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文档简介
3 4基本不等式 国际数学大会 国际数学大会是由国际数学联盟 imu 主办 首届大会1897年在瑞士功黎士举行 1900年巴黎大会之后每四年举行一次 它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议 2002年8月20日在北京召开第24届国际数学大全会 由中国最高国家科技奖得主 著名数学家吴文俊任大会主席 这是第一次在发展中国家举办的这一大会 有同学知道这一届国际数学大会的会标吗 icm2002会标 著名的 风车 图标 这是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 探究你能根据这个图找出一些相等关系或不等关系吗 将 风车 抽象成左图 在正方形abcd中有4个全等的直角三角形 令直角三角形两条直角边的长为a b 有没有不等关系 当且仅当a b时 等号成立 问题 有其他的方法证明吗 作差法 通常我们把上式写作 注意 1 不同点 两个不等式的适用范围不同 2 相同点 当且仅当a b时 等号成立 探究 如何证明基本不等式 当且仅当a b时 等号成立 综合法 执因索果 分析法 执果索因 课后探究 两种证明方法的优劣 如何来使用 在右图中 ab是圆的直径 点c是ab上的一点 ac a bc b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd 你能利用这个图形得出基本不等式 证法四 易证 t a d t d b 那么 d2 a b即 d 这个圆的半径为 显然 它大于或等于cd 即 其中当且仅当点c与圆心重合 即a b时 等号成立 几何意义是 半径不小于半弦 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 基本不等式的文字描述 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 想一想 基本不等式成立的要素 1 看是否均为正数 2 看不等号的方向 3 看等号是否能取到 简言之 一正二定三相等 例1 1 用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 例1 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 试金石 1 杭州市09年模考 理 3 下列不等式不一定成立的是 b c d a c 2 金丽衢第一次联考 理 14 文科14 改编 4 原题 满足a 2b 1 3 06年
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