《通信工程》学习资料

通信工程通信工程 学习资料学习资料 2012 年年 2 月月 带通信号的数字传输 I 摘 要 远程数字传输通常需要用连续波调制来产生一个带通信号以适应不同的传 输介质 例如无线电波 电缆 电话线 用于个人电脑的因特网连接 或者其 它媒介 正如模拟信号有多种调制方式一样 数字信息也可以被多种方式添加 到载波上 本课程将把基带数字传输和连续波调制的概念应用到带通数字信号 传输的研究中去 课程首先研究二元和多元信号的连续波数字调制波形和频谱分析 然后重 点研究含噪条件下的二元信号解调 并从中得出相干 同步 检波和非相干 包络 检波的区别 最后 课程进一步研究多元正交载波系统和多元恒定包 络 FSK 系统 在综合考虑频谱效率 硬件复杂度和系统性能等因素 对比了有 噪声条件下各种调制方式 本课程具有内容详实 讲述由浅入深 简明透彻 概念清楚 重点较为突 出等特点 为了更好地掌握本课程 读者需要高等数学 信号与系统及随机信 号分析等相关课程的基础 讲解过程中涉及到的相关内容请查阅相关课程的参 考书 通过本课程的学习 能够使读者理解二元及多元数字调制信号的基带脉 冲波形及功率谱的数学表达式 熟悉相关发射机 接收机的原理框图 计算二 元和多元调制系统的错误概率 最终达到掌握数字调制技术的目的 II 目 录 III 摘 要 I 第 1 章 连续波数字调制 1 1 1 带通数字信号的频谱分析 2 1 2 幅度调制 3 1 3 相位调制 7 1 4 频率调制 9 1 5 最小键控 MSK 和高斯滤波最小键控 14 第 2 章 相干二元系统 20 2 1 最佳二元检测 20 2 2 相干 OOK BPSK 和 FSK 26 2 3 时间和同步 29 2 4 干扰 31 第 3 章 非相干二元系统 33 3 1 含带通噪声的正弦曲线包络 33 3 2 非相干 OOK 36 3 3 非相干 FSK 39 3 4 差分相干 PSK 41 第 4 章 正交载波与 M 元信号 46 4 1 正交载波信号 46 4 2 M 元 PSK 信号 49 4 3 M 元 QAM 信号 54 4 4 M 元 FSK 信号 58 4 5 数字调制系统的比较 60 结论 65 参考文献 66 1 第 1 章 连续波数字调制连续波数字调制 数字信号能够调制正弦载波的幅度 频率或相位 如果调制波形包含不归 零矩形脉冲信号 那么调制参数将被改变 或从一个离散值被键控到另一个 图 1 1 描述了二元幅移键控 ASK 频移键控 FSK 和相移键控 PSK 同时作为对比 图中画出了经过基带奈奎斯特 Nyquist 脉冲成形的双边带 DSB 调制信号波形 而其它调制技术则结合了幅度调制和相位调制 它们 有的使用了基带脉冲成形 有的则没有使用 本章将以数学模型和 或发射机简图的形式来定义数字调制的具体类型 同时 本节将考察几种调制方式的功率谱 并对特定的数字信号速率所需的传 输带宽进行估计 为此 首先介绍一种带通数字信号的频谱分析方法 图 1 1 二元调制波形 a ASK b FSK c PSK d 基带脉冲成形后的 DSB 2 1 1 带通数字信号的频谱分析带通数字信号的频谱分析 任何已调制的带通信号可以表示成如下正交载波的形式 1 1 cos sin ccicqc xtAx ttxtt 其中 载波频率 振幅和相位都是常量 调制信息包含在随时间变化的 c f c A 同向 分量和 正交 分量中 当 分量和分量均为统计独立信号且至iqiq 少其中的一个具有零均值时 的频谱分析就变得相对简单 那么由叠加 c xt 关系和调制关系可知 的功率谱为 c xt 2 4 c cicicqcqc A GfGffGffGffGff 其中 和分别为 分量和分量的功率谱 为了得到一个更加简洁 i Gf q Gfiq 的表达式 定义等效低通频谱 1 2 piq GfGfGf 从而有 1 3 2 4 c cpcpc A GfGffGff 因此 带通信号频谱可以由等效低通频谱通过简单的频谱转换得到 假设 分量是一个多元数字信号 即i 1 4a