第3讲数学模型应用题.pdf

第三讲 数学模型应用问题 讲义 一 知识点睛 应用题的处理流程 1 理解题意 辨识类型 类型需要考虑 所属的数学模型 方程不等式问题 函数问题 测量问题 实际生活的背景 工程问题 行程问题 经济问题 2 梳理信息 建立模型 围绕关键词 隐含的数学关系 通过列表或画线段图等方式 对信 息分类整理 据此建立数学模型 常见关键词 共需 同时 刚好 恰好 相同 考虑方程 不超过 不多于 少于 至少 考虑不等式 组 最大利润 最省钱 运费最少 尽可能少 最小值 考虑函 数 一次函数 二次函数 根据函数性质求取最值 隐含的数学关系 原材料供应型 使用量 供应量 容器容量型 载重量 货物量 3 求解验证 回归实际 结果是否符合题目要求 结果是否符合实际意义 二 精讲精练 1 某次地震后 政府为安置灾民 准备从某厂调拨用于搭建帐篷 的帆布5 600m2和撑杆2 210m 1 该厂现有帆布4 600m2和撑杆810m 不足部分计划安排110人进 行生产 若每人每天能生产帆布50m2或撑杆40m 则应分别安排多 少人生产帆布和撑杆 才能确保同时完成各自的生产任务 2 计划用这些材料在某安置点搭建甲 乙两种规格的帐篷共100 顶 若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及 安置人数如下表所示 则这100顶帐篷最多能安置多少灾民 帐篷规格 帆布数量 m2 撑杆数量 m 安置人数 人 甲型40306 乙型60208 2 现要把228吨物资从某地运往甲 乙两地 用大 小两种货车共18 辆 恰好能一次性运完这批物资 已知这两种货车的载重量分别为 16吨 辆和10吨 辆 运往甲 乙两地的运费如下表 运往 地 车型 甲地 元 辆 乙地 元 辆 大货车720800 小货车500650 1 求这两种货车各用多少辆 2 如果安排9辆货车前往甲地 其余货车前往乙地 设前往甲地 的大货车为a辆 前往甲 乙两地的总运费为w元 求出w与a的函数 关系式 写出自变量的取值范围 3 在 2 的条件下 若运往甲地的物资不少于120吨 请你设计 出使总运费最少的货车调配方案 并求出最少总运费 3 某地一经济适用房楼盘一楼是商铺 暂不出售 二楼至二十三楼 均为商品房 对外销售 商品房售价方案如下 第八层售价为2 000元 米2 从第八层起每上升一层 每平方米的售价增加40元 反之 楼层每下降一层 每平方米的售价减少20元 已知商品房每 套面积均为80平方米 开发商为购买者制定了两种购房方案 方案一 购买者先交纳首付金额 商品房总价的30 再办理分期 付款 即贷款 方案二 购买者若一次付清所有房款 则享受8 的优惠 并免收五 年物业管理费 已知每月物业管理费为a元 1 请写出每平方米售价y 元 米2 与楼层x 2 x 23 x是正 整数 之间的函数解析式 2 王老师已筹到60 000元 若用方案一购房 他可以购买哪些楼 层的商品房呢 3 有人建议王老师使用方案二购买第十六层 但他认为此方案还 不如不免收物业管理费而直接享受9 的优惠划算 你认为王老师的 说法一定正确吗 请通过计算确定a的范围 并阐明你的看法 4 某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后 再投入100万元 购买生产设备 进行该产品的生产加工 已知生产这种产品的成本 价为每件20元 如果售价为每件25元 每年可卖出15万件 如果售 价超过25元但不超过30元 每件商品的售价每上涨1元 则每年少 卖1万件 如果售价超过30元后 若再涨价 则每涨1元每年少卖 0 5万件 设每件商品的售价为x元 x是整数 该产品的年销售 量为y 万件 1 求y与x之间的函数关系式 并直接写出自变量x的取值范围 2 经过市场调研发现 该产品的销售单价定在25元到35元之间 可 以取到25元 35元 较为合理 年获利 年销售收入 生产成本 投资成本 求该公司第一年的年获利W 万元 与销售单价x 元 之间的函 数关系式 并说明投资的第一年 该公司是盈利还是亏损 若盈 利 最大利润是多少 若亏损 最小亏损是多少 第二年 该公司决定给希望工程捐款Z万元 