2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数及其性质的应用课件 新人教A版必修1

2 1指数函数 2 1 2指数函数及其性质 第2课时指数函数及其性质的应用 1 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示 则0 c d 1 a b 在y轴右侧 图象从上到下相应的底数由 变 在y轴左侧 图象从下到上相应的底数由 变 即无论在y轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向递增 大 小 大 小 3 函数y f x 向左平移k k 0 个单位 得到函数 的图象 向右平移k个单位 得到函数 的图象 4 关于指数型函数y af x a 0且a 1 的单调性由两点决定 一是底数a 1还是0 a 1 二是f x 的单调性 它由两个函数 复合而成 y y f x k y f x k y au u f x 5 y f u u g x 函数y f g x 的单调性有如下特点 6 求复合函数的单调区间 首先求出函数的 然后把函数分解成y f u u x 通过考查f u 和 x 的单调性 求出y f x 的单调性 增 减 减 增 定义域 1 判一判 正确的打 错误的打 1 3 1 8 3 2 5 2 7 0 50 30 2 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 如果a 5x ax 7 a 0且a 1 1 当a 1时 x的取值范围是 2 当0 a 1时 x的取值范围是 3 思一思 指数函数图象的大致走势有几种 主要取决于什么 解析 指数函数图象的大致走势有两种 一种是从左到右图象是下降的 而另一种恰好相反 图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系 利用指数函数的单调性比较大小 方法规律 三类指数式的大小比较问题 1 底数相同 指数不同 利用指数函数的单调性解决 2 底数不同 指数相同 利用指数函数的图象解决 在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象 依据底数a对指数函数图象的影响 按照逆时针方向观察 底数在逐渐增大 然后观察指数所取值对应的函数值即可 3 底数不同 指数也不同 采用介值法 中间量法 取中间量1 其中一个大于1 另一个小于1 或者以其中一个指数式的底数为底数 以另一个指数式的指数为指数 比如 要比较ac与bd的大小 可取ad为中间量 ac与ad利用函数的单调性比较大小 bd与ad利用函数的图象比较大小 1 比较下列各题中两个值的大小 1 5 1 8 5 2 5 2 4 0 5 5 0 5 3 6 0 8 70 7 解析 1 因为5 1 所以函数y 5x在定义域r上单调递增 又 1 8 2 5 所以5 1 8 5 2 5 2 依据指数函数中底数a对函数图象的影响 画出函数y 4x与y 5x的图象 图略 可得4 0 5 5 0 5 3 因为11 所以6 0 8 70 7 例2 设0a2x2 2x 3 解题探究 0a2x2 2x 3 2x2 3x 21 不等式的解集是 1 解简单的指数不等式 方法规律 解指数不等式应注意的问题 1 形如ax ab的不等式 借助于函数y ax的单调性求解 如果a的取值不确定 需分a 1与0b的不等式 注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式 再借助于函数y ax的单调性求解 2 本例中若将 00且a 1 则不等式的解集又是什么 解析 当0a2x2 2x 3 2x2 3x 21 不等式的解集为 1 当a 1时 y ax在r上是增函数 又a2x2 3x 2 a2x2 2x 3 2x2 3x 2 2x2 2x 3 解得x 1 不等式的解集是 1 综上可知 当01时 不等式的解集为 1 指数函数性质的综合应用 方法规律 1 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 1 指数函数的单调性与底数有关 因此讨论指数函数的单调性时 一定要明确底数与1的大小关系 与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关 其解决方法一般是利用函数单调性的定义 2 指数函数本身不具有奇偶性 但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性 其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质 2 与指数函数复合的单调性问题归根结底是由x1 x2到f x1 与f x2 的大小 再到g f x1 与g f x2 的大小关系问题 示例 求函数y 9x 2 3x 2的值域 错解 设3x t 则9x t2 y t2 2t 2 t 1 2 3 ymin 3 从而y 9x 2 3x 2的值域为 3 因忽略换元后新变量的范围而出错 错因 若y 3 则9x 2 3x 1 显然不成立 错因在于没有注意t 3x 0这一隐含条件 在利用换元法时 一定要注意换元后新变量的取值范围 正解 设3x t t 0 则y t2 2t 2 t 1 2 3 y在t 0时 单调递增 y 2 y 9x 2 3x 2的值域为 2 警示 指数函数y ax a 0且a 1 的值域是 0 在利用换元法解题时 若假设t ax 则t 0 一定要注意换元后新变量的范围 1 比较两个指数式值大小的主要方法 1 比较形如am与an的大小 可运用指数函数y ax的单调性 2 比较形如am与bn的大小 一般找一个 中间值c 若am c且c bn 则am bn 若am c且c bn 则am bn 2 指数函数单调性的应用 1 形如y af x 的函数的单调性 令u f x x m n 如果两个函数y au与u f x 的单调性相同 则函数y af x 在 m n 上是增函数 如果两者的单调性相异 即一增一减 则函数y af x 在 m n 上是减函数 2 形如ax ay的不等式 当a 1时 ax ay