ik k x ta p tkD 其中 表示码率为的信源数字序列 假设信源码字都是等概 统计 k a1rD 独立和非相关的 因此 即可得到 3 1 4b 22 2 2 iaa n Gfr P fm rP nrfnr 当分量为另一个数字波形时 也可以得到相似的表达式 q 如果有基带滤波的话 公式 1 4a 中的冲击函数的波形由基带滤波决 p t 定 并且还要看具体的调制方式 键控调制包含非归零矩形脉冲 使用在 时刻开始的脉冲比使用中间时刻在的脉冲更加方便 因此令tkD tkD 1 5a 10 0 D tD ptu tu tD 其它 上式经傅里叶变换得到 1 5b 2 222 2 1 sinc sinc D f PfDf D rr 如果在公式 1 4a 中有成立 那么公式 1 4b 中的连续谱项 D p tpt 就正比于 既然是非带限的 由公式 1 2 和公式 1 3 可 2 D Pf 2 sincf r 知键控调制需要满足 这样才能产生一个带通信号 c fr 1 2 幅度调制幅度调制 如图 1 1a 所示的二元 ASK 波形可以简单地由控制载波的开与关而产生 这 个过程被描述为开关键控 OOK 一般地 一个元 ASK 波形有个离散M1M 开 状态或者个 关 状态 由于没有相位翻转或者其它变化 可以1M 令的分量为零且令 分量为单极性非归零信号 即 c xtqi 1 6a 0 1 1 ikDk k x ta ptkDaM 数字序列的均值和方差为 4 1 6b 2 222 11 212 akaka MM maam 因此 等效低通频谱为 1 7 2 2 2 11 sinc 12 4 pi MMf GfGff rr 上式可由公式 1 2 公式 1 4b 和公式 1 5b 得到 图 1 2 表示当时带通谱的情况 大部分信号功率包含在0f c Gf 的范围内 且频谱有一个正比于的二阶滚降偏离载频 这就 2 c fr 2 c ff 意味着传输带宽 如果一个元 ASK 信号表示为比特速率是 T Br M 的二元数据 那么就有或下式成立 2 log b rrM 2 log Tb BrM 1 8 2 log bps Hz bT rBM 比特速率和传输带宽的比值可以被认为是调制 速度 或者频谱效率的度量 当时 由于bps Hz 二元 OOK 具有最差的频谱效率 2M 1 bT rB 借鉴正交载波复用的原理 正交载波幅度调制 QAM 的调制速度是二元 ASK 的两倍 图 1 3a 描述了输入码率为的二元极性码的二元 QAM 发射机的功 b r 能模块 串并转换器将输入轮流分配给两路码率为的码流 因此 分 2 b rr i 量和分量调制信号可以表示为q 221 ikDqkD kk x taptkDxtaptkD 5 图1 2 ASK的功率谱 图1 3 二元QAM a 发射机 b 信号星座图 其中且 在任意区间内 调制波形的峰值1 2 b DrT 1 k a 1kDtkD 为 在图 1 3b 中将这些信息表示为二维信号星座图 四个信号点1 iq xx 被标记为信源比特的对应对 称为双比特 将已调载波相加最终得到具有公式 1 1 形式的 QAM 信号 分量和分量iq 相互独立 且具有相同的脉冲波形和统计值 即且 因此0 a m 2 1 a 1 9 2 2 42 2 sinc pD bb f Gfr Pf rr 这里利用了公式 1 4b 和公式 1 5b 并代入了 由于双比特的码率等 2 b rr 6 于输入比特速率的一半 传输带宽减少为 因此二元 QAM 能够达到 2 Tb Br bps Hz 2 bT rB 然而 ASK 和 QAM 的实际频谱超出了估计的传输带宽 当频谱溢出对其它 信号通道造成干扰时 溢出带宽的频谱在广播传输和频分复用系统中变成了 T B 一个重要的关注点 调制器带通滤波能够控制溢出 但是 由于过度滤波会在 已调信号中引入码间干扰 ISI 因此应该尽量避免过度滤波 无溢出的频谱效率可以通过如图 1 4a 所示的余迹边带 VSB 调制器实现 VSB 方式对极性输入信号应用奈奎斯特 Nyquist 