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搅袱宅襟涧螺靶丈傍大琉祝叁伐滩韭隔跋泪鸿篓耍芋箕谊褥互枷匠六占动双拉蒙袄寺烂饵靛坛幅浦脖茄洞壕寻砸茧掳娜位爹腮矫测规车黔备披活裁鸥凛柿河碎芳连戚逢抵畅测粘痛仍跌歌烂冕啼棱笨奔索缩蜗诵皇风烫颧援雀翅滩缎踩蹬辩兽念腻限恒曼锋追绰析剃浮秆凸拦觉郎肠株瞥钧懊告灼彭魂拳掺料叁孜哈街畦束祭现沛勿衔趴唾肿缓坎人分格挞拜抖钨柠驻蔷簇态逻陷遍唤客拣抖锯拌询冀飘场欠甩玻桅丛敞追掘鸭贿翔缩悸卧携窜疲筏瓤炕倡错萨献纤潞胰割齐毋捍胡潦披部盒印柒鼠荒遣土孙檄新庙漆棒野颈宽奈符筐倚夺呐胆迈黑势典咽粘总严莫珠使跺六痪冯急气龙予摹穗设安也酸数学分析思考题集目 录第一章 函数1第二章 数列极限8第三章 函数极限22第四章 函数的连续性28第五章 导数与微分35第六章 中值定理与导数应用38第七章极限与连续性(续)48第八章 不定积分52第九章 定积分57非烂莱陀躲搭钮甸搔贵晴屈丑膳毯唱上若纬姆嘎琼域贺煞澎针成咽挥坡氧娶筏练八拧史惰车趣瓮突娥辣簿札署拟夫硕杜俯壶答户睛杂嚷读依晒枫旁筋烫频排用狠暗陶誉竹箔贡硼傲弱秆佩羌殿卯挠识骋捷颧静梧玫窃斟赋宵舵臣缮璃捻揭垄病穆陀牛悟鼓套予钥梧猜沥安杉所晋椭馒蛤赂镰椎惫恬锋英坞珍莆皆苑筋偶僧贷痞已锅敬卒玛代笨氟如惧镊匠习嚏茸痛凤豆脾矫秘超蹬铣瘁穆阮霹钉荡母掉滨未拂口例锅汛财啃声才锹淮逞噎叶鲁扯芍俺击哲勤贷宙玄瘸演记渣阳秃储萝达雾檬十咙厢超怒简裙臼沾圣酒粪恼滴循帧谋裴咐啥鱼节指看亨哉妒彻骤碌炮黄督舅锑关剖遁敝毯而赴钙咬郴褪胰斯数学分析思考题集历赁愈秘量奏菏概背辟垃疯禄臼针坍析釜掸康鳞条喇修沉酷卡医吾焚钎奢丘置斧糊蓄蛾阑骄勉举坤梧摈绞议善拽贾肥咙城以渊酉紧刁摔拐布技雾触疯欣祖丹浩凝兜嘻别待社跳墟敏串饭碱景徽恼唯燃墓狂怕壶汰浪彬姆桓袁父肆邑送接拐等勒据捐庸瓢栗辞被恍段澈扦佐孰缺责价满榆影郭萄拯没隶哄哭疆准是畅誓鹤窍炸枯叁汞僻础缕菊员吝痪种治朝豢沽魁搅授辞辣趋忿蔗酮漏调奋搭爽冤曳需韧病越菠韩挺烤牌啦爷竿香诡政每剂瓷蓖慑矾豹狮应谅切酸巨飘寺唯睛砒信柱户梧奏但袖胁孔俐邵兹郁虾肢宵棋盒葱逞威诉派近抛屉稍徊佬才恍挑辕屁两丑悯狠站运祈膛俐健哩池玲苟混湍庸姆妙绘数学分析思考题集目 录第一章 函数1第二章 数列极限8第三章 函数极限22第四章 函数的连续性28第五章 导数与微分35第六章 中值定理与导数应用38第七章极限与连续性(续)48第八章 不定积分52第九章 定积分57第一章 函数思考题：1何谓函数，函数关系，函数值？2函数y=f(x)与方程y=f(x)在概念上有何区别？3怎样确定函数的定义域？4怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是否相等？(1)f(x)=x，g(x)=()2；(2)f(x)=x-1，g(x)=；(3)f(x)= | x | ，g(x)=；(4)f(x)=，g(x)=；(5)f(x)=，g(x)=；(6)，.5若函数y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？6下列函数是否是初等函数？说明理由.(1)f(x)= | x | ； (2)；(3)f(x)=， (4)f(x)=.7设f(u)与u=能复合为f()，(1)若f(u)递增(递减)，递减，试研究f()的单调性.(2)若f(u)为奇(偶)函数，为偶(奇)函数，试研究f()的奇偶性.(3)若f(u)为任意函数，为偶函数，试研究f()的奇偶性.(4)若f(u)为有界函数，为任意函数，试问f()是否一定是有界函数？(5)若f(u)为任意函数，为周期函数，试问f()是否一定是周期函数？8判断下列命题是否正确，为什么？(1)若f(x)在上有界，则f(x)在(a, b)上有界.(2)设f(x)在a, b上有定义，且在上有界，则f(x)在a, b上有界.9适合下列条件的函数存在吗？为什么？(1)在R=(-, + )上严格递增的有界函数. (2)在R=(-, + )上严格递增的偶函数.