九年级数学新课程命题的技术与方法课件.ppt

数学新课程命题的技术与方法 2002年实施义务教育课程改革以来 中考更加成为众所关注的一个焦点问题 主要是中考命题如何体现 三维目标 特别是如何体现 过程与方法 如何体现 情感 态度 价值观 这既涉及命题理念又涉及命题技术 正是在这样的背景之下 对当前的数学中考命题进行了实际调查和理论思考 同时也在试题编拟的技术层面上作了系统的回顾与反思 确定了评价要处理好五个关系 1 继承与改革 继承前几年中考数学试题中得到教师 学生 领导 专家肯定的优点 在此基础上根据 课程标准 的精神继续改革 2 基础与创新 既要考查 双基 又要考查学生的能力和继续学习的潜能 以学生的发展为本 3 实践与应用 试题应加强与社会实际和学生生活的联系 突出对数学应用意识的考查 4 探索与开放 要有一定的探索性和开放性试题 但把握应有度 5 难度与区分度 严格控制试卷的整体难度在0 7以上 并有一定的区分度 在总结的基础上 我们对试题编拟的建议反而更加简单了 最根本的 无非就是要能根据教材来编拟试题 问题只在于如何用好教材 这需要熟悉编题的技术 虽然我们的思考有中考命题的背景 但试题编拟技术的使用并不限于中考 应是所有教师都要掌握的一项基本功 它表现为提出问题与解决问题相统一的综合能力 在老师每一节课的设计和展开中其实都包含着编拟问题的因素与技术 是一个很有学术含量的教研课题 由教材编拟试题的认识 编拟数学试题的方法主要有 演绎法 倒推法 基本量法 模拟法 改编法 模型法等 而对于教师来说 既简便易行 又基本实用的是 由课本的概念 定理 习题等编拟试题 这主要是用 演绎法 和 改编法 但同时又会综合用到其他多种方法 由教材编拟试题的好处 这一命题途径 是因为它确实很有用 也很容易学到手 正为日常教学所广泛使用 其好处主要有 依标靠本 抓住课本编题 不容易偏离课标教材 也不容易产生偏题 怪题或过难的题 切合学生实际由教材编拟试题 能根据学生平时反馈信息的积累 有意识组织题目 便于抓住学科重点 突出关键 切中要害 也有利于学生以稳定的心态作答 正常发挥 既有利于检查知识 又可以考查能力 这类题目与课本内容有某种直接联系 但又作了一定的变化 所考查的是 学生理解了的知识 既不能仅凭死记硬背作答 又经过努力可以做出来 对教师既实用又易行 教师离开教材 重新组织全部题目 不仅工作量大 而且容易偏离课标的知识技能目标或过程性目标 如果照搬各种资料 则有较大的盲目性 不易结合学生的实际 由教材编拟试题 既实用 可靠 又容易掌握 有人担心 由教材编拟试题会缺少创新 其实不然 关键在编题技术的运用 由教材编拟基本题的途径 基本题主要用来检查基础知识 基本技能得解题速度 数量比较多 难度比较低 低 中档题 由教材编拟基本题可考虑如下 个技术措施 1 选编课本原题考试用成题存在公平性的问题 通常是要避免的 但课本成题却是一个小小的例外 因为它对每个考生是公平的 问题是要有典型性 数量适度 并尽量减少 导致死记硬背 的负面影响 课本中有很多体现核心知识 基本方法或典型模式的例题 习题 重要定理的内容 证法及应用自然构成典型模式 不仅基本题可以用 综合题也可以用 用好了还能提供 踏踏实实钻研教材 的导向 抵制 资料泛滥 或 题海战术 的歪风 仿制课本类题根据课本的题目类型与编拟思想 或变换数据 或变更情境 编成试题 生成课本变题直接由定义 定理 公式 法则 以及基本运算 基本推理 基本作图 基本方法 基本经验 基本思想等编拟理解题 相当于日常教学的变式练习 这方面的例子比较简单 并且会自动包含在 由教材编拟综合题的途径 或 由教材编拟创新题的思路 中 由教材编拟综合题的途径 综合题更注重知识的整体性结构 更注重概念的实质性理解 