脉冲成形 产生了一个带宽 为的带限调制信号 然后 VSB 滤波器在一个边带滤掉了除一个 2 N Br 带宽为的余迹边带以外的所有频带 所以看起来就类似于如图 1 4b V c Gf 所示的一个带宽为的带限频谱 因此 如果有 2 TNV Br 成立 那么就有 2 log b rrM 1 10 2 2 log bT rBM 当且时 上边带保持不变 N r V r 图1 4 数字VSB a 发射机 b 功率谱 7 1 3 相位调制相位调制 在图 1 1c 中 二元 PSK 的波形包含弧度的相移 二元 PSK 通常被描述 为二元相移键控 BPSK 或倒相键控 PRK 一个元 PSK 信号在时间区间M 内有的相位偏移 一般表示为 1kDtkD k 1 11 cos ccckD k xtAtptkD 通过余弦函数的三角函数展开公式得到期望的正交子载波形式 1 12a ikDqkD kk x tI ptkDxtQ ptkD 其中 1 12b cos sin kkkk IQ 对于一个给定的 为了保证最大可能的相位调制 令和的关系为M k k a 1 13 2 0 1 1 kkk aNMaM 此处是一个整数 通常为 0 或 1 N 图 1 5 所示为 PSK 信号星座图的一个例子 其中包含了采用格雷码的二元 码字 相邻信号点的二元码字仅差一个比特 在图 1 5a 中 且的4M 0N PSK 信号被定义为四元或四相 PSK QPSK 如果令 QPSK 中的 那么信号1N 点将等同于 QAM 如图 1 3b 所示 事实上 可以将二元 QAM 看作由两个采用 正交载波的 BPSK 信号组成 当然 由于一个理想的 PSK 波形总是有恒定的包 络 因此元 PSK 不同于元 ASK MM 8 图 1 5 PSK 信号星座图 a b 4M 8M 其实 PSK 的频谱分析可以变得非常容易 只需从公式 1 12b 和公式 1 13 中注意到下面的结果 22 0 1 2 0k kkkjk IQIQI Q 因此 分量和分量统计独立且iq 1 14 2 2 1 2 sinc 2 pD rf GfPf rr 对比公式 1 7 可以看出 在没有载频脉冲的情况下 具有和 ASK 相 c Gf 同的频谱形状 如图 1 2 所示 不含离散载波分量意味着 PSK 有更好的功率 利用率 但频谱效率与 ASK 相同 有些 PSK 发射机包括带通滤波器来控制频谱溢出 然而 带通滤波会产生 包络变化 该变化是由 FM AM 转换效应所引起 记住分步相移等价于调频脉冲 在微波载波频段上使用的典型非线性放大器将会使包络变化平坦 并恢复频 谱溢出 这将极大地削弱带通滤波器的作用 被称作交错或补偿键控 QPSK OQPSK 的一种 QPSK 的特殊形式已经被设计出用来解决这一问题 图 1 6 所示的 OQPSK 发射机延迟了正交信号 使得调制后的相位偏移每隔 9 秒发生 而又绝不超过弧度 最大相移减半将导致带通滤波输 2 b DT 2 出的信号包络变化更小 图 1 6 偏移四相相位键控发射机 当包络变化在允许范围之内时 联合幅相键控 APK 是一种有吸引力的 调制方式组合 实际上 APK 有着和 PSK 相同的频谱效率 但考虑到噪声和差 错的影响 APK 的性能会更好一些 进一步的讨论将在第 4 章中给出 1 4 频率调制频率调制 数字调频有两种基本方法 图 1 7a 从概念上表示了频移键控 FSK 其 中 数字信号控制着一个开关 用来从个振荡器中选择调制频率 在 x tM 每个转换时刻 调制信号是不连续的 除非每个振荡器的幅度 频率和tkD 相位都被仔细调整 不然由此产生的输出频谱将包含相对较大的旁瓣 这些旁 瓣不携带任何附加信息 因此浪费了带宽 图 1 7b 所示的连续相位 FSK CPFSK 调制能够避免不连续性 其中用调制单一振荡器产生的频率 x t 由于对这两种数字调频形式的频谱分析有很大困难 因此 本节只考虑某些特 定情况 首先考虑元 FSK 令图 1 7a 中所有振荡器具有相同的振幅和相位 M c A 10 并令它们的频率与的关系为 