2019-2020学年九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质教学课件 （新版）华东师大版

教学课件 数学九年级下册华东师大版 第26章二次函数26 2二次函数的图像与性质 第1课时 函数y ax bx c a b c是常数 a 0 叫做x的二次函数 什么叫二次函数 我们学过用什么方法画函数的图象 主要有哪些步骤 观察y x2的表达式 选择适当的x的值 并计算相应的y值 完成下表 用描点法画二次函数y x2的图象 0 1 2 3 0 1 4 9 描点 连线 y x2 观察图象 回答问题串 1 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流 2 图象是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 请你找出几对对称点 并与同伴交流 3 图象与x轴有交点吗 如果有 交点坐标是什么 4 在对称轴左侧 随着x值的增大 y的值如何变化 在对称轴右侧呢 5 当x取什么值时 y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 这条抛物线关于y轴对称 y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 二次函数y x2的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 二次函数y x2的图象是什么形状 2 它与二次函数y x2的图象有什么关系 你能根据表格中的数据作出猜想吗 x y 0 4 3 2 1 1 2 3 10 8 6 4 2 2 1 描点 连线 y x2 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y x2 y x2 0 0 0 0 y轴 y轴 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x 0时 最小值为0 当x 0时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 函数y ax2 a 0 的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴右侧 y随着x的增大而增大 当x 0时函数y的值最小 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x增大而减小 当x 0时 函数y的值最大 二次函数y ax2的性质 练习 已知抛物线y ax2经过点a 2 8 1 求此抛物线的函数解析式 2 判断点b 1 4 是否在此抛物线上 3 求出此抛物线上纵坐标为 6的点的坐标 4 若点 m n 在此抛物线上 那么点 m n 是否在此抛物线上 点 m n 呢 回味无穷 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴右侧 y随着x的增大而增大 当x 0时函数y的值最小 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 当x 0时 函数y的值最大 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 由二次函数y x2和y x2知 第2课时 比较二次函数y x 和y x 图象的异同 二次函数y 2x 的图象是什么形状 它与二次函数y x 的图象有什么相同和不同 1 二次函数y 2x 1的图象与二次函数y 2x 的图象有什么关系 2 二次函数y 3x 1的图象与二次函数y 3x 的图象有什么关系 试说出函数y ax2 k a k是常数 a 0 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 并填写下表 向上 向下 y轴 y轴 0 k 0 k 练习1 把抛物线向下平移2个单位 可以得到抛物线 在向上平移5个单位 可以得到抛物线 2 对于函数y x2 1 当x时 函数值y随x的增大而增大 当x时 函数值y随x的增大而减小 当x时 函数取得最值 为 0 0 0 大 0 3 函数y 3x2 5与y 3x2的图象的不同之处是 a 对称轴b 开口方向c 顶点d 形状4 已知抛物线y 2x2 1上有两点 x1 y1 x1 y1 且x1 x2 0 则y1y2 填 或 c 5 已知一个二次函数图像的顶点在y轴上 并且离原点1个单位 图像经过点 1 0 求该二次函数解析式 6 已知抛物线 把它向下平移 得到的抛物线与x轴交于a b两点 与y轴交于c点 若abc是直角三角形 那么原抛物线应向下平移几个单位 第3课时 1 抛物线y ax2的顶点是原点 对称轴是y轴 2 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y ax2在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 3 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴右侧 y随着x的增大而增大 当x 0时函数y的值最小 当a 0时 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x增大而减小 当x 0时 函数y的值最大 二次函数y ax2的性质 在同一个直角坐标系里画出函数与的图象 x y 0 8 6 4 2 2 4 6 8 20 16 12 8 4 2 描点 连线 10 12 10 12 2 观察这两个函数的图象 它们有什么关系 2 x y o 函数y x 2 2的图象与y x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 二次项系数相同a 0 开口都向上 2 x y o 顶点坐标是点 2 0 2 x y o 在对称轴 直线 x 2 左侧 即x 2时 y的值随x的增大而减小 想一想 这个函数的图象和性质会是什么样 在同一个直角坐标系里画出函数和的图象 x y 0 8 6 4 2 2 4 6 8 20 16 12 8 4 2 描点 连线 10 12 10 12 2 函数与的图象有什么关系 说出它的顶点坐标和对称轴 直线x 2 1 当a 0时 抛物线在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线在x轴的下方 除顶点外 它的开口向下 并且向下无限伸展 2 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴 x h 右侧 y随着x的增大而增大 当x h时函数y的值最小 是0 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴 x h 的右侧 y随着x增大而减小 当x h时 函数y的值最大 是0 二次函数y a x h 2的性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 a 0 y a x h 2 a 0 h 0 h 0 直线x h 直线x h 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x h时 最小值为0 当x h时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 第4课时 你能用配方的方法把y 3x2 6x 5变形成y a x h 2 k的形式吗 函数y ax bx c的图象 二次函数y 3x2 6x 5的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系 在同一坐标系中作出二次函数y 3x2和y 3 x 1 2的图象 由于y 3x2 6x 5 3 x 1 2 2 因此我们先作二次函数y 3 x 1 2的图象 观察图象 回答问题 1 函数y 3 x 1 2的图象与y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时 函数y 3 x 1 2的值随x的增大而减少 我思考 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象 二次函数y 3x y 3 x 1 2和y 3 x 1 2 2的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看 二次函数y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 