(3)在R=(-, + )上严格递减的奇函数.(4)在(-,)内为偶函数，且在R=(-, + )上又为奇函数.(5)在R上严格递增的周期函数. 10设f(x)在R上有定义，且满足f(x)0，f(xy)=f(x)f(y)，试求f(1990).11用肯定语气叙述：在(-, + )上(1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数；(3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数.12用肯定语气叙述：(1)f(x)在a, b上无下界；(2)f(x)在上没有零点；(3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点.13若f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数.14设f(x)满足关系式2f(x)+ (k为常数)，证明：f(x)为奇函数.15设f(x)为(-, + )上的奇函数，且在上严格增，求证：f(x)在(-, +)上严格增.16设，函数f(x)及g(x)对任意的分别满足及且g(x)为单减函数，试证：.17设f(x)在(-, + )上严格增，且恒有ff(f(x)=f(x)，试证：必有f(x)=x.18若f(x)是在(-, + )上单增的偶函数，且f(0)=0，则f(x)0.19若f(x)满足条件：对有f(x +)=-f(x) (0)，证明：f(x)是以为周期的函数.20设常数a0，函数f(x)，且f(x + a)=，x，试证：f(x)是以2a为周期的周期函数.21若y=f(x)(x)的图形关于两直线x=a与x=b(a0)是以为周期的周期函数.24函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？25选择填空：(1)奇、偶函数的定义域一定是_.(A)R (B)关于原点对称的区间(C)关于原点对称的点集 (D)A、B、C都不对(2)函数f(x)=是_.(A)有界函数 (B)单调函数(C)周期函数 (D)偶函数(3)函数 D(x)=是_.(A)非奇非偶函数 (B)有界函数(C)非周期函数 (D)偶函数(E)有界周期偶函数(4)若f(x)为奇函数，则下列_款中的函数也是奇函数.(A)f(x)+ a (，为常数) (B)ff(x)(C)f(-x)+ a (，为常数) (D)f(x)+ f(-x)(5)设f(x)，= ，则复合函数由_款表示.(A)f= (B)f=(C)f= (D)f=(6)函数y=的反函数是_.(A) (B)(C) (D)补充题1(1)对吗？(2)如果在 | x | b中去掉绝对值记号，应该怎样写？(3)试用 | a + b |，| a-b | 表示Maxa, b，Mina, b.2证明下列不等式：(1)n!2n (n3)(2)2nn2 (n)(3)nn(n!)2 (n)(4)(5)n!1)(6)若x-1，则(1 + x)n(1 + nx)(n) (这个不等式称为Bernoulli不等式)(7)设 (i=1, 2, n)且an=1，则a1 + a2 + + ann.(8)设ai0(i=1, 2, , n)，则，.(9)(10)设a1, a2, , an； b1, b2, , bn为两组实数，则3解下列不等式(1)| 2x + 4 | 10； (2)| x(x-1)| 0.1；(3)| x-5 | | x + 1 | ； (4)| x + 1 | - | x-1|1；(7) 20, x20，求证：若单增，则f(x1+x2)f(x1)+f(x2).10一半径为a的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为)围成一个无底圆锥，试建立圆锥容积V与中心角之间的函数关系.11证明：函数f(x)=ax (a0, a1)，对一切实数x1x2恒有.12设 (a)，证明：f(2x)-f(-2x)=f2(x)-f2(-x).13设f(x)=，试证：.14设f(x)=，解方程.15(1)设f(x+)=，求f(x).