人教A版必修2 第二章 2.3.2平面与平面垂直的判定 课件（41张）.pptx

2 3 2平面与平面垂直的判定 第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 学习目标1 理解二面角及其平面角的概念 能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角 2 掌握二面角的平面角的一般作法 会求简单的二面角的平面角 3 掌握两个平面互相垂直的概念 能用定义和定理判定面面垂直 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一二面角的概念 1 定义 从一条直线出发的所组成的图形 2 相关概念 这条直线叫做二面角的 两个半平面叫做二面角的 3 画法 两个半平面 棱 面 4 记法 二面角或或或p ab q 5 二面角的平面角 若有 ol oa ob oal obl 则二面角 l 的平面角是 l ab p l q aob 知识点二平面与平面垂直 思考若直线l垂直于平面 是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面 答案是 梳理两面垂直的定义及判定 1 平面与平面垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 画法 直二面角 记作 2 判定定理 垂线 l 1 若l 则过l有无数个平面与 垂直 2 两垂直平面的二面角的平面角大小为90 思考辨析判断正误 题型探究 类型一证明面面垂直 解答 例1如图 在四棱锥p abcd中 pa cd ad bc adc pab 90 bc cd 1 在平面pad内找一点m 使得直线cm 平面pab 并说明理由 解取棱ad的中点m m 平面pad 点m即为所求的一个点 理由如下 所以bc am 且bc am 所以四边形amcb是平行四边形 从而cm ab 又ab 平面pab cm 平面pab 所以cm 平面pab 说明 取棱pd的中点n 则所找的点可以是直线mn上任意一点 2 证明 平面pab 平面pbd 证明 证明由已知 pa ab pa cd 所以pa 平面abcd 从而pa bd 又bc md 且bc md 所以四边形bcdm是平行四边形 又ab ap a ab ap 平面pab 所以bd 平面pab 又bd 平面pbd 所以平面pab 平面pbd 引申探究1 若将本例条件改为 pa垂直于矩形abcd所在的平面 试证明 平面pcd 平面pad 证明 证明因为pa 平面abcd 所以pa cd 因为四边形abcd为矩形 所以cd ad 又ad pa a ad pa 平面pad 所以cd 平面pad 又cd 平面pcd 所以平面pcd 平面pad 2 若将本例条件改为 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 pb bc m是pc中点 试证明 平面mbd 平面pcd 证明 证明连接ac 则bd ac 由pa 底面abcd 可知bd pa 又ac pa a ac pa 平面pac 所以bd 平面pac 所以bd pc 因为pb bc m是pc中点 所以bm pc 又bd bm b bm bd 平面bmd 所以pc 平面mbd 而pc 平面pcd 所以平面mbd 平面pcd 反思与感悟证明面面垂直常用的方法 1 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 即把问题转化为线面垂直 3 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 跟踪训练1如图 在四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 求证 平面efg 平面emn 证明 证明因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 所以ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 例2 1 有下列结论 两个相交平面组成的图形叫作二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是a b c d 类型二求二面角的大小 答案 解析 解析由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 所以 错误 易知 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 错误 由定义知 正确 故选b 2 如图 已知rt abc 斜边bc 点a ao o为垂足 abo 30 aco 45 求二面角a bc o的大小 解答 解如图 在平面 内 过o作od bc 垂足为点d 连接ad 设co a ao bc ao bc 又ao do o bc 平面aod 而ad 平面aod bc ad ado即为二面角a bc o的平面角 由ao ob oc 得ao ob ao oc 又 abo 30 aco 45 在rt abc中 bac 90 在rt aod中 ado 60 即二面角a bc o的大小为60 反思与感悟 1 定义法 在二面角的棱上找一点 在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线 2 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面 该平面与二面角的两个半平面形成交线 这两条射线 交线 所成的角 即为二面角的平面角 3 垂线法 利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角 这是最常用也是最有效的一种方法 跟踪训练2如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上的一点 且pa ac 求二面角p bc a的大小 解答 解由已知pa 平面abc bc 平面abc pa bc ab是 o的直径 且点c在圆周上 ac bc 又 pa ac a pa ac 平面pac bc 平面pac 又pc 平面pac pc bc 又 bc是二面角p bc a的棱 pca是二面角p bc a的平面角 由pa ac知 pac是等腰直角三角形 pca 45 即二面角p bc a的大小是45 达标检测 1 2 3 4 1 直线l 平面 l 平面 则 与 的位置关系是a 平行b 可能重合c 相交且垂直d 相交不垂直 答案 5 解析由面面垂直的判定定理 得 与 垂直 故选c 解析 2 已知m n为不重合的直线 为不重合的平面 则下列命题中正确的是a m n m n b c m n m nd m n m n 答案 1 2 3 4 5 3 如图所示 在 abc中 ad bc abd的面积是 acd的面积的2倍 沿ad将 abc翻折 使翻折后bc 平面acd 此时二面角b ad c的大小为a 30 b 45 c 60 d 90 解析 答案 1 2 3 4 5 解析由已知bd 2cd 翻折后 在rt bcd中 bdc 60 而ad bd cd ad 故 bdc是二面角b ad c的平面角 其大小为60 解析 pa 平面abcd 平面pad 平面abcd 平面pab 平面abcd 又cd 平面pad ab 平面pad bc 平面pab 平面pcd 平面pad 平面pab 平面pad 平面pbc 平面pab 共有5对互相垂直的平面 4 如图 已知pa 矩形abcd所在的平面 则图中互相垂直的平面有a 2对b 3对c 4对d 5对 1 2 3 4 5 解析 答案 5 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面四边形abcd是平行四边形 sc 平面abcd e为sa的中点 求证 平面ebd 平面abcd 证明 1 2 3 4 5 证明连接ac与bd交于o点 连接oe o为ac的中点 e为sa的中点 eo sc sc 平面abcd eo 平面ab