31[1].圆锥曲线专项训练

第十二章圆锥曲线专项训练【例题精选】：例1：一圆过点解：设圆方程为由已知例2：一动点在圆上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点的轨迹的方程是 。分析：设点M为圆上一动点，P(x, y)为MA的中点（如图12-1）小结：以上两例分别用待定系数法，轨迹法，这是求曲线方程常用的方法。例3：圆（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个答案：C分析：将圆方程化为，此圆的又圆的半径，如图12-2，圆到直线距离是的点有M、N、P、三个，故选C小结：本题是用数形结合法，数形结合要在结合上下功夫，通过画图建立几何直观，通过计算对数量关系的分析，才能准确判断满足条件的点有3个。例4：已知圆及定点P(4,0)，问过点P的直线倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆相交？相切？并求出切线方程。解：设点P(4,0)的直线l的方程为即，圆心O到直线l的距离直线l与圆相交，直线l与圆相切当斜率k不存在时，相离。小结：本题是直线与圆的位置关系的典型题，由于平面几何对圆的性质进行研究，因此解这类题用“几何法”较好，这种方法是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系求解。例5：一直线经过点截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。解：设所求直线方程为解得当斜率k不存在时，过点P的直线为x+3=0符合题意。小结：关于圆的弦长问题，用“几何法”从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，本题还要注意斜率k不存在时直线x+3=0（符合题意）。例6：曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 。分析：首先要识别方程所表示的曲线，可将原方程变形为它表示以(0，1)为圆心，2为半径的上半圆表示过点A(2,4)斜率为k的直线，如图12-3点A(2,4)，点，则直线AB的斜率为将直线变形为求得切线AT的斜率，当直线AB的斜率逐淅变小，运动到切线AT时，直线半圆从有两个交点变为一个交点，所以有两个交点时小结：解好本题的关键在于：将符号语言（曲线方程），准确地转化为图形语言（曲线）。例7：圆（A）相离（B）外切（C）相交（D）内切答案：C分析：圆两圆相交，故选C例8：如果实数x，y满足，则的最大值是 。分析：问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率k=的最大值，由图形性质可知，由原点向圆作两条切线，其中切线斜率最大即为最大值。设过原点的直线为y=kx，即kxy=0由例9：自点发出的光线l射到x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线l所在直线的方程。解法一：如图12-4已知圆，它关于x轴对称的圆的方程是，设光线l 所在的直线方程是，由题设知，对称圆的圆心到这条直线的距离等于1，即解法二：已知圆的方程是设光线l所在的直线方程是，由题意，于是l的反射点的坐标是，所在的直线方程是这条直线应与已知圆相切，故圆心到它的距离等于1，即以下同解法一例10：（1）双曲线 。 。 。分析：（1）在双曲线中， （2）抛物线方程为x2=my,参数。 （3）例11：求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是4x3y=0，且经过点的双曲线方程。解法一：解法二：小结：解法一是先判定双曲线的类型再求解；解法二是利用渐近线相同的双曲线系为，定参数，则焦点在x轴上，则焦点在y轴上。例12：已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两个端点连线互相垂直，且此焦点和长轴较近端点的距离为，求椭圆方程。分析：由于此问题所给条件都与椭圆的焦点、顶点有关，因此在解题时要充分利用椭圆中有关元素的几个意义。解：如图12-5，F是椭圆的焦点，由已知例13：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x1和椭圆交于P、Q两点，且求椭圆方程。分析：椭圆的焦点在x轴上时，方程为焦点在y轴上时，方程为求这两个方程，实质上是求x2，y2的系数，因此设椭圆方程为既概括了两种不同位置，且方程又是整式，给计算带来方便。解：设椭圆方程为 这里是方程的实根，由韦达定理，把、代入、得，=2，消去m得，4n28n+3=0解得：小结：例2、例3、例4是用待定系数法求圆锥曲线方程，在解题过程中要通过解方程（组）完成，要注意运算的合理、简捷。例14：已知椭圆，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。