近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1.doc

近世代数课后习题参考答案第一章 基本概念1 集合 1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 只有在时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾; 若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故 2.假定,AB=? 解 此时, AB=A, 这是因为AB=A及由得AAB=A,故,及由得,故,2 映射1.=,找一个到的映射.解 此时 易证都是到的映射. 2.在你为习题所找到的映射之下,是不是的每一个元都是到的一个元的的象?解容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个元都是的象.3 代数运算 1.=所有不等于零的偶数.找到一个集合 ,使得普通除法 是到的代数运算;是不是找的到这样的? 解取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不只一个. 2.规定的两个不同的代数运算. 解 a b caa b ca b cbb c aaa a acc a bbd a aca a a4 结合律 1.=所有不等于零的实数.是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律? 解 这个代数运算不适合结合律: , ,从而 . 2.=所有实数.: 这个代数运算适合不适合结合律?解 这个代数运算不适合结合律, 除非. 3.=,由表a b caa b cbb c acc a b 所给的代数运算适合不适合结合律?解 经过个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律 1.=所有实数.是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律? 解 一般地 除非. 2.,由表 a b c daa b c dbb d a ccc a b ddd c a b所给出代数运算适合不适合交换律? 解 , 从而.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律 假定:是的两个代数运算,并且适合结合律,适合两个分配律.证明 证 = = = 7 一 一 映射、变换 1.=所有的实数,所有实数.找一个与间的意义映射.证 : 因为是大于零的实数,所以是实数 即 ,而,而且.因此是到的映射.又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足,因此是到的满射. 若 , 则 .即 因此又是到的单射.总之,是到的一一映射. 2. =所有的实数,所有实数,. 找一个到的满射. 证 ,容易验证是到的满射. 3.假定是与间的一个一一映射,是的一个元. 若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么? 解 , 未必有意义;当是的一一变换时,8 同态 1.=所有实数,的代数运算是普通乘法.以下映射是不是到的一个子集的同态满射? 证 显然所有的实数.又由于 可知是到的同态满射. 由于 ( 除非)所以不是到的同态满射. 由于,易知是到的同态满射.这里=所有的实数. 一般来说,:所以不是到的同态满射.2. 假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和来说同态，证明 和对于代数运算和来说同态。证: 用 表示到的同态满射, 表示到的同态满射. 令： ,容易验证是到的满射 所以是和的关于代数运算来说的同态满射。9 同构、自同构 1.=,代数运算由下表给定 a b cac c cbc c ccc c c 找出所有的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是 的子同构. 证 : 所有的一一变换有个 容易验证及是的子同构. 2.=所有有理数,找一个的对于普通加法来说的子同构 (映射除外)证 :,对普通加法来说是的一个子同构,验证这一点是容易的.3.所有有理数;的代数运算是普通加法.所有的有理数的代数运算是普通乘法. 证明 对于给的代数运算来说,与间没有同构映射存在(现决定 在一个同构映射之下的象) 证: 设与间有同构映射存在,先看在之下的象 再看在之下某一元的象 , 那么 . 但 . 所以 故必, 即 对来说,在之下设有, 由于是一同构映射,于是 但又知,故从而,与矛盾.10 等价关系与集合的分类 1.=所有实数,的元间的关系以及是不是等价关系? 解 不是等价关系, 因为不大于 不是等价关系, 因为但不大于等于. 2.有人说:假如一个关系适合对称和推移律,那么它也适合 反射律.他的推论方法是:因为适合对称律 因为适合推移律 这个推论方法有什么错误?证: 这里的是受对称律,