶段考试理届高三第三次阶段考试理 已知向量aba且 1 sin 2 cos b 则2sincos 等于 A 3 B 3 C 4 5 D 4 5 答案 D 18 福建省惠安荷山中学福建省惠安荷山中学 20112011 届高三第三次月考理科试卷届高三第三次月考理科试卷 已知 2121 RbaACbaAB ba 若是不共线的向量 则 A B C 三 点共线的充要条件为 A 1 21 B1 21 C 01 21 D 12 10 答案 B 19 福建省四地六校福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理届高三上学期第三次联考试题理 已知向量baba与则 2 1 1 1 2 0 的夹角为 A 0 B 45 C 90 D 180 答案 C 20 福建省厦门双十中学福建省厦门双十中学 2011 届高三届高三 12 月月考题理月月考题理 设向量 2 3 1 1 1 baxxbxa是则 的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 21 福建省厦门外国语学校福建省厦门外国语学校 20112011 届高三届高三 1111 月月考理月月考理 已知 2121 RbaACbaAB ba 若是不共线的向量 则 A B C 三 点共线的充要条件为 A 1 21 B1 21 C 01 21 D 11 21 答案 C 二二 填填空题空题 22 宁夏 银川一中宁夏 银川一中 2011 届 高 三第五 次月考试题 全解全析 理届 高 三第五 次月考试题 全解全析 理 已知和b 的夹角 为120 1 3ab 则 ba 答案 13 分析 根据向量模的含义 222 2ababababa b 讲已知代入即可 解 析 222 1 21 92 1 3 13 2 ababababa b 故 29 13ab 考点 平面向量 点评 本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念 其中主要的考查点是 2 aa a 这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系 本题也可以根据向量减法的几 何意义 通过余弦定理解决 实际上我们在 解析 中的计算式就是余弦定理的计算式 23 山东省莱阳市山东省莱阳市 20112011 届高三上学期期末数学模拟届高三上学期期末数学模拟 6 6 理理 已知平面向量 1 3 a v 4 2 b v ab vv 与a v 垂直 则 答案 1 24 黑龙江省佳木斯大学附属中学黑龙江省佳木斯大学附属中学 20112011 届高三上学期期末考试理届高三上学期期末考试理 若向量 1 e 与 2 e 满足 2 1212 22 24eeee 则 1 e 与 2 e 所夹的角为 答案 2 3 25 河南省鹿邑县五校河南省鹿邑县五校 2011 届高三届高三 12 月联考理月联考理 如图 向量ab 第 4 题 答案 ee 21 26 广东省肇庆市广东省肇庆市 2011 届高三上学期期届高三上学期期末考试理末考试理 若平面向量b与向量 2 1 a的夹角 是 180 且53 b 则 b 答案 3 6 27 北京龙门育才学校北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考届高三上学期第三次月考 若两个非零向量 a b 满足2ababa 则向量ab 与ab 的夹角是 答案 2 3 28 北京五中北京五中 20112011 届高三上学期期中考试试题理届高三上学期期中考试试题理 与 4 3 a垂直的单位向量为 答案 5 3 5 4 5 3 5 4 30 29 福建省三明一中福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理届高三上学期第三次月考理 已知非零向量a b 满足a b 且a 2b 与a 2b 的夹角为 120 0 则 b a 等于 答案 3 3 2 30 福建省四地六校福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理届高三上学期第三次联考试题理 已知 baba 3 1 2 若 为钝角 则 的取值范围是 答案 2 3 且3 31 福建省厦门外国语学校福建省厦门外国语学校 20112011 届高三届高三 1111 月月考理月月考理 若向量 e1与 e2满足 e1 2 e2 2 e1 2e2 2 4 则 e 1与 e2所夹的角为 答案 2 3 三三 简单题简单题 32 河南省鹿邑县五校河南省鹿邑县五校 2011 届高三届高三 12 月联考理月联考理 12 分 已知向量 sin21 0 0 4 axbcomx 函数 babaxf的图像过点 7 1 2 M 且相邻两对称轴之间的距离为 2 1 求 f x的表达式 2 求 0 1 2 10 ffff 的值 答案 33 广东省肇庆市广东省肇庆市 2011 届高三上学期期末考试理届高三上学期期末考试理 本小题满分 12 分 31 已知向量 sin cosAAm 1 2 n 且0 nm 1 求 tanA 的值 2 求函数 sintan2cos RxxAxxf 的值域 答案 本小题满分 12 分 解 1 由题意得0sincos2 AAnm 2 分 因为0cos A 所以2tan A 4 分 2 由 1 知2tan A得 2 3 2 1 sin2sin2sin21sin22cos 22 xxxxxxf 6 分 因为Rx 所以 1 1 sin x 7 分 当 2 1 sin x时 xf有最大值 2 3 9 分 当1sin x时 xf有最小值 3 11 分 故所求函数 xf的值域是 2 3 3 12 分 题组题组二二 一一 选择题选择题 1 浙江省温州十校联合体浙江省温州十校联合体 2011 届高三文届高三文 若向量 3 ma 1 2 b 0 ba 则实数m的值为 A 3 2 B 3 2 C 2 D 6 答案 D 2 浙江省桐乡一中浙江省桐乡一中 2011 届高三理届高三理 已知a b是不共线的向量 baAB baAC R 那么 A B C 三点共线的充要条件为 A 2 B 1 C 1 D 1 答案答案 D D 3 浙江省桐乡一中浙江省桐乡一中 2011 届高三学理届高三学理 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线 32 若平面 内任意一条直线 m 平面 则平面 平面 若平面 与平面 的交线为 m 平面 内的直线 n 直线 m 则直线 n 平面 若点 P 到三角形三个顶