2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时 函数的最大（小）值课件 新人教A版必修1VIP

1 3函数的基本性质 1 3 1单调性与最大 小 值 第2课时函数的最大 小 值 1 最大值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 2 几何意义 函数y f x 的最大值是图象最高点的纵坐标 f x m f x0 m 2 最小值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我们称m是函数y f x 的最小值 2 几何意义 函数y f x 的最小值是图象最低点的纵坐标 f x m f x0 m 1 判一判 正确的打 错误的打 1 任何函数都有最大值或最小值 2 函数的最小值一定比最大值小 3 函数f x 2x在 2 3 上的最大值为 4 无最小值 答案 1 2 3 3 思一思 在函数最大值的定义中若只满足第一条 m是不是函数的最大值 解析 m不一定是最大值 如函数f x x2 x r 对任意x r 都有f x 1 但1不是函数的最大值 因为不存在x0 r 使f x0 1 例1 已知函数f x 3x2 12x 5 当自变量x在下列范围内取值时 求函数的最大值和最小值 1 x r 2 0 3 3 1 1 解题探究 作出y 3x2 12x 5 x r 的图象再分别截取x 0 3 x 1 1 上的图象 看图象的最高点 最低点的纵坐标 图象法求函数的最值 解析 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 当x r时 f x 3 x 2 2 7 7 当x 2时 取等号 即函数f x 的最小值为 7 无最大值 2 函数f x 的图象如图所示 由图可知 函数f x 在区间 0 2 上递减 在区间 2 3 上递增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4 所以在区间 0 3 上 函数f x 在x 0时取得最大值 最大值为5 在x 2时 取得最小值 最小值为 7 3 由图象可知 f x 在区间 1 1 上单调递减 f x max f 1 20 f x min f 1 4 方法规律 1 分段函数的最大值为各段上最大值的最大者 最小值为各段上最小值的最小者 故求分段函数的最大值或最小值 应先求各段上的最值 再比较即得函数的最大值 最小值 2 如果函数的图象容易作出 画出分段函数的图象 观察图象的最高点与最低点 并求其纵坐标即得函数的最大值 最小值 1 作出函数y x 2 x 1 的图象 说明函数的单调性 并判断是否存在最大值和最小值 利用单调性求函数的最值 方法规律 1 当函数图象不好作或无法作出时 往往运用函数单调性求最值 2 函数的最值与单调性的关系 1 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 2 求最值时一定要注意所给区间的开闭 若是开区间 则不一定有最大 小 值 函数最值的应用 解题探究 利润 总收益数r x 生产投入 固定成本 当x 400时 f x 60000 100 x是减函数 f x 60000 100 400 25000 当x 300时 f x max 25000 即每月生产300台仪器时利润最大 最大利润为25000元 方法规律 1 解决实际问题 首先要理解题意 然后建立数学模型转化成数学问题解决 分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键 2 实际应用问题中 最大利润 用料最省等问题常转化为求函数最值来解决 本题转化为二次函数求最值 利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决 3 商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料 根据以前的统计数据 若零售价定为每瓶4元 每月可销售400瓶 若每瓶售价每降低0 05元 则可多销售40瓶 在每月的进货当月销售完的前提下 请你给该商店设计一个方案 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时 才可获得最大的利润 示例 求二次函数f x x2 2ax 2在 2 4 上的最小值 分类讨论不全面导致二次函数求最值出错 错因 对称轴平移过程中各种情况考虑不全面 粗心大意 分类讨论意识不强 实际上 在解答本类问题时 时刻关注对称轴与定义域的关系 结合函数的单调性求解即可 警示 含字母参数的二次函数 参数影响二次函数的对称轴与给定区间的位置关系 进而影响函数的单调性与最值 求解相关问题时 经常运用分类讨论思想求解 分类讨论时应做到不重不漏 1 函数最值定义中两个条件缺一不可 若只有m f x 或m f x m不是最大 小 值 如f x x2 x r 对任意x r 都有f x 1成立 但1不是最大值 否则大于0的任意实数都是最大值了 最大 小 值的核心就是不等式f x m 或f x m 故也不能单凭存在x0 i 使得f x0 m这一条件去确定最值 3 二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题 一般要先作出y f x 的草图 然后根据图象的增减性进行研究 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系 它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据 并且最大 小 值不一定在顶点处取得 答案 b 答案 d 解