k a 1 15a 1 3 1 kcdkk fff aaM 这里假设是偶数 那么有M 1 15b cos cccdkD k xtAta t ptkD 其中 当时 参数等于离开载频的频偏 且相邻频率2 dd f 1 k a d f c f 间隔为 如果 为整数 那么就可以保证在处2 d f22 dD N N c xttkD 的连续性 图 1 7 数字调频 a FSK b 连续相位 FSK 下面分析一个被称为桑德 Sunde 1959 FSK 3 的二元 FSK 其定义如前 所述且 进而 则有2M 1 bb DTr 1N Db ptu tu tT 1 16 2 db fr 在对进行三角函数展开后 利用得到 c xt1 k a cos cos sin sin dkddkkd a tta tat 因此 分量化简为i 1 17a cos ib x tr t 11 上式独立于 分量的形式包含 k aq k a 1 17b sin 1 qkbbbb k k kbkk k xtar tu tkTu tkTT Q p tkTQa 其中 1 17c sin bb p tr tu tu tT 代入过程作为启发练习留给读者 这样 又一次得到了 分量和分量 作为一个正弦函数 分量在等效低iqi 通频谱中仅在处存在频率脉冲 因为而 分量的功 2 b r 0 k Q 22 1 kk Qa q 率谱不包含脉冲 因此 1 18a 21 422 bb pb rr Gfffr P f 其中 1 18b 2 2 2 2 222 2 21 sinc sinc 4 cos 4 2 1 bb bbb b b b frfr P f rrr fr r fr 得到的带通频谱如图 1 8 所示 注意 脉冲对应在键控频率处 并且频谱有四阶滚降 2 cdcb fffr 快速滚降意味着桑德 FSK 3 在当时有非常小的频谱溢出 因此取 cb ffr 尽管的主瓣比二元 ASK 或 PSK 频谱主瓣宽 50 Tb Br c Gf 12 图 1 8 当时的二元 FSK 功率谱2 db fr 另一个特殊情况是元正交 FSK 其中个键控频率有相等的频率间隔MM 如若不经频谱分析 可以猜测有21 22 d fDr 因此 2 2 2 2 log Tdb BMfMrMrM 1 19 2 2 log bT rBMM 并且 当时调制速度小于元 ASK 或 PSK 换句话说 正交 FSK 是一种4M M 宽带调制方式 CPFSK 是宽带还是窄带取决于频偏 令图 1 7b 中的从开始 因 x t0t 此 0 1 2 1 kDk k x ta ptkDaM 调频产生的 CPFSK 信号 0 cos 0 t cccd xtAtxdt 为了得出 CPFSK 和 FSK 的差异 考虑积分 13 00 0 tt kD k xdaPkDd 其中 除了当时外 其余情况 1kDkD 1 D pkD 0 D pkD 经分段积分得到 0 0 01 1 0 0 2 1 t k jk j xda ttD a Da tDDtD aDatkDkDtkD 现在可以用求和的形式表示 c xt 1 20a 0 cos ccckdkD k xtAtatkDptkD 其中且0t 1 20b 1 0 k kdj j Da 上式当时 0k 0 k 公式 1 20 表明 正如 FSK 一样 CPFSK 在区间内有 1kDtkD 的频偏 但 CPFSK 也有一个由前面数据而决定的相移 这个相移由调频 dk f a k 过程产生 并对所有 均连续 遗憾的是 已经产生的会极大地增加 CPFSKt k 频谱分析的复杂度 文献 4 给出了更多细节 并画出了当 取不2 4 8M d f 同值时的图形 下面考察二元 CPFSK 的一个重要特殊情况作为本节的结 c Gf 尾 即最小键控 MSK 14 1 5 最小键控 最小键控 MSK 和高斯滤波最小键控 和高斯滤波最小键控 最小键控也被称为快速 FSK 它是满足下述条件的二元 CPFSK 1 21 1 0 1 42 k b dkkj j r faa 