该项捐款由两部分 组成 一部分为10万元的固定捐款 另一部分则为每销售一件产 品 就抽出一元钱作为捐款 若除去第一年的最大利润 或最小亏 损 以及第二年的捐款后 到第二年年底 两年的总盈利不低于 67 5万元 请你确定此时销售单价的范围 参考答案 1 1 应安排40人生产帆布 70人生产撑杆 才能确保同时完成各自 的生产任务 2 这100顶帐篷最多能安置760名灾民 2 1 大货车8辆 小货车10辆 2 3 总运费最少的货车调配方案 甲地 辆 乙地 元 辆 大货车53 小货车46 最少的运费为11 900元 3 1 2 他可以购买二至二十层的任何一层商品房 3 王老师的说法不一定正确 当时 王老师的说法正确 当时 王老师的说法不正确 4 1 2 投资的第一年 该公司亏损 最少亏损12 5万元 3 此时销售单价x 元 的范围是 数学模型应用题 一 1 亚洲足球俱乐部冠军联赛 期间 河南球迷一行56人从旅馆乘车到 天河球场为广州恒大加油 现有A B两个车队 A队比B队少3辆车 若 全部安排乘A队的车 每辆坐5人 车不够 每辆坐6人 有的车未坐 满 若全部安排乘B队的车 每辆坐4人 车不够 每辆坐5人 有的车 未坐满 则A队有 辆车 A 11 B 10 C 8 D 9 2 低碳生活 绿色出行 自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具 考虑到自行车需求不断增加 某商城准备投入3万元购进一批两种规格 的自行车 已知A型车的进价为500元 辆 售价为 700元 辆 B型车的进价为1000元 辆 售价为1300元 辆 根据销售经 验 A型车不少于B型车的2倍 但不超过B型车的2 8倍 该商城的进货 方案共有 种 A 8 B 6 C 4 D 3 3 某校准备组织290名学生进行野外考察活动 行李共有100件 学校计 划租用甲 乙两种型号的汽车共8辆 经了解 甲种汽车每辆最多能载 40名学生和10件行李 乙种汽车每辆最多能载30名学生和20件行李 如 果甲 乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元 1800元 则最省钱的 租车方案是 A 甲5辆 乙3辆 B 甲6辆 乙2辆 C 甲4辆 乙4辆 D 甲7辆 乙1辆 4 某项工程在招标时 接到甲 乙两个工程队的投标书 施工一天 需 付甲工程队工程款1 2万元 乙工程队工程款0 5万元 工程领导小组根 据甲 乙两队的投标书测算 有如下方案 1 甲队单独完成这项工程刚好如期完成 2 乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天 3 若甲 乙两队合做3天 余下的工程由乙队单独做 也正好如期完 成 在不耽误工期的前提下 最省钱的施工方案为 A 方案 1 B 方案 2 C 方案 3 D 不能确定 5 某园林的门票每张10元 一次性使用 考虑到人们的不同需求 也为 了吸引更多的游客 该园林除保留原来的售票方法外 还推出了一 种 购买个人年票 的售票方法 个人年票从购买日起 可供持票者使 用一年 年票分A B C三类 A类年票每张120元 持票者进入园林 时 无需再购买门票 B类年票每张60元 持票者进入该园林时 需再 购买门票 每次2元 C类年票每张40元 持票者进入该园林时 需再购 买门票 每次3元 则一年中进入该园林至少 次时 购买A类年票 最合算 A 10 B 27 C 30 D 40 6 某中学需720套单人课桌椅 光明厂承担了这项生产任务 该厂生产 桌子必须5人一组 每组每天可生产12张 生产椅子必须4人一组 每组 每天可生产24把 已知学校要求光明厂6天完成这项生产任务 现学校 要求至少提前1天完成这项生产任务 光明厂目前有生产课桌椅的员工 84名 求分配员工生产课桌椅的方案 若设生产桌子的员工有x人 则 根据题意 下列不等式 组 正确的是 A B C D 7 某通讯公司提供了两种移动电话收费方式 方式一 收月基本费20元 再以每分钟0 1元的价格按通话时间计费 方式二 收月基本费20元 送80分钟通话时间 超过80分钟的部分 以 每分钟0 15元的价格计费 下列结论 