平面向量的数量积及应用

平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 自测自测 1 已知向量已知向量与与的夹角为的夹角为 且 且 1 1 ab 30aba 2b A B C D 6532 2 已知菱形已知菱形 ABCD 的边长是的边长是 a 则则 ABC 60CDBD A B C D 2 2 3 a 2 4 3 a 2 4 3 a 2 2 3 a 3 已知单位向量已知单位向量 的夹角为的夹角为 且 且 coscos 若向量若向量 则 则 1 e 2 e 3 1 21 23eea a 4 已知已知 5 4 与与的夹角为的夹角为 则 则在在方向上的投影为方向上的投影为abab 120 ba 题型一题型一 平面数量积的运算平面数量积的运算 例例 1 设四边形设四边形 ABCD 是平行四边形 是平行四边形 6 4 若点若点 M N 满足满足 ABAD 则则 MCBM3 NCDN2 NMAM A 20 B 15 C 9 D 6 2 已知正方形已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 1 点 点 E 是是 AB 边上的动点 则边上的动点 则的值为的值为 CBDE 的最大值为的最大值为 DCDE 跟踪训练跟踪训练 1 在平行四边形在平行四边形 ABCD 中 已知中 已知 AB 8 AD 5 PDCP3 2 BPAP ADAB 2 已知正方形已知正方形 ABCD 中中 AB 2 E 为为 CD 的中点的中点 BDAE 3 在等腰梯形在等腰梯形 ABCD 中 中 M 是是 BC 的中点 则的中点 则 CDAB2 AM A B C D ADAB 2 1 2 1 ADAB 2 1 4 3 ADAB 4 1 4 3 ADAB 4 3 2 1 题型二题型二 用数量积求模及夹角用数量积求模及夹角 例例 2 1 已知向量已知向量与与均为单位向量 它们的夹角为均为单位向量 它们的夹角为 则 则 ab 3 ab A 1 B C D 2 32 2 在直角坐标系中 在直角坐标系中 O 为坐标原点 为坐标原点 A B C 动点 动点 D 满足满足 0 1 3 0 0 3 1 则 则 的最大值是的最大值是 CDODOBOA 例例 3 1 若非零向量若非零向量与与满足满足 且 且 则向量 则向量与与的的aba 3 22 bab 23 ba ab 夹角是 夹角是 A B C D 4 2 4 3 2 若向量若向量 已知 已知与与的夹角为钝角 的夹角为钝角 3 ka 4 1 b 1 2 c 32 ba c 则则 k 的取值范围是的取值范围是 跟踪训练跟踪训练 1 已知单位向量已知单位向量 的夹角为的夹角为 则 则 coscos 向量 向量 1 e 2 e 3 1 21 23eea 的夹角为的夹角为 则 则 cos 21 3eeb 2 在在 若若 则 则 的最大值是 的最大值是 ABC A 1201 ACABBC A B 2 C D 626 3 已知已知 是单位向量 且是单位向量 且 若平面向量 若平面向量满足满足 1 e 2 e 1 e 2 e 2 1 b 则 则 1 21 ebebb 4 已知菱形已知菱形 ABCD 的边长为的边长为 2 点点 E F 分别是分别是 BC DC 上 上 120 ABD BC 3BE DC DF 若若 则则的值为的值为 1 AFAE 题型三题型三 平面向量与三角函数平面向量与三角函数 例例 在平面直角坐标系中 已知在平面直角坐标系中 已知 2 2 2 2 m xxncos sin 2 0 x 1 若 若 求 求 tanx 的值 的值 nm 2 若 若与与的夹角为的夹角为 求 求 x 的值 的值 mn 3 跟踪训练跟踪训练 1 已知已知 O 为坐标原点 向量为坐标原点 向量 cos sin3 OA cos4sin5 sin2 OB 且且 则则的值为 的值为 2 2 3 OBOA tan 综合问题综合问题 例例 设设 O 为坐标原点 为坐标原点 C 为圆为圆的圆心 且圆上有一点的圆心 且圆上有一点 M x y 3 2 22 yx 满足满足 则 则 0 CMOM x y 已知已知 t 若点若点 p 是是的所在平面内一点 的所在平面内一点 ACAB AB t 1 ACABC 且且 则则的最大值是的最大值是 4 AC AC AB AB AP PCPB 随堂练习随堂练习 1 平面向量平面向量 如果 如果 则 则 6 3 a 1 xbba b A B C 3 D 5 2 5 2 3 2 已知向量已知向量 已知 已知 则向量则向量与与的的 1 3 a 3 1 b 2 kcbca ac 夹角的余弦值是 夹角的余弦值是 A B C D 5 5 5 1 5 5 5 1 3 已知向量已知向量与与 满足 满足 2 3 且 且 abba ab 23 baba 则实数则实数的值为的值为 A B C D 1 2 3 2 3 2 3 4 过点过点 A 3 1 的直线 的直线 l 与圆与圆 C 相切于点相切于点 B 则 则 014 22 yyxCBCA 5 已知向量已知向量 cos 2 sin mRn cos sin 若若 求角 求角 求的值 nm mn 2 2cos 6 已知向量已知向量与与 满足 满足 1 2 则向量 则向量与与的的ab 2 baaabab 夹角为夹角为 7 已知向量已知向量与与 满足 满足 2 1 且对一切实数 且对一切实数 x 则则ab ab baba 向量向量与与的夹角大小是的夹角大小是 ab 8 已知已知的外心的外心 P 满足满足 则则 cosA ABC 3 1 ACABAP 9 已知单位向量已知单位向量与与 满足 满足 且 且 ab0 ba 5 2 bcac 则则的取值范围 的取值范围 A B 2 ac 2 1 3 22 10 已知向量已知向量 函数 函数 2 cos2 xa 0 0 6 cos 2 xb baxf 的图像与直线的图像与直线的相邻两个交点之间的距离为的相邻两个交点之间的距离为 32 y 1 求函数 求函数 上的单调递增区间 上的单调递增区间 xf 2 0 2 将函数 将函数的图像向右平移的图像向右平移个单位 得到个单位 得到的图像 若的图像 若 xf 12 xgy