分析：如图12-6，动点Q的运动与点P、点R相关连，点P在直线l上，点R在椭圆上，设点Q的坐标为(x, y),利用已知条件将点P、点R的坐标表示出来，再由轨迹条件解：设点P、Q、R的坐标分别为(12, yP),(x, y)，(xR，yR)，由题设知xR0，x0.由点R在椭圆上及O、Q、R共线，得方程组：由O、Q、P三点共线，得将代入上式，整理得点Q的轨迹方程为所以，点Q的轨迹是以(1,0)为中心，长、短半轴长分别为1和，且长轴在x轴上的椭圆，去掉原点。例15：一动圆与两圆都相外切，则动圆圆心的轨迹为（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线一支（D）抛物线答案：C分析：圆，圆心A(0,0)，半径r1=1，圆,圆心B(4, 0),半径r2=2，设P(x, y)，是动圆上任一点，则根据双曲线定义，轨迹为双曲线一支，选C小结：例5是用轨迹法求方程，例6是用定义法。例16：已知椭圆（1）椭圆上一点M到左准线的距离是10，则点M到右焦点的距离是 ；（2）P是椭圆上一点，F1、F2是它的两个焦点，且，则的面积是 。分析：（1）已知椭圆方程，M到左准线的距离为10，由圆锥曲线统一定义，M到左焦点F1的距离。又由椭圆定义，P到右焦点F2的距离（2）由椭圆定义（1）在中，由余弦定理，（2）（1）（2）得小结：在处理这类问题时，要运用好圆锥曲线定义结合图形。例17：若点A的坐标为(3, 2),F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，使取最小值时，点P的坐标是 。分析：如图12-7，作，交抛物线于点P，则P(2，2)为所求。可以证明，若在抛物线上选P以外的任一点P，有专项训练一、选择题：1、“A=B0”是方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆的（ ）。（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分且必要条件（D）既非充分也非必要条件2、在圆，与直线的距离最小的点的坐标是（ ）（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）3、抛物线的焦点坐标为（）（A）（B）（C）（D）4、已知椭圆两焦点为椭圆上一点，且的等差中项，那么该椭圆的方程是（）（A）（B）（C）（D）5、下列双曲线中，以为渐近线的是（）（A）（B）（C）（D）6、的两个焦点，AB是过F1的弦，则的周长是（）（A）10（B）12（C）20（D）不确定7、如果双曲线上一点P到它右焦点的距离是8，那么点P到它右准线的距离是（）（A）10（B）（C）（D）8、如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）（A）（0，+）（B）（0，2）（C）（1，）（D）（0，1）二、填空题9、与圆有相同圆心，且与直线相切的圆的方程是 。10、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率 。11、以双曲线的顶点的为焦点，顶点在原点的抛物线方程是 。12、椭圆的准线平行于x轴，则m的取值范围是 。13、抛物线上的两点A、B到焦点F的距离之和为5，则线段AB中点的横坐标是 。14、已知椭圆，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使取最小值，则点M的坐标为 。三、解答题：15、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程。16、已知椭圆，在椭圆上求一点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍，求P点坐标。17、过抛物线的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为18、已知直角坐标平面上点Q(0,2)和圆C：x2y2=1，动点M到圆C的切线长与|MO|的比等于常数入（）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。【答案】：一、1、B2、A3、C4、B5、A6、C7、B8、D提示：2、由圆心作直线4x3y12 = 0的垂线，其垂线与圆交点在第一象限，故选A3、4、5、选择k中只有（A）中双曲线渐近线为6、椭圆中a=5；b=3，的周长l=2a+2a=20，选C。7、双曲线中，a=8，b=6，c=10，设P点到右准线的距离为x，则： 。8、将方程化为，由已知，k0,且，0k1,选D。二、9、10、11、双曲线的顶点为，抛物线方程为。12、13、由抛物线定义，A、B到准线距离和为5，由梯形中位线性质，AB中点M到准线距离为，14、椭圆的离心率，设点M到准线距离为，显然由P作准线的垂线于准线交点M为所求。三、15、设焦点在x轴上的椭圆方程为，双曲线方程为，由已知得椭圆方程为