高考数学复习篇5函数与方程思想课件.pptVIP

函数与方程思想 函数思想就是要用运动变化的观点 分析和研究具体问题中的数量关系 通过函数的形式把这种数量关系表示出来 并加以研究 从而使问题获得解决 方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的 则可以把解析式看作一个方程 通过方程的讨论从而使问题得到解决 从某种意义上讲 方程的研究和讨论是函数研究的必不可少的手段 例1 证明下面的命题 一次函数f x kx h k 0 若m n f m 0 f n 0 则对任意的x m n 都有f n 0 试用上面的结论证明下面的命题 若a b c均为实数 且 a 1 b 1 c 1 则ab bc ca 1 0 分析 从一次函数的图像上可以看出此题结论是显然的 从函数思想看 欲证f x 0 只要证f x 的最小值大于零 而一次函数在有限闭区间上的最值完全取决于其单调性 要证明ab bc ca 1 0 我们将此式左边看成某一变量的函数 ab bc ca a b c bc 1 令f x b c x bc 1 x 1 1 只要证明f x 0 x 1 1 即可 证明 当k 0时 f x kx h 在 m n 上是增函数 有f m f x f n f m 0 f x 0 当k 0时 f x kx h在 m n 上是减函数 有f m f x f n f n 0 f x 0 综上所述 当k 0时 对任意的x m n 都有f x 0 设f x b c x 1x 1 1 当b c 0时 f a bc 1 b2 1 0 即ab bc ca 1 0 当b c 0时 f x b c x bc 1为一次函数 且f 1 b c bc 1 1 b 1 c 0 f 1 b c bc 1 1 b 1 c 0 由 中结论知 当a 1 1 时 f a 0 即ab bc ca 1 0成立 评注 如何从一个含有多个变元的数学问题里 选定合适的主要变元 从而揭示其中主要的函数关系 便成了数学问题能否 明朗化 的关键所在 例2 已知圆c过点a 0 p p 0 圆心c在抛物线x2 2py上的运动 若mn为圆c在x轴上截得的弦 设 am l1 am l2 man 当点c运动时 am 是否变化 并证明你的结论 求式子的最大值时 值和圆c的方程 在 amn中 由余弦定理 2p 2 l12 l22 2l1l2cos l12 l22 4p2 2l1l2cos 又 l1l2sin 2p p l1l2 因此 2sin 2cos 2sin 当 时 max 2这时 mcn 即mc cn cq p 即y0 p x0 p 圆c的方程有 x p 2 y p 2 2p2 评注 通过建立已知量和未知量关系的方程解出 mn 可完成第 问的证明 而将 视为目标函数 而设法转化成关于 函数 则是第 问求解的关键 这种在一定条件下的最值问题是函数思想的重要应用 数形结合是解决有关几何问题时 利用数量特征将其转化为代数问题 解决与数量相关的问题时 考察其结构的特点将其转化为几何问题 从而用数的严谨和形的直观的辩证统一和各自的优势尽快找出解题途径 数形对照 由数想形 可以使复杂的问题简单化 抽象问题具体化 它是优化解题过程的一种重要方法 数形结合思想 例3 已知f x sinx 4sin 4 2 cosx 5cos 2的最小值为g 求g 的最大值 换元与设参思想 引入一个或几个新变量代替原式中某些量 使得原式中仅含有这些新变量 然后对新变量求出结果 再代回求出关于原变量的结果 这种解决问题的方法叫换元法 引入参变量 作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介 使我们有可能对运动变化的过程作出定量的刻划 消化问题的难点 促使问题转化 达到简捷解决问题的目的 例5 给定正整数n和正数m 对于满足条件a12 an 1 m的所有等差数列a1 a2 a3 试求 s an 1 an 2 a2n 1最大值 例6已知x y z都是非负实数 且x y z 1 求证 0 xy yz xz 2xyz 分析 由x y z的对称性 不妨设x y z 则x y z 从而2xyz