2019高考数学二轮复习专题五函数与导数、不等式第3讲利用导数研究函数的单调性课件

第3讲利用导数研究函数的单调性 高考定位理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率 能够解决与曲线的切线有关的问题 常以指数 对数式为载体 考查函数单调性的求法或讨论 1 2017 浙江卷 函数y f x 的导函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是 真题感悟 解析利用导数与函数的单调性进行验证 f x 0的解集对应y f x 的增区间 f x 0的解集对应y f x 的减区间 验证只有d选项符合 答案d 2 2017 全国 卷改编 已知函数f x ex ex a a2x 其中参数a 0 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解 1 函数f x 的定义域为 且a 0 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 上单调递增 1 求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点p x0 y0 求y f x 在点p的切线方程 求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率为k 求y f x 的切线方程 设切点p x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求y f x 的切线方程 设切点p x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 2 导数与函数的单调性 1 函数单调性的判定方法 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则y f x 在该区间为增函数 如果f x 0 则y f x 在该区间为减函数 2 函数单调性问题包括 求函数的单调区间 常常通过求导 转化为解方程或不等式 常用到分类讨论思想 利用单调性证明不等式或比较大小 常用构造函数法 探究提高 1 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 以平行 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 则要求掌握平行 垂直与斜率之间的关系 进而和导数联系起来求解 2 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标 解题时先不要管其他条件 先使用曲线上点的横坐标表达切线方程 再考虑该切线与其他条件的关系 训练1 1 2018 全国 卷 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 a y 2xb y xc y 2xd y x 2 2018 全国 卷 曲线y ax 1 ex在点 0 1 处的切线的斜率为 2 则a 解析 1 法一因为函数f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 所以f x f x 所以 x 3 a 1 x 2 a x x3 a 1 x2 ax 所以2 a 1 x2 0 因为x r 所以a 1 所以f x x3 x 所以f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选d 法二因为函数f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 所以f 1 f 1 0 所以 1 a 1 a 1 a 1 a 0 解得a 1 此时f x x3 x 经检验 f x 为奇函数 所以f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选d 法三易知f x x3 a 1 x2 ax x x2 a 1 x a 因为f x 为奇函数 所以函数g x x2 a 1 x a为偶函数 所以a 1 0 解得a 1 所以f x x3 x 所以f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选d 热点二求不含参数的函数的单调性 例2 2016 北京卷 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 解 1 f x 的定义域为r 解得a 2 b e 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 从而g x 0 x 故f x 的单调递增区间为 综上可知 f x 0 x 探究提高确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 2 由h x 在 1 4 上单调递减得 探究提高利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 1 函数f x 在区间d上存在递增 减 区间 方法一 转化为 f x 0 0 0 成立 2 函数f x 在区间d上递增 减 方法一 转化为 f x 0 0 在区间d上恒成立 问题 方法二 转化为 区间d是函数f x 的单调递增 减 区间的子集 答案 1 3 2 1 1 求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y y0 f x0 x x0 它的难点在于分清 过点p的切线 与 在点p处的切线 的差异 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里 在过点p x0 y0 的切线中 点p不一定是切点 点p也不一定在已知曲线上 而在点p x0 y0 处的切线 必以点p为切点 则此时切线的方程是y y0 f x0 x