更注重能力的综合性与灵活性应用 高 中档题 中考命题多集中在方程 函数 不等式 以及三角形 四边形和圆等内容上 常以阅读理解型 开放探究型 图表信息型 猜想验证型 运动型 应用型等形式出现 由教材编拟综合题可考虑如下 个技术 多个公式 多道习题 多个方法的串联 并联与综合 习题的延伸或推广 增加习题的层次 如给条件增加充分条件 给结论增加必要条件 又如换元 把字母换成代数式等 改变设问的方向 如改变知识的形态 从新形态的视角设问 又如交换条件与结论的位置产生逆向问题 引进讨论的参数 如把已知数据换成要讨论的字母 又如隐去条件 反过来问当什么情况下时有结论成立 设置隐含的条件 如定义域 算术根 分母不为零 二次方程有实根时隐含 等 创设新情境 如分散条件 或引进应用情境等 类比 具体实施时 常常是多项措施的同时使用 由教材编拟创新题的思路 创新题可以是基本题 也可以是综合题 试题创新 首先要有锐意创新的意识 同时也需要有落实理念的途径 比如说 考察学生的用数学意识 我们可以出应用题 但是体现人文关怀 关注学生的发展 落实 情感与态度 等目标时 题目怎么出 如果命题工作不能落实三维目标 不能为平时教学提供贯彻三维目标的导向和途径 那么 在应试教育和功利主义的影响之下 就会只剩下 知识与技能 了 下面是我们的一些不成熟建议 趁此机会就教与同行 从单纯解答问题转变到也考查知识结构 从知识立意转变到能力立意 考查数学思想方法 从单纯考查结果转变到兼而经历过程 从单纯解答老师的题转变到也自己提出问题 甚至可以提出答案未知的题 或深刻的假命题 从单纯解答 结构良好 的封闭题转变到也解答 思维发散 的开放题 从单一的逻辑证明转变到也允许解释性证明 一 考试定位 1 考试性质 标准参照与常模参照 兼具达标与选拔功能 基本试题与综合性试题 2 考试依据 课程标准增加内容 几何变换 统计图表 概率实验等 减少内容 根式运算 十字相乘法的灵活应用 圆 相似形的证明 重心改变 复杂的计算 强调技巧的几何证明将弱化 突出探索 包括需要证明的图形性质 代数模型 根据数据做推断 教材数学活动过程 包括素材和方式 问题串 考试说明试题的涉及面 试卷的结构 难度分布等 一般变量 时间 题量 分值 难度分布 题型 二 考什么内容 三 考查重心 核心知识 技能指具有基础性 拓展性 广泛应用性的知识 技能 思想方法和解决问题的基本策略 重点是理解 应用等 不在于熟练 特定的技巧等 如 符号表示 计算 包括估算 求解 图形性质的理解与运用 坐标 变换与运用 统计量的理解与计算 概率概念的理解 事件发生概率的计算 怎么考 解决问题能力指能从数学的角度提出问题 理解问题 并综合运用数学知识解决问题 具有一定的解决问题的基本策略 能合乎逻辑地与他人交流 具有初步的反思意识等等 四 一些新的尝试 1 引入开放性试题2 关注考查数学学习能力3 关注个性化评价 1 引入开放性试题 从考试的角度来看 开放性试题的价值包括 给学生一个机会 让他们表达与自己的数学理解程度相一致的数学观点 让学生形成自己的答案 并且在形成答案的过程中尽可能使用自己所熟悉的语言 知识 方法等 允许学生对一个问题 在他们自己理解的程度上进行证明 鼓励学生用许多种方法解决问题 2 关注考查数学学习能力 了解作为成绩基础的学习过程的信息 它与成绩测试不同在于 前者关心作为成绩基础的学习过程的信息 而后者只关心成绩本身 通常 前者的试题素材可以是学生不熟悉的背景 而后者的试题素材则大多需要是学生熟悉的背景 这里 我们关注学生获得知识 方法 以及在新情境中的迁移能力 即关注个体的潜力 发展 个性特征 具体方式包括设置探索性学习活动 让学生在已有信息基础上 发现规律 寻找模式 以及分析数据找出关系等 3 关注个性化评价 允许选择任务 