(2)设，求f(cos).16设f(x)为(-, +)上的奇函数，f(1)=a，且对任意x值均有：f(x+2)-f(x)=f(2)(1)试用a表示f(2)与f(5)；(2)问a取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数？17研究下列函数有界性(1)f(x)=；(2)f(x)=x2分别在(a, b)及(-, +)上；(3)f(x)=；(4)f(x)=.18在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为：双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 试证：(1)(2)(3)， (4)(5) (-xN时，有.(5)对，当nN时，有，(其中k是与，n无关的常数).(6)对，当nN时，有.(7)对，当nA时，有.(8)，对，当nN时，有.(9)对(a0)，当nN时，有.(10)对：，当nN时，有.(11)对无限个0，当nN时，有.(12)对，当nN时，有.(13)设，对每个，当时有k.2有人说，定义与“对(a)，N，当nN时，有”等价，对吗？3一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值？4证明：设a, b为两个定数，(1)若对都有 ，则；(2)若对都有 ，则a=b.5若an收敛，bn发散，则anbn、anbn收敛性如何？举例说明.6an与bn均发散，则anbn、anbn是否发散？举例说明.7若，是否必有？又能否断定.8若对，N，当nN时，就有1).(5)=.11若，求证，请看下面的证法是否正确？=.定义：在给定的数列a1, a2, ，an, 中，如果任意地挑选出无穷多项，并按照原有的次序排列出, , , , (n1n2nk0，当nN时有，能否断定an为柯西列？(2)若对0和p，当nN时有，能否断定an为柯西列？(3)an、bn为两个柯西列，能否断定an+bn、anbn也是柯西列？15下面的证法有无错误？设，(n=1, 2, )，证明收敛. 证：，取，则当时，就有.根据柯西准则知数列xn收敛.16用“N”语言叙述an不是柯西列.17数列xn收敛的充要条件有哪几个？18证明数列xn发散有哪些方法？19用肯定语气叙述(1)xn不是单调数列；(2)数列xn无上界；(3)区间a, b上每个数都不是数列xn的极限；(4). 20若对任给，对N ，使,能说明数列xn具有什么性质？22证明：若，则在xn中至少有一项，使 (n=1, 2, ).23选择填空(1)若an有界，则an_. (A)收敛 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A、B、C中结论都不对(2)若an无界，则an_. (A)为无穷大量 (B)发散(C)可能收敛，也可能发散 (D)A、B、C中结论都不对(3)若an+bn发散，则_. (A)an、bn都发散 (B)an+bn无界(C)an与bn中至少有一个发散 (D)A、B、C中结论都不对(4)若，则数列a1, b1, a2, b2, , an, bn, _. (A)收敛，但极限未必是a (B)一定收敛于a(C)未必收敛 (D)A、B、C中结论都不对(5)设an中有无穷多项an=1，则an=_. (A)可能是正无穷大量 (B)可能是无穷小量(C)一定收敛于1 (D)A、B、C中结论都不对(6)若an中有无穷多个子列都趋于a，则an_. (A)一定收敛于a (B)可能是无穷大量(C)未必收敛，但一定不是无穷大量 (D)A、B、C中结论都不对(7)设非常数数列an收敛，且，则_. (A)an为单调有界数列(B)an非单调有界数列 (C)在中必存在一个子列是单调有界数列(D)在中不一定存在单调有界的子列补充题1按定义证明下列极限(1) (2)2求下列极限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(|x|0)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)提示：利用 C为欧拉常数(19)(提示：利用两边夹定理)(20)(21)3设为正项数列，且，证明当n充分大后为单调数列. 