高考数学一轮复习 41.2直线与圆的位置关系精品课件 新人教版.ppt

第二讲直线与圆的位置关系 回归课本 直线与圆的位置关系1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 2 圆内接四边形的性质定理与判定定理 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4 相交弦定理 圆内两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这点的连线平分两条切线的夹角 考点陪练 2 2010 北京 如图 o是弦ed cb的延长线交于点a 若bd ae ec ac ab 4 bc 2 ad 3 则de ce 3 2010 湖南 如图所示 过 o外一点p作一条直线与 o交于a b两点 已知pa 2 o的切线长pt 4 则弦ab的长为 解析 连接bt 由切割线定理 得pt2 pa pb 所以pb 8 故ab 6 答案 6 4 2010 陕西 如图 已知rt abc的两条直角边ac bc的长分别为3cm 4cm 以ac为直径的圆与ab交于点d 则 5 2010 广东 如图 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 45 则圆o的面积等于 解析 连接oa ob bca 45 aob 90 设圆o的半径为r 在rt aob中 r2 r2 ab2 16 r2 8 圆o的面积为8 答案 8 类型一圆内接四边形的性质与判定解题准备 熟练运用圆内接四边形判定定理及其推论是证明四点共圆的关键 若证出四点共圆 便可运用圆内接四边形的性质解决相关问题 典例1 如图 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 1 证明 a p o m四点共圆 2 求 oam apm的大小 分析 要证a p o m四点共圆 可考虑四边形apom的对角互补 根据四点共圆 同弧所对的圆周角相等 进行等量代换 进而求出 oam apm的大小 解 1 证明 如图所示 连接op om 因为ap与 o相切于点p 所以op ap 因为m是 o的弦bc的中点 所以om bc 于是 opa oma 180 由圆心o在 pac的内部 可知四边形apom的对角互补 所以a p o m四点共圆 2 由 1 得a p o m四点共圆 所以 oam opm 由 1 得op ap 由圆心o在 pac的内部 可知 opm apm 90 所以 oam apm 90 反思感悟 本题考查的是凸四边形存在外接圆的充要条件 即如果凸四边形的对角互补 则它有外接圆 圆的内接凸四边形对角互补 第 2 问作出四边形apom的外接圆更能从直观上利于问题的解决 类型二弦切角与圆周角定理的应用解题准备 弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角 其主要功能在于协调与圆相关的各种角 如圆心角 圆周角等 是架设圆与三角形全等 三角形相似 与圆相关的各种直线 如弦 割线 切线 位置关系的桥梁 因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节 如证明切割线定理 典例2 如图所示 设 abc的外接圆的切线ae与bc的延长线交于点e bac的平分线与bc交于点d 求证 ed2 ec eb 分析 利用弦切角定理 三角形内角平分线性质定理 切割线定理进行证明 证明 因为ae是圆的切线 所以 abc cae 又因为ad是 bac的平分线 所以 bad cad 从而 abc bad cae cad 因为 ade abc bad dae cae cad 所以 ade dae 故ea ed 因为ea是圆的切线 所以由切割线定理知 ea2 ec eb 而ea ed 所以ed2 ec eb 反思感悟 本题主要考查考生分析问题的能力和推理论证能力 试题的主要目的是检测考生能不能通过分析找到解决问题的关键 证明ed ea 可以说本题在考查知识的同时重在考查分析问题的能力 是一道知识和能力并重的试题 类型三圆的切线的性质与判定解题准备 若知圆的切线 一种自然的想法就是连结过切点的半径 从而得到垂直关系 证明某条直线是圆的切线的常用方法有 若已知直线与圆有公共点 则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可 若已知直线与圆没有明确的公共点 则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径 典例3 如图 已知ab是 o的直径 bc是 o的切线 切点为b oc平行于弦ad 求证 dc是 o的切线 分析 因为dc过 o上的点d 所以可连接od 只要证明dc od 因为bc和 o切于b 所以 obc 90 因此只需证 odc obc 而这两个角分别在两个三角形中 只需证它们全等 证明 如图所示 连接od oa od 1 2 ad oc 1 3 2 4 3 4 又 ob od oc oc obc odc obc odc bc是 o的切线 obc 90 odc 90 dc是 o的切线 类型四与圆有关的比例线段解题准备 与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用 相交弦定理 割线定理 切割线定理 相似三角形的判定和性质等 典例4 如图所示 已知 o1与 o2相交于a b两点 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1 o2于点d e de与ac相交于点p 1 求证 ad ec 2 若ad是 o2的切线 且pa 6 pc 2 bd 9 求ad的长 分析 1 欲证ad ec 只需证明 d e 沟通两圆周角间的关系 连ab 利用弦切角 圆周角定理可完成转化 2 利用相交弦定理与切割线定理求解 解 1 证明 如图所示 连接ab ac是 o1的切线 bac d 又 bac e d e ad ec 反思感悟 解决有关圆的相交弦问题 对求解计算题而言 常常是先借助相交弦定理 建立有关线段的等式或方程 组 然后再求解 对证明等积式或比例式而言 常常是借助相交弦定理 并综合其他相关等积式或比例式的知识 进行恒等变换 最后解决问题 错源一不可逆定理逆用致误 典例1 如图所示 两大小不等的圆交于p q两点 ab与cd为它们的两条外公切线 求证 ac pq bd 剖析 原命题成立 其逆命题不一定成立 平行线分线段成比例的逆命题不成立 如延长qp与ab交于e 延长pq与cd交于f 由切割线定理 得ea2 ep eq eb2 ea eb 同理fc fd 正解 两圆不等 两条外公切线必交于一点g 如图所示 由切线长定理 得 评析 在四种命题的关系中存在下述结论 原命题为真 它的逆命题不一定为真 原命题为真 它的否命题不一定为真 原命题为真 它的逆否命题一定为真 因此 在所有证明题中 必须正确理解定理的内涵与外延 对于它的逆命题 不能随心所欲地使用 应先判断它的真假性 再利用 当然 因为互为逆否命题同真同假 所以一个定理的逆否命题可以直接使用 错源二弦所对的圆周角有两个 求解时应注意讨论 典例2 abc内接于半径为2cm的圆 若cm 求 a 正解 如图 1 所示 当点a在弦bc所对的优弧上时 连接bo并延长交 o于d 连接cd 则bd 4cm 因为bd是 o的直径 所以 bcd 90 评析 由于弦所对的圆周角有两个 因此本题中易丢掉120 的情况 技法一圆柱 圆锥的割线 典例1 2010 中山 如图所示 圆锥侧面展开图形的中心角为是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径 过cd和母线vb的中点e作一截面 求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小 并说明截线是什么圆锥曲线 方法与技巧 由圆锥面的截线定