2019高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列求和及综合应用课件

第2讲数列求和及综合应用 高考定位数列求和主要考查通过分组转化 错位相减 裂项相消等方法求数列的和 难度中档偏下 数列的综合问题是高考考查的热点 主要考查数列与其他知识的交汇问题 2018 浙江卷 已知等比数列 an 的公比q 1 且a3 a4 a5 28 a4 2是a3 a5的等差中项 数列 bn 满足b1 1 数列 bn 1 bn an 的前n项和为2n2 n 1 求q的值 2 求数列 bn 的通项公式 解 1 由a4 2是a3 a5的等差中项得a3 a5 2a4 4 所以a3 a4 a5 3a4 4 28 解得a4 8 真题感悟 因为q 1 所以q 2 2 设cn bn 1 bn an 数列 cn 前n项和为sn bn b1 bn bn 1 bn 1 bn 2 b3 b2 b2 b1 1 数列求和常用方法 1 分组转化求和 把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 2 错位相减法 适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列 把sn a1 a2 an两边同乘以相应等比数列的公比q 得到qsn a1q a2q anq 两式错位相减即可求出sn 考点整合 2 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式 比较大小或恒成立问题 解决方法如下 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后成等差比数列再求和 或者放缩后裂项相消法求和 3 数学归纳法 3 数列与不等式的综合问题主要题型为 证明不等式 或不等式恒成立问题 转化为最值问题是其主要思路 而求最值常用方法为 作差比较 利用数列单调性求最值 放缩法求最值 热点一数列的求和问题 考法1 分组转化求和 例1 1 2018 天津卷 设 an 是等差数列 其前n项和为sn n n bn 是等比数列 公比大于0 其前n项和为tn n n 已知b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 1 求sn和tn 2 若sn t1 t2 tn an 4bn 求正整数n的值 解 1 设等比数列 bn 的公比为q q 0 由b1 1 b3 b2 2 可得q2 q 2 0 因为q 0 可得q 2 故bn 2n 1 设等差数列 an 的公差为d 由b4 a3 a5 可得a1 3d 4 由b5 a4 2a6 可得3a1 13d 16 从而a1 1 d 1 故an n 2 由 1 有 整理得n2 3n 4 0 解得n 1 舍 或n 4 所以 n的值为4 探究提高1 在处理一般数列求和时 一定要注意运用转化思想 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 在利用分组求和法求和时 常常需要对项数n进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个表达式 2 分组求和的策略 1 根据等差 等比数列分组 2 根据正号 负号分组 又an为正数 所以a1 2 sn 3 sn n2 n 0 则sn n2 n或sn 3 又数列 an 的各项均为正数 所以sn n2 n sn 1 n 1 2 n 1 所以当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 考法3 错位相减法求和 例1 3 2018 杭州调研 已知等差数列 an 满足 an 1 an n n a1 1 该数列的前三项分别加上1 1 3后成等比数列 且an 2log2bn 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 求数列 an bn 的前n项和tn 解 1 设d为等差数列 an 的公差 且d 0 由a1 1 a2 1 d a3 1 2d 分别加上1 1 3成等比数列 得 2 d 2 2 4 2d 因为d 0 所以d 2 所以an 1 n 1 2 2n 1 又因为an 1 2log2bn 探究提高 1 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到的部分 在求等比数列的和时 一定要查清其项数 2 为保证结果正确 可对得到的和取n 1 2进行验证 训练1 1 2018 北京卷 设 an 是等差数列 且a1 ln2 a2 a3 5ln2 1 求 an 的通项公式 2 求ea1 ea2 ean 解 1 设 an 的公差为d 因为a2 a3 5ln2 所以2a1 3d 5ln2 又a1 ln2 所以d ln2 所以an a1 n 1 d nln2 所以 ean 是首项为2 公比为2的等比数列 训练1 2 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n n 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q q 0 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通项公式为an 3n 2 bn 的通项公式为bn 2n 2 设数列 a2nbn 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 bn 2n 有tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 所以tn 3n 4 2n 2 16 所以数列 a2nbn 的前n项和为 3n 4 2n 2 16 又由a1 2 得公比q 2 q 2舍去 所以数列 an 的通项为an 2n n n 故数列 bn 的通项为bn n n 1 n n 因为c1 0 c2 0 c3 0 c4 0 所以 当n 5时 cn 0 综上 对任意n n 恒有s4 sn 故k 4 探究提高以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用数列或数列对应函数的单调性求解 训练2 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且x1 x2 3 x3 x2 2 1 求数列 xn 的通项公式 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 依次连接点p1 x1 1 p2 x2 2 pn 1 xn 1 n 1 得到折线p1p2 pn 1 求由该折线与直线y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积tn 解 1 设数列 xn 的公比为q 所以3q2 5q 2 0 由已知q 0 所以q 2 x1 1 因此数列 xn 的通项公式为xn 2n 1 2 过p1 p2 pn 1向x轴作垂线 垂足分别为q1 q2 qn 1 由 1 得xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1 记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 所以tn b1 b2 bn 3 2 1 5 20 7 21 2n 1 2n 3 2n 1 2n 2 又2tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 得 tn 3 2 1 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 1 错位相减法的关注点 1 适用题