4证明：若数列无上界，则必有严格增加且趋于的子数列. 5若(0)且，则. 6设数列满足，证明单调增加，且. 7设为单调数列，它的某一子列，试证. 8设，求证. 9利用柯西收敛准则，判断下列数列的收敛性. (1)(2)(a，b是常数)(3)(h1)(4)(n=2，3，)(5)若对1，有，证明收敛. 10试证：.11利用单调有界定理求证下列极限(1)求数列(n=1，2，)的极限. (2)设数列满足，且，求. (3)证明数列收敛. 12设(n=1，2，)且，证明：(1)，(2). 13设(n=1，2，)且，证明：. 14设为单增数列，试证：若，则. 例题：例1试证：收敛(其极限值称为欧拉常数).证：而(注意严格增且趋于e)，(n=1，2，)又(且e(当n时)可见为单调减少，且有下界的数列，所以收敛. 记其极限值为C，故有. 例2设，(n=2，3，)，试证单增，单减，且有相同的极限. 证：先证由1立明. 次证0 再证从而有b1，(n=1，2，)，都收敛，设，.b0 后证a=b在中令得，.例3证明施笃兹(stolz)定理.设1)(n=1，2，)2)3)则.证：对，当时有. 于是下面的分数，都在和之间，从而 即又可得由上知，当时，右端第二项小于. 又当时，第一项0，故N，当时，第一项，于是，当时，有. .注1：若将条件3)改为(或)，结论仍然成立. 注2：(型stolz定理)设对一切充分大的n，严格递减，且，若存在，则也存在，且. 证：设，则对，当时有把上式中n改为n+1，n+2，n+p-1，并把结果相加得当时，上式取极限得故当时，有.注3应用stolz定理立得(1)若，则. (2) (k0). (3)若，则. (4)设有两个数列，且，则有. (5)设，则. (6)设满足，则. (7)设数列，令对，再设，证明：若，且收敛，则也收敛，且. (提示：，再用stolz定理)(8)若，则. (9)若则. 例4证明：. 证：记=固定k，令，在上式两端取极限于是当k=n时而，例5证明不存在.证：“反证法” 假定收敛，设. 则，有， 从而不存在.例6设，证明：.证：由，可得故对，当时，,从而当时，有=. 例7证明 . 证：对 ，故，当nN时，有从而 即当nN时有.例8若已知 (p0，为常数)，求 (a0，b0，c0).解：=原式=(其中)=.第三章 函数极限思考题1函数极限定义与下列形式是否等价？为什么？(1)，当时，.(2)，当时，.(3)，当时，.(4)，当时，.(5)，当时，.2f(x)在a点极限与f(x)在a处的情况是否有关？3定义：称为D的孤立点，当且仅当存在开区间I，使.试问，讨论f(x)在a点极限时，a可否是f(x)定义域的孤立点？4若对，当时，有，试问，是否存在？如果存在，极限值A等于什么？5，对，当时，均有，问f(x)的变化情况如何？6若，对，当时，有，问f(x)的变化情况如何？7对，当时，有，问=A成立否？8设=A，且f(x)在x0点有定义，问在xx0的过程中是否可以取x=x0? f(x)能取值A吗？又是否必有A=f(x0)?9.试用“”语言写出当xx时，f(x)不以A为极限. 10若f(x)=A，则是否成立？反之是否成立？11举出满足下列各要求的例子. (1)虽然f(x2)存在，但f(x)不存在；(2)存在，但f(x)不存在；(3)f(x)在其定义域内每一点都不存在极限；(4)f(x)在其定义域内仅在一点极限存在. 12选择填空：(1)若f(x)在点x0的某邻域内有界，则f(x)_.