如图描述的是方式一的收费方法 若月通话时间少于240分钟 则选择方式二更省钱 若月通讯费为50元 则方式一比方式二的通话时间多 若方式一比方式二的通讯费多10元 则方式一比方式二的通话时间多 100分钟 其中正确的是 A B C D 数学模型应用题 二 1 某宾馆有二人间 三人间 四人间三种客房供游客租住 一旅行团20 人准备同时租用这三种客房共7间 若每个房间都住满 则租房方案共 有 种 A 4 B 3 C 2 D 1 2 学生问老师 您今年多大 老师幽默地说 我像你这样大时 你才3岁 你到我这么大时我已经39岁了 则今年老师和学生的年龄 各为多少 A 27 15 B 25 13 C 30 12 D 28 14 3 某种产品按质量分为10个档次 生产最低档次产品 每件获利8元 每提高一个档次 每件产品利润增加2元 用同样工时 最低档次产品 每天可生产60件 每提高一个档次将减少3件 如果获利最大的产品是 第k档次 最低档次为第一档次 档次依次随质量增加 那么k的值为 A 5 B 7 C 9 D 10 4 某市在道路改造过程中 需要铺设一条长为1000米的管道 决定由 甲 乙两个工程队来完成这一工程 已知甲工程队每天铺设70米 乙工 程队每天铺设50米 设分配给甲工程队的工程量为x米 如果要求完成 该项工程的工期 完成工程的工期为整数 不超过10天 求为两工程队 分配工程量的方案有几种 根据题意 所列不等式 组 正确的是 工程队分配工程量为100米的整数倍 A B C D 5 学校总务处计划为预定参加 教研活动 的出席者每人准备15个果 子 所以购买了19箱 每箱装20个 按照这样准备的果子数 分完后余 下几个 但如果每位出席者都多分1个 就不够了 后来比预定出席的 多来了6人 为保证每位出席者能分到15个果子 总务处又购进了4箱果 子 那么实际参加活动的有 人 A 31 B 24或25 C 30或31 D 30 6 在一条直线上依次有A B C三个港口 甲 乙两船分别从A B港口 同时出发 沿直线匀速驶向C港 最终到达C港 设甲 乙两船行驶 x h 后 与B港的距离分别为 已知 与x之间的函数关系如图所示 若两船的距离不超过10km时能够相互望 见 则甲 乙两船可以相互望见的x的取值范围是 A B C D 7 某企业为了适应市场经济的需要 决定进行人员结构调整 该企业现 有生产性行业人员100人 平均每人全年可创造产值a 元 现欲从中分流出x人去从事服务性行业 假设分流后 继续从事生 产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20 而分流从事服务性 行业的人员平均每人全年可创造产值3 5a元 如果要保证分流后 该厂 生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值 而服 务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业全年总产值的一半 则 分流后从事服务性行业的人数为 A 13或14 B 14或15 C 15或16 D 16或17 数学模型应用题 三 辨识模型 1 某商场计划购进冰箱 彩电进行销售 相关信息如下表 已知商场用80 000元购进冰箱的数量与用64 000元购进彩电的数量相 等 1 表中a的值为 A 1600 B 2000 C 2500 D 2400 2 上接第1题 2 为满足市场需求 商场决定用不超过9万元采购 冰箱 彩电共50台 且冰箱的数量不少于彩电数量的 则该商场有 种进货方案 A 2 B 3 C 4 D 5 3 上接第1 2题 3 在 2 的条件下 若该商场将购进的冰箱 彩电全部售出 获得的利润为W元 则W的最大值为 A 22300 B 22400 C 22500 D 25000 4 某商家经销一种绿茶 用于装修门面已投资3 000元 已知绿茶每千 克的成本为50元 在第一个月的试销时间内发现 月销售量w 千克 随销售单价x 元 千克 的变化而变化 具体变化规律如下表所示 1 根据上表分析 w与x之间的函数关系式为 A B C D 5 上接第4题 2 设该鸀茶的月销售利润为y 元 销售利润 售 价 