有时可以避免使得问题解决能力的考查被技能性考查所替代 即避免个体由于技能的缺陷而未能获得正确答案 体现出 承认差异 尊重个性 给每一位学生以充分的发展空间 的基本理念 具体的操作方式主要有以下三种 设置自主选择试题 在试卷上设立可以选做的试题 让学生根据自己的数学学习状况 认知特征 选择恰当的试题做答 以充分表现自己数学学习才能 设计 补差 的附加题 以保证一定区分度的同时 又能具有较高的合格率 从而兼顾学业考试的选拔功能和目标检测功能 设计 提优 的附加题 以满足不同知识水平的学生要求 鼓励学生积极进取 勇于创新 这样的试题在学业考试中运用值得进一步探索与研究 提供开放性试题 力图使得每一个学生都能够根据自己的思考角度 对试题背景的理解程度 提出一个问题 给出一个结论 猜想 或提供一种结论之所以成立的解释 证明 等等 一 关于考试定位 例新增加内容从下面两题中任选一题进行解答 1 先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形 再将基础图形去掉或添上一部分 使新图形仍为轴对称图形 画在下面的方格纸上 2 先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形 再将基础图形的一部分平移或旋转到剩余图形的某一位置组成新的图形 使新图形仍为轴对称图形 画在下面的方格纸上 例新增加内容抛掷两枚分别标有1 2 3 4的四面体骰子 写出这个实验中的一个可能事件 写出这个实验中的一个不可能事件 二 考什么内容 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 a 3 x 3 23b 3 23 x 3 24c 3 24 x 3 25d 3 25 x 3 26 例6下面两幅统计图 如图8 图9 反映了某市甲 乙两所中学学生参加课外活动的情况 请你通过图中信息回答下面的问题 通过对图8的分析 写出一条你认为正确的结论 通过对图9的分析 写出一条你认为正确的结论 2003年甲 乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少 例7下图是由一个转盘和箭头组成的装置 装置a上的数字分别是7 5 4 装置b上的数字分别是1 8 6 这两个装置除了表面数字外其它构造完全一样 现在你和另外一个人同时用力转动箭头 如果我们规定箭头停留在较大数字的一方胜出 那么你会选择哪一个装置呢 说说你的理由 例8课改实验区学生的综合素质状况受到全社会的广泛关注 恩施市有关部门对全市9200名学生数学学业考试状况进行了一次抽样调查 从中随机抽查了5所初中九年级全体学生的数学调考成绩 下图是2005年5月抽样情况统计图 这5所初中的九年级学生的得分情况如下表 数学学业考试满分120分 1 这5所初中九年级学生的总人数有多少人 2 统计时 老师漏填了表中空白处的数据 请你帮老师填上 3 随机抽取一人 恰好是获得120分的概率是多少 4 从上表中 你还能获得其它的信息吗 写出一条即可 三 考查重心 例9在nba常规赛中 我国著名篮球运动员姚明在一次比赛中22投14中得22分 若他投中了2个三分球 则 他还投中了几个两分球和几个罚球 罚球投中一次记1分 例10已知方程x3 2x 15 0恰有一个正根 请利用计算器估计该根的大小 要求误差小于0 05 并写出你的估算过程 例10恩施山青水秀 气候宜人 在世界自然保护区星斗山 有一种雪白的树蟋蟀 人们发现他15秒钟所叫次数与当地温度之间有近似一次函数关系 下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表 1 根据表中数据确定 用含x的代数式表示y 2 