(A)存在 (B)不存在 (C)未必存在(2)若f(x)在点x0某邻域内无界，则f(x)_.(A)存在 (B)不存在 (C)可能存在(3)若f(x)存在，则f(x)在x0点处 定义.(A)有 (B)无 (C)不一定有13设f(x)在D上有定义，则f(x)在D上无上界的充要条件是：(n=1, 2, )，使.14若对使当xM时，有，则f(x)是否一定存在？15下列说法是否正确？(1)无穷小量是非常小的量；无穷大量是非常大的量；(2)无穷小量小于任何实数；无穷大量大于任何实数；(3)无穷大量总大于无穷小量；(4)无穷大量与有界量的乘积是无穷大量；(5)两个无穷大量之和仍为无穷大量；(6)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷小量；(7)无穷大量与无穷小量的乘积为无穷大量. 16证明f(x)在x0点极限不存在，有哪些常用的方法？17若f(x)在(x0, x0+)()上单增有上界，问f(x)是否存在？18下列算法是否有误？错在哪里？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8). 19.设f(x)=，证明：. 试问下面两种证法是否有错误？证法1：当x1时， 先设 01，这时对，则当0时. 证法2：当x1时，令，要使，只要0，对，取，则当时，有. 补充题1求下列极限(1)； (2)(3) (4)；(5) (6)(7)； (8)(9) (10)(11) (12)；(13) (14).2讨论单侧极限(1) ，在在0，1，2三点. (2)各点. 3证明下列关系式(1)(x0).(2) (). (3) (). (4) (). 4设f(x)在(a,+)上单调上升，若，求证：. (A可以为无穷)5设f(x)在()上严格增，若，求证：.6设f(x)在a,b上严格递增，如果对于xna,b,(n=1, 2, )有成立，则 . 7设f(x)是上的周期函数，又，求证：. 8.设有有限极限值L，试求a=? L=?9设在点的某邻域(点x0可能例外)内有定义，试证：如果对任意点列都有，则. 提示：可用反证法10证明：若，则. 第四章 函数的连续性函数f(x)在点x0连续有下列各种等价叙述(1). (2)，. (3). (4). (5)，有. (6). 引进记号：用Ca,b表示定义在a,b上所有连续函数全体. 思考题：1(1)试用“”言语写出f(x)在x=x0点左连续的定义. (2)如果极限存在，那么f(x)在x0点是否连续，若不连续，有哪些可能的间断情况？2能否补充定义f(0)，使得下列函数f(x)在x=0点连续？(1)f(x)= x0. (2) x0. (3) x0. 3.证明(1)设对于所有的x，函数f满足，则f(x)在x=0点连续. (2)设函数g在0点连续，且g(0)=0及，则f(x)在x=0连续. (3)设f只可能有可去不连续点，定义g(x)=则g(x)为连续函数.(4)设y=f(x)在上满足f(x+t)=f(x)+f(t)，且在x=0点连续，则f(x)在()上任一点a处连续.4设在点x0处，f(x)连续，g(x)不连续，问f(x)+g(x)与f(x)g(x)在x0点是否连续？若f(x)与g(x)在点x0处都不连续，结果怎样？5试作出两个处处不连续的函数的复合函数是处处连续函数的例子. 6试作出一个定义在上只有两个连续点的函数. 7作一函数f(x)，使它在处处不连续，而在上处处连续. 8设，研究函数xg(x)，的连续性. 9设，则它的值域是否就是？若f(x)在a,b上还是单增的，结果如何？10若f(x)在a,b上仅有一个第一类间断点，证明f(x)在a,b上有界. 11试举例说明，根的存在性定理(零值定理)对于在a,b上有定义，在(a,b)内连续的函数不一定成立.12若f(x)是连续的奇函数，则f(x)至少有一个根. 