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第六节 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有 或 这里是的整个边界曲面的外侧，是上点出的法向量的方向余弦。证明：我们只需证明三个等式，证明等式最重要的是处理好积分区域！证明（如图1）例1：计算，其中为椭球面的内侧。解：利用高斯公式例2:计算曲面积分，其中积分曲面为，并取下侧。（00华）解：做辅助曲面并取上侧，利用高斯公式点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧；例3：设函数，在闭区域具有一阶及二阶连续的偏导数，证明：其中为闭区域的整个边界曲面，为函数沿的外法向量的方向导数，符号。证明：二、斯托克斯公式定理2：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数 在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 或 证明：我们分别证明以下三式（如图2）， ，。设与平行轴的直线的交点不多于一点，即的方程可记为。并取上侧因为，在面上的投影为（这步由格林公式得出，其中为的边界）如果从变到，则有从变到，。注：闭曲线对应的曲面不是唯一的。例4：计算，其中为椭圆，若从轴正向看去，这椭圆取逆时针方向。解：利用斯托克斯公式计算，曲线所围成的曲
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