xy xy xy yz xz 2xyz 0 令x y t z t 则0 t 则xy yz xz 2xyz z x y xy 1 2z t t xy 2t x y 2 xy xy yz xz 2xyz 当且仅当x y t 0时 即x y z 时 取得等号 分类与讨论思想 分类讨论是一种逻辑方法 也是一种数学思想 在近年的高考试题 都把它列为重要的思想方法之一来考查 当我们面临的数学问题不能以统一形式解决时 可以把已知条件的范围划分为若干个子集 在各个子集内分别讨论问题的解 然后通过综合各类解而得到原问题的解答 这种解决问题的思想叫分类讨论的思想 例7 如图 已知一条线段ab 它的两个端点分别在直二面角p l q的两个面内移动 若ab和平面p q所成的角分别为 试讨论 的范围 解析 1 当ab l时 900 3 若ab与l重合 则 00 综上讨论可知00 900 评注 在几何问题中 研究各元素间的位置关系时 要注意到每一个位置关系不可出现遗漏 对于多种可能的情况 必须分开来进行研究 例8 设实数a 0 数列 an 是首项为a 公比为 a的等比数列 记bn anlg an n n 试问0 a 1时 是否存在自然数m 使得对于任意自然数n 都有bn bm 证明你的结论 分析 本题要探求满足bm bn 0的自然数m是否存在 首先由于等比数列 an 的首项为a 公比为 a 数列 bn 有正项与负项两类 是由n的奇偶性来决定的 要先区分出来 然后分别就符号相同的项和符号不同的项进行比较 从而综合考虑m的存在性问题 m的存在必须是确定的关于某个自然数的函数表达式 同时这个表达式能使m是自然数 1 a2 0 2a2klga 1 a2 0 2 k k时 b2k 2 b2k 0 3 k k时 b2k 2 b2k 0 即有b2b2k 4 b2k 6 2 比较偶数项与奇数项 易知b2k 1 0 b2k b2k 2综上所述 可知取m 2k 2时 对于任何自然数n 都有bn bm故满足条件的自然数m是存在的 评注 本题解题的基本思想 来自高中课本参考题 已知数列 an 通项公式an n2 11n 10 从第几项起 这个数列中的项都是正数 都大于70 该题是由于an表达式由负数 11n 和正数 n2 10 两部分组成 随着自然数n的递增 在某个时候 正数大于负数的绝对值时 an就是正数 求n可以由解不等式或研究二次函数的图象来求得 本例给出的是公比与首项的符号相反的等比数列 因此数列中的各项是正 负相间的情况 要探求bn bm是否存在 就是对于任意给定的项 是否存在大于它的后继的项的问题显然 当给定的项是负数项 这样的后继项必然存在 若给定的项是正数项 就是研究b2k 2 b2k是否为正数的问题 本例题的条件限定00 减少了讨论层次 如果取消这一限制 要首先由a或正 负以及01的情况来确定偶数项为正数还是奇数项为正 由lg a 限定 a 0 然后再通过比较符号相同的项和符号不同的项来求解 这样思维严密性要求要高得多 要作为高考题 在限定的时 间内完成 要求未免过高 但作为研究分类讨论思想 有兴兴趣的读者不妨一试 还必须指出 解答中由n的奇偶性确定正数项与负数项 再比较符号相同的项与符号不同的项 是解题中的两次讨论 不能视为二级讨论 化归与类比思想 化归与类比思想在运用数学知识解答一类问题时 不同问题要求运用不同知识 这就要求人们用类比法找准某一数学模型为目标 通过恰当的手段把问题化归为目标模型 再运用模型的内在数学规律使问题获解 其思维程序是 客观问题数学问题数学模型得解 分析 本题可用不等式的性质 可采用综合法和分析法 但仔细观察题意 可化归成其它问题 法二 从函数观点出发 通过将不等式化归成函数问题 促使问题的解决 令f x 1 x 1 a b 0 显然f x 在 1 1 上单调递增 从而有f 1 f x f 1 从而 法三 从数形结合的观点出发 明确代数式的几何意义 将不等式化归成几何问题处理 如图 设a a a b b b c b b p bsin bsin 则 点b c p都在y x x b 上 且当 变化时 p在线段bc上运动 显然a b 0 kab kpa kac 从而不等式成立 分析 由