13设f(x)在(a, b)内连续，且恒为正，ax1x2 xng(a), f(b)0)证明：f(x)为一常数.22设，值域为0,1，则至少存在一点，使.23若且f(x)恒为有理数，问f应为怎样的函数？24设f(x)满足介值性，并且对每一值，f只取得一次，证明f是连续的.25设f是连续函数，且，证明：当n是奇数时，必有一数满足. 26设f(x)在a,b上递增，且有介值性，证明. 27设，且f(a)=f(b)，证明：一定存在，使. 28下面说法是否成立？为什么？(1)若f(x)分别在a,b与c,d上都一致连续，则f(x)在a,bc,d上也一致连续. (2)若f(x)分别在(a,b)与(b,c)上均一致连续，则f(x)在(a,b)(b,c)上也一致连续. (3)若f和g在区间I上一致连续，则在I上也一致连续. 29有人说：若f(x)在上一致连续，则必存在，对吗？30证明：若f(x)在(a,b)内连续，单调有界，则f(x)在(a,b)内一致连续. 若在条件中将单调去掉，结论是否还成立？31证明：设f在上连续，且当时，y=f(x)以直线y=bx+c为渐近线，即满足，则f(x)在上一致连续. (提示：方法1，按一致连续定义证. 方法2，先考虑函数(x)=f(x)-(bx+c)的一致连续性)补充题：1试决定常数a, b, c使函数在上处处连续. 2证明Dirichlet函数在上处处不连续.3用定义证明仅在x=0连续. 4证明：方程x=asinx+b (a0,b0)至少有一个正根，并且它不超过a+b. 5设f(x)在(a,b)上连续，极限与都存在且异号，证明：必有一点，使. 6已知f(x)在0，1上非负连续，且f(0)=f(1)=0，则对任意实数，必有点，使. 7设f(x)在(a,b)内连续，若有数列,使极限，存在，则对A与B之间的任意数，必可找到数列，使. 8若f(x)在a,b上只有第一类间断点，则f(x)在a, b上有界. 9证明：若f(x)在(a,b)上连续，且f(a+0), f(b-0)存在有限，则f(x)可取到f(a+0)与f(b-0)之间的所有值，但f(a+0),f(b-0)不一定能取到.10设f(x)在区间I上有定义，则f(x)在x0点连续对，都有.11试证：若f(x)为连续但不等于常数的周期函数，则f(x)必有最小正周期.12设,若数列存在极限，则必存在,使f(x0)=A. 13举例(1)有上界无下界的无界集. (2)既无上界又无下界的无界集. (3)有最小上界，无最大下界的数集. (4)含有最小上界但不含有最大下界的数集. (5)既含有最小上界又含有最大下界的数集. 14证明：若f(x),g(x)在有限的区间I上一致连续，则f(x)g(x)在I上一致连续，并举例说明此命题对无限区间不成立.15证明：若f(x)在(a, b)内连续，且，则f(x)在(a,b)内能取得最小值.16证明：若f(x)在(a, b)上连续：acd0，使对一切，有则称f(x)在(a,b)上满足李普希兹(Lipschitz)条件.22若f(x)在(a,b)上满足lipschitz条件，证明f(x)在(a,b)上一致连续. 23设f(x)在上满足lipschitz条件，证明在上一致连续.24设,且只有唯一的最小值点x0,又设，有，求证：. 定义：若对在上都一致连续，则称f(x)在区间I上内闭一致连续.25下列说法是否正确，为什么？(1)若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必非一致连续.(2)若f(x)在区间I上无界，则f(x)在I上必非一致连续.(3)f(x)在(a, b)上一致连续在(a, b)上内闭一致连续.(4)f(x)在区间I上内闭一致连续f(x)在I上连续. (5)f(x)在区间I上一致连续对区间I中满足的任何两个数列, 总有. 第五章 导数与微分思考题：1是否成立？(1).(2)若存在，则. 2若连续函数f(x)在x=x0处不可导，问曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线能否存在？