2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修1-1

1 2充分条件与必要条件 1 充分条件与必要条件 充分 必要 充分 必要 2 充要条件的概念 1 推出关系 p q且q p 记作 2 简称 p是q的充分必要条件 简称 3 意义 p q 则p是q的 条件或q是p的 条件 即p与q 3 充要条件的证明证明充要条件应从两个方面证明 一是 一是 p q 充要条件 充要 充要 互为充要条件 充分性 必要性 1 2016年北京 设a b是向量 则 a b 是 a b a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 d 2 设x 0 y r 则 x y 是 x y 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 c 4 条件p 1 xa 若p是q的充分不必要条件 则实数a的取值范围是 答案 1 例1 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 p 数a能被6整除 q 数a能被3整除 2 p x 1 q x2 1 3 p x y不全为0 q x y 0 解题探究 条件关系的判断 利用定义法 集合法 等价命题法 充分条件 必要条件 充要条件的判断 8充分 必要条件的判断方法 1 利用定义判断 直接判断 若p 则q 若q 则p 的真假 2 从集合的角度判断 若a b 则 x a 是 x b 的充分条件或 x b 是 x a 的必要条件 若a b 则 x a 是 x b 的充要条件 3 利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题 常转化为其逆否命题来判断真假 1 指出下列各题中 p是q的什么条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 在 abc中 p a b q bc ac 2 对于实数x y p x y 6 q x 2或y 4 3 在 abc中 p sina sinb q tana tanb 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 例2 已知p x2 8x 20 0 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若q是p的充分不必要条件 求实数m的取值范围 解题探究 利用条件关系的性质解决问题 充分 必要条件的应用 8充分条件与必要条件的应用技巧 1 应用 可利用充分性与必要性进行相关问题的求解 特别是求参数的值或取值范围问题 2 求解步骤 先把p q等价转化 利用充分条件 必要条件与集合间的包含关系 建立关于参数的不等式 组 进行求解 例3 设a b c为 abc的三边 求证 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是a 90 解题探究 充要条件的证明要从充分性和必要性两方面入手 充要条件的证明 证明 充分性 因为a 90 所以a2 b2 c2 于是方程x2 2ax b2 0可化为x2 2ax a2 c2 0 即x2 2ax a c a c 0 所以 x a c x a c 0 该方程有两根 x1 a c x2 a c 同样 另一个方程x2 2cx b2 0也可化为x2 2cx a2 c2 0 即 x c a x c a 0 该方程也有两根 x3 a c x4 c a 从而可以发现x1 x3 所以两方程有公共根 8要证明一个条件p是q的充要条件 需要从充分性和必要性两个方面进行证明 要证充分性 即证 若p 则q 为真 要证必要性 即证 若q 则p 为真 在证明的过程中 若不易直接证明 可根据命题之间的关系进行等价转换 然后加以证明 3 求证 a 1 是 不等式ax2 2x 1 0恒成立 的充要条件 示例 已知关于x的方程x2 mx 2m 3 0的两根均大于1 求实数m的取值范围 寻找充要条件出错 警示 熟练掌握相关的数学知识和逻辑推理方法是正确求解充分条件 必要条件的基础和关键 1 四种方法判定充分 必要条件 在不易判断p是q的充分条件 即p q 时 可以转向判断 q p 证明p是q的必要条件 即q p 可以证明 p q 2 求问题的充要条件 等价转化 3 证明p是q的充要条件 要证明充分性 必要性两个方面 1 2017年天津 设x r 则 2 x 0 是 x 1 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 由2 x 0 可得x 2 由 x 1 1可得 1 x 1 1 即0 x 2 因为 x 0 x 2 x x 2 所以 2 x 0 是 x 1 1 的必要不充分条件 故选b 2 在 abc中 角a b c所对应的边分别为a