九年级数学下册 第二章二次函数 8二次函数与一元二次方程习题课件 北师大版

8二次函数与一元二次方程 1 理解二次函数与一元二次方程的关系 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 重点 2 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 难点 1 二次函数y ax2 bx c a 0 与一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的关系 两个不等实数根 两个相等实数根 无实数根 2 一元二次方程的图象解法 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点时 交点的 就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的 横坐标 根 3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法 1 先画出函数y ax2 bx c a 0 的图象 2 确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间 3 列表 在 2 中的两整数之间取值 从而利用计算器确定方程的近似根 打 或 1 抛物线与y轴不一定有交点 2 抛物线y x2 x与x轴只有一个交点 3 利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确值 4 如果抛物线的顶点在x轴上 那么抛物线与x轴有一个交点 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 例1 1 已知一元二次方程x2 px q 0 p2 4q 0 的两根为x1 x2 求证 x1 x2 p x1 x2 q 2 已知抛物线y x2 px q与x轴交于a b两点 且过点 1 1 设线段ab的长为d 当p为何值时 d2取得最小值 并求出最小值 思路点拨 1 先根据求根公式得出x1 x2的值 再求出两根的和与积 2 把点 1 1 代入抛物线的表达式 用p表示出q 若设a x1 0 b x2 0 则再由d2 x1 x2 2 得到d2与p的函数关系 即可得出结论 自主解答 1 即 2 把 1 1 代入y x2 px q得p q 2 q p 2 设抛物线y x2 px q与x轴交于a b两点的坐标分别为 x1 0 x2 0 由d x1 x2 可得d2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1 x2 p2 4q p2 4p 8 p 2 2 4 当p 2时 d2的最小值是4 总结提升 二次函数y ax2 bx c与方程ax2 bx c 0之间的关系1 b2 4ac 0 抛物线与x轴有2个交点 方程有两个不相等的实数根 2 b2 4ac 0 抛物线与x轴有1个交点 方程有两个相等的实数根 3 b2 4ac 0 抛物线与x轴没有交点 方程没有实数根 知识点2利用函数图象求一元二次方程的近似根 例2 利用二次函数的图象求一元二次方程4x2 8x 1 0的近似根 精确到0 1 解题探究 1 一元二次方程4x2 8x 1 0的根是哪个二次函数与x轴的交点的横坐标 提示 是y 4x2 8x 1与x轴的交点的横坐标 2 请作出 1 中的二次函数的图象 提示 作图如下 3 观察图象 方程根的个数和大致范围是什么 提示 方程有两个根 一个在0和1之间 一个在1和2之间 4 请借助计算器探索并确定方程的解是什么 提示 由图象可知方程的近似根是x1 0 1 x2 1 9 总结提升 求一元二次方程近似根的 四步法 题组一 二次函数与一元二次方程的关系1 抛物线y 3x2 x 4与坐标轴的交点个数是 a 3b 2c 1d 0 解析 选a 令x 0 解得 y 4 抛物线与y轴的交点为 0 4 b2 4ac 49 0 抛物线与x轴有2个交点 综上 抛物线与坐标轴的交点个数为3 变式备选 已知函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 则k的取值范围是 a k 4b k 4c k 4且k 3d k 4且k 3 解析 选b 当k 3 0时 方程为 k 3 x2 2x 1 0 b2 4ac 22 4 k 3 1 4k 16 0 k 4 当k 3 0时 y 2x 1 与x轴有交点 2 如图是二次函数y ax2 bx c的部分图象 由图象可知不等式ax2 bx c5c x5d x5 解析 选d 观察图象可知抛物线对称轴为x 2 且与x轴的一个交点为 5 0 依据对称性可知 抛物线与x轴另一交点坐标为 1 0 二次函数y ax2 bx c的部分图象的开口向下 所以不等式ax2 bx c5 3 2012 兰州中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 若 ax2 bx c k k 0 有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 a k 3c k3 解析 选d 根据题意y ax2 bx c 的图象如图所示 当 ax2 bx c k k 0 有两个不相等的实数根时 k 3 4 2013 苏州中考 已知二次函数y x2 3x m m为常数 的图象与x轴的一个交点为 1 0 则关于x的一元二次方程x2 3x m 0的两实数根是 a x1 1 x2 1b x1 1 x2 2c x1 1 x2 0d x1 1 x2 3 解析 选b 二次函数的表达式是y x2 3x m m为常数 该抛物线的对称轴是又 二次函数y x2 3x m m为常数 的图象与x轴的一个交点为 1 0 根据抛物线的对称性质知 该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 2 0 关于x的一元二次方程x2 3x m 0的两实数根分别是x1 1 x2 2 5 已知函数y mx2 6x 1 m是常数 1 求证 不论m为何值 该函数的图象都经过y轴上的一个定点 2 若该函数的图象与x轴只有一个交点 求m的值 解析 1 当x 0时 y 1 所以不论m为何值 函数y mx2 6x 1的图象都经过y轴上的一个定点 0 1 2 当m 0时 函数y 6x 1的图象与x轴只有一个交点 当m 0时 若函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则方程mx2 6x 1 0有两个相等的实数根 所以 6 2 4m 0 m 9 综上可知 若函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则m的值为0或9 题组二 利用函数图象求一元二次方程的近似根1 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由图象可知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0的两个根分别是x1 1 3和x2 a 1 3b 2 3c 0 3d 3 3 解析 选d 二次函数y ax2 bx c的顶点坐标为 1 3 2 x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0的两根 又 x1 1 3 x1 x2 1 3 x2 2 x2 3 3 2 小亮通过观察二次函数y 2x2 2x 1的图象 发现它与x轴的两个交点一个在 1和 2之间 另一个在0和1之间 并用计算器进行探索 得到下表 由此可知方程2x2 2x 1 0的一个近似根是 a 0 1b 0 2c 0 3d 0 4 解析 选d 由题意可知方程2x2 2x 1 0的根一个在 1和 2之间 另一个在0和1之间 当x由0 1向0 3变换过程中y值一直在增大 并越来越接近0 当x 0 4时 y值大于0 则方程的一个根在0 3和0 4之间 x 0 4时的y值比x 0 3时更接近0 所以方程的一个近似根为0 4 3 对于二次函数y x2 6x 1 当x 5 8时 y 0 160 那么方程x2 6x 1 0的一个根的近似值是 精确到0 1 解析 因为y x2 6x 1的对称轴是x 3 且当x 5 8时 y 0 160 所以方程x2 6x 1 0的一个根的近似值是 5 8 答案 5 8 4 利用函数图象求得方程2x2 6x 3 0的近似根是 精确到0 1 解析 方程2x2 6x 3 0的根就是函数y 2x2 6x 3的图象与x轴的交点的横坐标 y 2x2 6x 3的图象如图所示 方程2x2 6x 3 0的近似根是x1 2 4 x2 0 6 答案 x1 2 4 x2 0 6 5 1 请在坐标系中画出二次函数y x2 2x的大致图象 2 根据方程的根与函数图象之间的关系 将方程x2 2x 1 0的根在图上近似地表示出来