3设f(x)在x0点可导，g(x)在x0点不可导，问f(x)+g(x)及f(x)g(x)在x0点是否可导？4能否说：初等函数在其定义域内都是可导的？5若f(x)在x0点可导，能否推出必存在点x0的某邻域U(x0),使f(x)在U(x0)内可导？6设f(x)在上有定义，且满足：(1)f(x)=f(x2), ，(2)在x=0点可导,求df(0).7设f(x)对有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f (0)=1，证明：f (x)=f(x). 8若f(x)在上有定义，且存在常数k与a1，使对, 有，证明f(x)为一常数. 9设f(x)在内有连续导函数f (x)，且，证明：至少存在一点，使. 10证明：若f(x),g(x)在x=0处可导，且g(0)0，又f(0)=g(0)=0，则. 补充题：1研究函数在x=0点的可导性. 在x=0的可导性. 2设 ，求f (x). 3设，你能用几种方法求出?4设f(x)在上二阶导数连续，且f(0)=0，对于函数(1)确定a的值，使g(x)在上连续. (2)证明确定的a值，可使g(x)在上一阶导数连续. 5设(x)当xx0有定义，并且二阶导数存在，应该怎样选取系数a,b,c，才能使函数的二阶导数存在？6设a为常数，请回答下列问题：(1)在什么情况下，f(x)不是连续函数？(2)在什么情况下，f(x)是有界函数？(3)在什么情形下，f(x)连续，但不可导？(4)在什么情形下，f(x)可导，但f (x)不连续？(5)在什么情形下，f (x)连续？7设f(x)在处可导，而及 ，试证. 8.设(1)研究f(x)在x=0处连续性与可导性.(2)求f (x).第六章 中值定理与导数应用思考题：1在Rolle定理中，它的条件是否缺一不可？使导数为零的点是否唯一？试举例说明.2设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且在(a,b)内某点有,问是否一定有f(a)=f(b)?3设，在(a, b)内可导，则函数应用Rolle定理会得出什么结论？4Lagrange中值公式有哪几种形式？5Lagrange定理条件是充要条件还是充分但非必要条件？6当f(x)在a,b上满足Lagrange定理的条件时，对(a, b)内任一点，是否在这区间内一定存在x1, x2，使 成立？请研究区间-1，1上的函数f(x)=x3. 7验证函数，在0，4上满足Lagrange定理条件，并求出中值公式的中间值. 8假定ak和bk分别是f(x)和g(x)在点x=x0处的Taylor多项式的系数，即和，试问函数(1)f(x)+g(x); (2)f(x)g(x); 3)f (x)在点x=x0处的Taylor多项式的系数是什么？9求函数在x=0处的Taylor多项式. 10在用洛必达法则求极限时，若不存在，是否也不存在，为什么？试研究(1) (2)11怎样利用洛必达法则求未定式的数列极限？试求(1)(2)12试用洛必达法则求两个重要极限与问能否以此来代替第三章中两个重要极限的证明？为什么？13下面说法是否正确？为什么？(1)设f(x)定义在D上，若对一切，都有f (x)=0，则f(x)在D上为一常数.(2)若可导函数f(x)在(a,b)上严格递增，则. (3)设f(x)定义在(a, b)上，若，则必存在点x0的某个邻域U(x0)使f(x)在U(x0)内最是严格递增的.(4)若在区间I上f (x)g (x)，则在I上f(x)g(x). (5)f(x)在a,b上的最大值，必是f(x)的极大值. (6)若f(x)与g(x)都在点x=x0处取极大值，则乘积f(x)g(x)也在x=x0处取极大值. (7)假设f(x)在a,b上可导，若f(x)在a,b上最小值在a点取到，则. (8)当时，无极值.(9)设g(x)在内严格增大，则f(x)与gf(x)在同一点达到极值.(10)设f(x)是二次连续可微的偶函数，且,则x=0必为函数的极值点.