在该地最热的夏天 人们测得这种蟋蟀15秒钟叫了50次 那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度 例11 下图的数阵是由全体奇数排成 1 图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系 2 在数阵图中任意作一类似 1 中的平行四边形框 这九个数之和还有这种规律吗 请说出理由 3 这九个数之和能等于1998吗 2005 1017呢 若能 请写出这九个数中最小的一个 若不能 请说出理由 直觉思维成为亮点 新课标对数学思维能力的要求把传统教材强调的 逻辑思维能力 扩大到了 直觉思维能力 相应地 把 抽象思维能力 扩大到了 形象思维能力 例15 已知 如图2 正比例函数与反比例函数的图象相交于a b两点 a点坐标为 2 1 分别以a b为圆心的圆与x轴相切 则图中两个阴影部分面积的和为 例16 如图3 在平面直角坐标系中 已知一圆弧过正方形网格的格点a b c 已知a点的坐标为 3 5 则该圆弧所在圆的圆心坐标为 直觉解题常见的形式是图形解题 它是数形结合思想的一种基本运用 图解数形结合思想的实践 新教材在强调直觉思维的同时 自然也强化了数形结合运用时的图形解题 在旧教材中 对于数形结合 从数到形 强调的多 如作函数图象 而 从形到数 强调的少 如看图解题 在解题中 考生对图形信息的筛选和有用信息的提取 在能力上表现偏弱 一切能传递数学信息的书面记号都是数学语言 图形在数学语言中的地位 二 符号 抽象语言 有专业性和深刻性 常见的数学语言有三种 一 文字 普通语言 有普及性和介绍性 三 图形 形象语言 有直观性和情境性 表格是文字和图形的结合 杨辉三角既是图又是表 当题目中同时出现多种 语言 时 读题就得考虑顺序问题 平时学习的一般顺序为 文字 符号 图形 考场解题 有时倒过来更好 图形 符号 文字 以下考题 三种语言并茂 你从哪里读起 例16 将杨辉三角中的每一个数都换成分数 得到一个如右图所示的分数三角形 称来莱布尼茨三角形 以下研究式子按 脚踩两数 的规律 我们在所踩的两数中 勾一个踢一个 求 说明 这个数列 红线所串各数 如何求和 我们想到了杨辉三角 由此得以启示 杨辉三角中 一肩扛两数 莱布三角形中 一脚踏两数 把杨辉三角中的 一数顶一串 的性质 10 4 3 2 1 对应到莱布三角形中 猜想有 一数踩一串 的性质 对应到莱布三角形中 得 一数踩一串 的性质 答案 踢去的数如虚线所示 以下研究式子右边 和的极限 按 脚踩两数 的规律 我们在所踩的两数中 勾一个踢一个 勾右边的数 踢左边的数 对1 2来讲 勾得的数如实线所示 由于 踢去数 的极限为0 所以 勾得数 的极限是1 2 新题型旨在破除旧套路 旧式的 题海战术 的基本追求是 解题套路 1 用现成的 背得烂熟的书本公式去套 2 用考辅习题提供的几种模拟结果或程序去套 3 用 备考专家 介绍的奇方妙术口诀去套 然而这一切 都与 创新 二字无缘 新题型为破除套路而来 是学生可以接受的一种情景新 立意新 设问新 解答新 应用新的新型试题 由于数学之根起于数学定义 因此 用 及时定义法 给出新概念 成了设计新题型的首选 例17 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制 采用数字0 9和字母a f共16个计数符号 这些符号与十进制的数的对应关系如下表 例如 用十六进制表示 e d 1b 则a b a 6eb 1ac 5fd b0 解答新 我们用符号 x 10 y 16 分别表示10进制和16进制中的数 依题意 有 16 10 10 16 则有a b 10 11 10 110 10 6 16 