销售量 成本 投资 则y与x之间的函数关系式为 当 x 时 y的值最大 最大值为 A 85 2450 B 85 3550 C 85 550 D 85 550 6 上接第4 5题 3 若在第一个月里 按使销售利润最大的销售 单价进行销售 在第二个月里受物价部门干预 销售单价不得高于90 元 千克 要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700 元 那么第二个月里应该确定销售单价为 元 A 85 B 75 C 75或95 D 95 数学模型应用题 四 辨识模型 1 某校九年级举行英语演讲比赛 派了两位老师去学校附近的超市购买 笔记本作为奖品 经了解得知 该超市的A B两种笔记本的单价分别是 12元和8元 他们准备购买两种笔记本共30本 1 如果他们计划用300元购买奖品 且钱恰好花完 那么可行的购买 方案是 A 购买A种 B种各15本 B 购买A种10本 B种20本 C 购买A种20本 B种10本 D 购买A种5本 B种25本 2 上接第1题 2 两位老师根据演讲比赛的设奖情况 决定所购买 的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的 但又不少于B种笔记本数量的 若设他们购买A种笔记本n本 购买这两种笔记本共花费W元 则W与n 之间的函数关系式为 写出自变量的取值范围 A B C D 3 上接第1 2题 3 在 2 的条件下 W的最小值为 A 270 B 272 C 288 D 560 4 某商店决定购进A B两种纪念品 已知购进A种纪念品10件 B种纪念 品5件 需要1 200元 购进A种纪念品4件 B种纪念品3件 需要640 元 1 购进A B两种纪念品每件分别需要多少元 A A种160元 B种40元 B A种80元 B种80元 C A种100元 B种40元 D A种40元 B种160元 5 上接第4题 2 若该商店决定舀出1万元全部用来购进这两种纪 念品 考虑到市场需求 要求购进A种纪念品的数量多于B种纪念品数量 的6倍 且不超过B种纪念品数量的8倍 则该商店共有 种进货方 案 A 4 B 5 C 15 D 16 6 上接第4 5题 3 若销售每件A种纪念品可获利润20元 每件B 种纪念品可获利润30元 则在 2 中的各种进货方案中 获利最大的 方案为 最大利润为 元 A 购进A种21件 B种166件 3950 B 购进A种166件 B种21件 3950 C 购进A种24件 B种154件 3800 D 购进A种154件 B种24件 3800 数学模型应用题 五 理解题意 1 某市王家河流域综合治理工程已正式启动 其中某项工程 若由甲 乙两建筑队合做 6个月可以完成 若由甲 乙两队独做 甲队比乙队 少用5个月的时间完成 1 甲 乙两队单独完成这项工程分别需要多长时间 A 10个月 15个月 B 2个月 7个月 C 15个月 20个月 D 5个月 10个月 2 上接第1题 已知甲队每月的施工费用为15万元 比乙队多6万元 按要求该工程的总费用不超过141万元 且工程必须在一年内竣工 包 含12个月 为了确保经费和工期 采取甲队做a个月 乙队做b个月 a b均为正整数 分工合作的方式施工 则完成这项工程的总费用最 少为 万元 A 141 B 140 C 139 D 138 3 某文具店准备购进甲 乙两种钢笔 若购进甲种钢笔100支 乙种钢 笔50支 需要1000元 若购进甲种钢笔50支 乙种钢笔30支 需要550 元 1 购进甲 乙两种钢笔每支分别需要多少元 A 8 4 B 4 8 C 5 10 D 10 5 4 上接第3题 若该文具店准备舀出1000元全部用来购进这两种钢 笔 考虑顾客需求 要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6 倍 且不超过乙种钢笔数量的8倍 那么该文具店共有 种进货方 案 A 4 B 5 C 6 D 7 5 上接第3 4题 若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元 销售 每支乙种钢笔可获利润3元 则在 2 的条