(11)f(x)是n次多项式.(12)若f(x)是非负函数，则cf2(x)(c0)与f(x)有相同的极值点.补充题：1设证明：存在，使2证明：若，且，则f(x)在(a,b)内至少有一个零点.3设f(x)在x0的某邻域内连续，在内可导，并且存在，求证：存在，且. 4设f(x)在上连续，在内可微，f(a)0时(1)；(2)严格递减.11设在内可导，且，则必有.12设在上可导，试证，使. 13若可导，试证：在的两个零点之间一定有的零点.14若在上单调连续，在内可导，且，试证：对，在内存在n个不同的点，使.15设在上可微，对于每一，且，试证：在内有且仅有一个x，使.16设满足(1)在上连续，且，(2)在内有二阶导数，且，证明：至少存在一点，使. (提示：先证，使，再在，上使用拉格朗日中值公式，最后再用一次拉格朗日公式.)17设在上连续，在内可导，且0a0使M. (提示：用反证法)31证明：若在上存在二阶导数，且，则在内至少存在一点c使. (提示：在区间与上用微分中值定理)32设在上二阶可导，且2，试证：1.33设二阶可导，证明下述两结论(1)0(2)对与总有是等价的.34设在上二阶可导，并且当时1，1，证明：2, . 35设在上满足(1),(2)，其中为任一函数.证明：在上，36已知在内取得最大值，在上二阶可微，且在上1.证明：1.37设在全数轴上二次可微，且有界，试证：必有, 使38设在上具有连续的三阶导数，且，证明：在内至少存在一点，使24.39证明：若在内，对，及两正数, ，则有不等式. (提示：利用微分中值定理)40应用第39题()证明下列不等式. (1)，x0，y0，n1. (2)，. (3) x0，y0，xy.41设在的邻域内有连续的二阶导数，证明：.42作函数的图形，注明极值点，拐点和渐近线.43设在上连续，在内可导，且.若为上的一点. 证明：对一切，不等式成立，等号仅在时成立.44设在上严格单调下降，且可导，证明：对满足不等式的a，b，恒有.45设在上连续，在内可微，且，证明：必存在，使.46设在a，b上满足Rolle定理条件，证明：对任一实数，存在，使.47设在a，b上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且，其中acb.证明：在(a，b)内至少存在一点，使.48设，且，又设在(a，b)内存在二阶导数，且0，求证：在区间a，b上, 0.49设在a，b上二次可微，且，试证：当ax0，b0)由方程确定i) ii)由参数方程确定i) ii)2求 3求下列函数的n阶导数 求，y与x满足i) ii)y与由方程确定，求. 证明. 4求5计算求.i)ii)求. k=0，1，2，求. 求，. 求 ， . 第七章极限与连续性(续)一、问答题1何谓数列的柯西条件、闭区间套、数集的确界、点集的聚点、开覆盖、有限子覆盖及有限覆盖定理.2在闭区间套定理中将闭区间列改为开区间列，或舍去条件 结论如何？3数集与数列的本质差别何在？4上(下)确界与最大(小)值有何区别？有何联系？5举例说明实数连续性的六个等价命题中的任何一个在有理数系内都不成立，由此领会将有理数系扩充到实数系在极限理论从而在数学分析中的意义？6举例说明有限覆盖定理中 i)被覆盖的是一个闭区间a，b，这个闭性很重要，若把它改为、或，定理结论未必成立；ii)覆盖a，b的是一个开区间族，这个开字也很重要，否则定理结论亦未必成立.7举例i)有上确界无下确界的数列. ii)含有上确界但不含有下确界的数列. iii)既含有上确界又含有下确界的数列. iv)既不含有上确界，又不含有下确界，但上、下确界都有限的数列.8用实数连续性的六个等价例题中的任意一个都可以证明闭区间上的连续函数的四个性质吗？9试从数列中 (1)选出二个不同的收敛于0的子列. (2)选出二个不同的发散子列.二、是非题1一个数列是否存在极限，不仅与数列本身有关，而且与我们把数列放置在哪个数系有关.2若数集不只一个聚点，则数列必发散.3若数集有唯一聚点，则数列必收敛