先猜一猜 再做一做 在同一坐标系中作二次函数y 3 x 1 2 2 会是什么样 二次函数y 3 x 1 2 2的图象与抛物线y 3x2和y 3 x 1 2有何关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 想一想 二次函数y 3 x 1 2 2和y 3x y 3 x 1 2的图象有什么关系 它们的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看 我思考 我进步 在同一坐标系中作出二次函数y 3 x 1 2 2 y 3 x 1 2 2 y 3x 和y 3 x 1 2的图象 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2和y 3x y 3 x 1 2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 想一想 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2 二次函数y 3 x 1 2 2与y 3 x 1 2 2的图象和抛物线y 3x y 3 x 1 2有什么关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 先想一想 再总结二次函数y a x h 2 k的图象和性质 二次函数y a x h k与y ax 的关系 一般地 由y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标与a h k的值有关 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 由h和k的符号确定 由h和k的符号确定 向上 向下 当x h时 最小值为k 当x h时 最大值为k 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 根据图形填表 1 指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标 2 1 二次函数y 3 x 1 2的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 2 不同点 只是位置不同 1 顶点不同 分别是 h k 和 0 0 2 对称轴不同 分别是直线x h和y轴 3 最值不同 分别是k和0 3 联系 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 1 相同点 1 形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 二次函数y a x h k与y ax 的关系 1 指出下列函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 必要时作出草图进行验证 2 填写下表 第5课时 回答问题 说出下列函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 函数y ax bx c的对称轴 顶点坐标是什么 回答问题 1 说出下列函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 例指出抛物线 的开口方向 求出它的对称轴 顶点坐标 与y轴的交点坐标 与x轴的交点坐标 并画出草图 对于y ax2 bx c我们可以确定它的开口方向 求出它的对称轴 顶点坐标 与y轴的交点坐标 与x轴的交点坐标 有交点时 这样就可以画出它的大致图象 练习 1 抛物线y 2x2 8x 11的顶点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限2 不论k取任何实数 抛物线y a x k 2 k a 0 的顶点都在a 直线y x上b 直线y x上c x轴上d y轴上3 若二次函数y ax2 4x a 1的最小值是2 则a的值是4b 1c 3d 4或 14 若二次函数y ax2 bx c的图象如下 与x轴的一个交点为 1 0 则下列各式中不成立的是 a b2 4ac 0b abc 0c a b c 0d a b c 0 1 x y o 1 5 若把抛物线y x2 bx c向左平移2个单位 再向上平移3个单位 得抛物线y x2 2x 1 则a b 2b b 6 c 6c b 8d b 8 c 186 若一次函数y ax b的图象经过第二 三 四象限 则二次函数y ax2 bx 3的大致图象是 3 3 3 3 7 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c与一次函数y ax c的大致图象可能是 第6课时 问题1 如图 要用长为20m的铁栏杆 一面靠墙 围成一个矩形的花圃 怎样围法才能使围成的花圃面积最大 根据题意 得y 2x2 20 x 0 x 10 配方 得y 2 x 5 2 50 函数图象开口向下 顶点坐标为 5 50 即当x 5时 函数取得最大值50 所以当ab长为5m bc长为10m时 花圃的面积最大 为50m2 问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售 一天可销出约100件 该店想通过降低售价 增加销售量的办法来提高利润 经过市场调查 发现这种商品单价每降低0 1元 其销售量可增加约10件 将这种商品的售价降低多少时 能使销售利润最大 根据题意 得关系式为y 100 x2 100 x 200 你能完成吗 例5 用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框 应做成长 宽各为多少时 才能使做成的窗框的透光面积最大 最大透光面积是多少 即 在实际问题中 自变量往往是有一定取值范围的 因此 在根据二次函数的顶点坐标 求出当自变量取某个值时 二次函数取最大值 或最小值 还要根据实际问题检验自变量的这一取值是否在取值范围内 才能得到最后的结论 注意 1 设矩形的一边ab xm 那么ad边的长度如何表示 2 设矩形的面积为ym2 当x取何值时 y的值最大 最大值是多少 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形abcd 其中ab和ad分别在两直角边上 xm bm 练一练1 何时窗户通过的光线最多 某建筑物的窗户如图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料总长 图中所有的黑线的长度和 为15m 当x等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确到0 01m 此时 窗户的面积是多少 练一练2 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 养鸡场一面用砖砌成 另三面用竹篱笆围成 并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门 不用篱笆 问养鸡场的边长为多少米时 养鸡场占地面积最大 最大面积是多少 ym2 xm xm 练一练3 正方形abcd边长5cm 等腰三角形pqr中 pq pr 5cm qr 8cm 点d c q r在同一直线l上 当c q两点重合时 等腰 pqr以1cm s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动 ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为scm2 解答下列问题 1 当t 3s时 求s的值 2 当t 3s时 求s的值 3 当5s t 8s时 求s与t的函数关系式 并求s的最大值 练一练4 课堂小结 这节课 你学到了什么 第7课时 1 一般式 2 顶点式 回味知识点 顶点坐标 h k 目前接触的二次函数的关系式有哪些 例6一个二次函数的图象过点 0 1 它的顶点坐标是 8 9 求这个二次函数的关系式 已知 二次函数的图像的顶点的坐标是 1 4 并且抛物线与x轴的两个交点的距离是4 求这个函数的解析式 练一练 练一练已知 二次函数的图像的对称轴为直线x 3 并且函数有最大值为5 图像经过点 1 3 求这个函数的解析式 解 由题意可知 该函数的顶点的坐标是 3 5 所以设y a x 3 5 又抛物线经过点 1 3 得 3 a 1 3 5 a 2 所求的函数解析式为y 2 x 3 5 即y 2x 12x 13 例7一个二次函数的图象过 0 1 2 4 3 10 三点 求这个二次函数解析式 解 设所求二次函数为y ax2 bx c 有这个函数的