14 10 6 10 e 16 6e 答案为a a x1 x2 x3 b x1 x3 x2 c x2 x3 x1 d x3 x2 x1 说明 此题 不少考生交了白卷 但不少初中学生解得很好 原因是 本题基本不涉及高中数学知识 至于高中生应达到的数学能力 有些初中生 甚至小学生 可以提前达到 例18 图右为三岔路口交通环岛的简化模型 某高峰时段 单位时间进出路口a b c的机动车辆数如图所示 图中x1 x2 x3分别表示该时段单位时间通过路段ab bc ca的机动车辆数 假设 单位时间内 上述路段中 同一路段 a x1 x2 x3 b x1 x3 x2 c x2 x3 x1 d x3 x2 x1 上驶入与驶出的车辆数相等 则 初中生的解答 段上的车辆数x1有两部分组成 一是从a口进来的50辆 二是从段上分流过来的x3 55 于是有x1 50 x3 55 x3 5 所以x1 x3 同理得x3 x2 答案为c 以上两道考题连初中生 甚至小学生 都会做 而有高中生解不出 故有人说 高中数学知识学的越多 解新题就越困难 这句话显然是错的 困难的原因不是 多 而是 死 用死套路去解新题目 自然会失败 感悟不因为 多 只因为 死 x1 x3 50 55 0得x1 x3遗憾的是 有些高中生所学的 比较法 只能 比较 旧题目 以例18为例 利用高中数学 实数比大小 比较法可以很快得到 趣事家长也能解例18 有一位家长 不知是不是一位司机 反正 他看到此题 认为非常容易 甚至 不需要数学 你听他唱 x1 x3比大小看看a口就知晓出的多来进的少所以x1比x3小 其实 他的 比大小 就是数学 可能是学究们不明白的 另种数学 例22 2007年4月23日 恩施清江凤凰大桥建成通车 凤凰大桥是八百里清江上一座集公路交通和城市景观于一体的中承式钢筋混凝土拱桥 主桥上的桥拱在空中划出一道优美的弧线 远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上 如图9 大桥上的桥拱是抛物线的一部分 位于桥上方部分的拱高约为18米 跨度约为112米 1 请你建立恰当的平面直角坐标系 求出可以近似描述主桥上的桥拱形状的解析式 2 求距离桥面中心点28米处垂直支架 图9 下图是 东方 超市中 飘柔 洗发水的价格标签 一服务员不小心将墨水滴在标签上 使得原价看不清楚 请帮忙算一算 该洗发水的原价 a 22元b 23元c 24元d 26元 a 15 36元b 16元c 23 04元d 24元 四 一些新的尝试 1 引入开放性试题例23如图4 现有下面四个关系 1 be cf 2 b c 3 ae af 4 e f 90 请用其中三个作为条件 余下的一个作为结论编一道数学证明题 写出已知 求证并加以证明 例24 如图5 点a e f c在同一条直线上 现有下面四个关系 1 ad bc 2 ae cf 3 b d 4 ad bc 请用其中三个作为条件 余下的一个作为结论编一道数学证明题 写出已知 求证并加以证明 2 关于学习能力 阅读以下短文 然后解决下列问题 例25 如果一个三角形和一个矩形满足条件 三角形的一边与矩形的一边重合 且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上 则称这样的矩形为三角形的 友好矩形 如图8 所示 矩形abef即为 abc的 友好矩形 显然 当 abc是钝角三角形时 其 友好矩形 只有一个 1 仿照以上叙述 说明什么是一个三角形的 友好平行四边形 2 如图8 若 abc为直角三角形 且 c 90 在图8 中画出 abc的所有 友好矩形 并比较这些矩形面积的大小 3 若 abc是锐角三角形 且bc ac ab 在图8 中画出 abc的所有 