1.3.1正弦定理、余弦定理的应用

例谈正弦定理、余弦定理的应用正弦定理与余弦定理作为解三角形的基本工具，在测量、机械设计、航海和物理学等方面有着广泛的应用东CBAM45o30oD北例1已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km，从三点分别遥望塔M，在A处见塔在东北方向，在点B处见塔在正东方向，在点C处见塔在南偏东60o处，求塔到直路ABC的最短距离解由条件知CMB30o，AMB45o，设CBMa，则ABMpa在DCBM和DABM中，由正弦定理得和消去sina得MCMA在DAMC中，由余弦定理得4MC2MA22MCMAcos75o3MA22MA2cos75o，所以MA2设M到直线ABC的最小距离为h，h即为DAMC的AC边上的高，则面积关系得SDAMC= ACh = MCMAsin75o从上式可以求得塔与路的最短距离 h = = (km)点评本题解答的关键在于用正弦定理求出MA与MC的关系，进而在确定MA的大小例2渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120o角的方向行驶，水的流速为4km/h，求渡轮实际行驶的速度（精确到0.1km/h）和方向（精确到1o）解如图，表示水流速度，表示渡轮行驶速度，ABCD以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是渡轮实际速度在平行四边形ABCD中，CDAB4，BCAD15，BAD120o，B60o，所以AC2AB2BC22ABBCcos60o=421522415181，所以AC13.4513.5（km/h）sinACB= =0.2576因为ACAB，所以ACB14o56所以BAC180o（BACB）105o4105o答渡轮实际行驶的速度约为13.5km/h，实际行驶方向与水流方向约成105o点评：根据平行四边形法则作图，从而构造数学模型，集中了实际问题中的条件与目标，将实际问题转化为求解三角形问题先由余弦定理确定AC的长，再用正弦定理求出ACB，最后过渡到BAC例3海岛B上有一座海拔1000m的山，山顶A处设有观察站，上午11时测得一轮船在海岛北60o东处，俯角30o；11时10分又测得该轮船在海岛北60o西处，俯角60o，问：（1）此船的速度是多少km/h？（2）如果船的航向和速度不变，它何时到达岛的正西方？东北BADEC解：如图，AB1000km，BAC60o,BAD30o,在RtABD中，解得BCkm.BDkm,在BDC中，DBC120o,根据余弦定理得CD=km,所以，船速v.(2)设船沿CD从D处经时间t后到达岛的正西方E处，在BDC中，由正弦定理得sinBDC，cosBDC，sinCEDsin(BDC-30o).在BDE中，据正弦定理得DEkm，所以t(h),即船于11时15分到达岛的正西方运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，关键是根据题意构造适当的三角形如果知道两边和夹角，则可先由余弦定理求出角的对边，再由正弦定理求出另外两个角如果已知两边及其中一边的对角，则先由正弦定理求出另一条边的对角，再求三角形的内角和为180o求出第三个角，最后用正弦定理可以求出第三条边（当然也可用余弦定理求解，但正弦定理更为直接）上述求解过程说明，求解三角形，一定要注意已知什么？由已知可以求得什么？目标是什么？要求出目标值需要知道什么？搞清楚这些问题后，就可以确定求解的“序”了另外，在运用正弦定理、余弦定理