友好矩形 指出其中周长最小的矩形并加以证明 3 关注个性化评价 例温馨提示 请同学们做完上面考题后 再认真检查一遍 估计一下你的得分情况 如果你全卷得分低于90分 则本题的得分将计入全卷总分 但计入后全卷总分最多不超过90分 如果你全卷得分已经达到或超过90分 则本题的得分不计入全卷总分 例28 本题12分 附加题5分 累计总分不超过满分120分 如图13 1 操作 把正方形cgef的对角线ce放在正方形abcd的边bc的延长线上 cg bc 取线段ae的中点m 探究 线段md mf的关系 并加以证明 说明 如果你经历反复探索 没有找到解决问题的方法 请你把探索过程中的某种思路写出来 要求至少写3步 在你经历说明 的过程之后 可以从下列 中选取一个补充或更换已知条件 完成你的证明 注意 选取 完成证明得10分 选取 完成证明得7分 选 完成证明得5分 dm的延长线交ce于点n 且ad ne 将正方形cgef绕点c逆时针旋转45 如图13 2 其他条件不变 在 的条件下且cf 2ad 附加题 若将正方形cgef绕点c旋转任意角度后 其他条件不变 探究 线段md mf的关系 并加以证明 课题学习好考查吗 如何考查 首先我们还是关注课题学习的教育价值 课题学习的目的是发展学生的实践能力与综合运用能力 具备了较强的这种能力 学生是不难应付各种考试的 因此 我们不用因为担心课题学习无法考查 而放弃课题学习的教学 课题学习是初中数学新增的一大块内容 对此 课程标准 有美好的设想 但因种种原因 在教学中实施并未达到预期的效果 为了体现导向性 这部分内容更不能不考 考试命题对这块内容的处理却比较棘手 课题学习所体现的综合性 方法性很难在试卷中进行考查 当然 可能课题学习也不是完全不好考察 为了更好地引导教师展开课题学习的教学 我们在在05 06 07年的中考中做了一些有益的尝试 例29 某中学平整的操场上有一根旗杆 如图 一数学兴趣小组欲测量其高度 现有测量工具 皮尺 测角器 标杆 可供选用 请你用所学的知识 帮助他们设计测量方案 要求 1 画出你设计的测量平面图 2 简述测量方法 并写出测量的数据 长度用a b c 表示 角度用 表示 3 根据你测量的数据 计算旗杆的高度 例30 例30 如图 形如三角板的 abc中 acb 90 abc 45 bc 12cm 形如矩形量角器的半圆o的直径de 12cm 矩形defg的宽ef 6cm 矩形量角器以2cm s的速度从左向右运动 在运动过程中 点d e始终在bc所在的直线上 设运动时间为x s 矩形量角器和 abc的重叠部分的面积为s cm2 当x 0 s 时 点e与点c重合 图 3 图 4 图 5 供操作用 1 当x 3时 如图 2 s 当x 6时 当x 9时 s 2 当3 x 6时 求s关于x的函数关系式 3 当6 x 9时 求s关于x的函数关系式 4 当x为何值时 abc的斜边所在的直线与半圆o所在的圆相切 命题的价值取向 1 重视对必备的双基考查 全卷试题覆盖面广 强调对必需的基础知识 基本技能的考核 根据考试说明的目标要求 突出重要知识和技能的考查 体现教材的基础作用和教学目标的学习要求 试卷中许多试题源于课本和评价手册 能在网上测试卷和课程标准中找到原型 注重算理 均由课本中的例题 练习题和复习题略加改编入卷 2 试卷层次分明 难易有度 全卷试题总体上从易到难构成了三个台阶 分别是基础知识和基本技能 过程和方法 数学思考和问题解决 在每类题型上形成一定的梯度 以求做到 入口宽 出口窄 3 强化对能力的考核 突出解决问题时的过程和方法 试卷采用新的呈现方式 提供给学生有一定价值的问题背景 设计了操作理解型试题和探索开放型试题 考查学生解决问题中的方法和能力 如 在开放的问题中 考查学生基本方法