注意到的频率间隔是桑德 FSK 3 的一半 这一事实以及连续相位2 2 db fr 的特性 就得到了一个不含脉冲且更紧凑的频谱 随后的分析将会证明 和 iq GfGf 1 22 2 2 22 4 41 sinc sinc 2 2 cos 2 16 4 1 bb p bbb b b b frfr Gf rrr fr r fr 图 1 9 所示带通频谱有很小超出主瓣宽度的溢出 快速滚降取 c Gf3 2 b r 因此有 2 Tb Br 2 bps Hz bT rB 上式的调制速度是桑德 FSK 3 的两倍 这就解释了为什么它被称为快速 FSK 图 1 9 MSK 的功率谱 15 下面 根据三角函数展开 将写成正交载波的形式 c xt 0 cos b ikkkTb k x ta cptkT 0 sin b qkkkTb k xta cptkT 其中 2 b b kbTb r ctkTptu tu tkT 本节也将利用图 1 10 中描述的和的网格关系 它清晰地揭示了 当 k k 为偶数时 以及当为奇数时 k0 2 k k 2 3 2 k 图 1 10 MSK 的相位网格 作为一个特殊的例子 令输入信息序列为 得到的相位路径如图 1 11a k 所示 令代表输入比特 1 代表代表输入比特 0 对应的 分量1 k a 1 k a i 和分量波形可以由上面表达式计算得到 如图 1 11b 所示 通过观察可以发q 16 现 两个波形每隔都有零点 且交错分布 此时 的零点对应于2 b T i x t 的峰值 反之亦然 这些观察结果将有助于进一步分析 q xt 考虑一个 分量相邻零点间的任意时间区间 例如i 11 bb kTtkT 其中为偶数 在区间内k 111 cos 1cos bb ikkkTbkkkTb x tacptkTa cptkT 将上式两项合并成一项 因为为偶数 经三角函数运算得到ksin0 k cos cos cos cos cos kkkkkkkk a ca cc 同样 利用 1111 cos 0 2 2 kkkkkk acc 得到 1111 11 2 1 cos sinsin cos cos cos cos kkkkkk kkkkk acac acc 因此 对于问题区间 cos cos 1 cos cos 2 bb ikkTbTb kbbbbbb x tcptkTptkT rtkTu tkTTu tkTT 对所有区间求和 最终得到0t 1 23 cos ikbkk k x tI p tkTI 为偶数 其中 17 1 24 cos 2 bbb p tr tu tTu tT 因为当为偶数时 这一结果也验证了图 1 11b 中的波形 kcos1 kk I 现在 对于分量 考虑区间 其中为奇数 经和q 11 bb kTtkT k 上文相似的推导得到 sin cos 1 bb qkkTbTb xtcptkTptkT 因此 对于所有有0t 1 25 sin qkbkk k xtQ p tkTQ 为奇数 上式同样与图 1 11b 吻合 公式 1 22 可以由公式 1 23 公式 1 25 得出 由于 分量和分量相互独立 有以及 iq0 kk IQ 22 1 kk IQ 图 1 11 MSK 示意图 a 相位路径 b 分量和分量的波形iq 18 MSK 的进一步变化就得到了高斯滤波 MSKMSK GMSKGMSK 它可以实现旁瓣更陡峭 的滚降 回忆一下本章前面部分 数据脉冲有着矩形形状 其频谱旁瓣 Tb pt 也相当大 为了减小这些旁瓣进而减小 需要对基带二元脉冲使用下面的 T B 高斯低通滤波器 LPF 函数进行预滤波 1 26 2 ln 2 f B H fe 正如 LPF 一样 对应 LPF 的半功率 例如 3dB 带宽 在公式 1 24 和B 公式 1 25 的推导中使用的函数 变为下面形式 b T pt 1 27 111111 2222 22ln2ln2 b Tbb bb PtQBTQBT TT GMSK 的一个重要设计参数是 文献 5 已经对于不同值给出了功率 b BT b BT 谱密度的特征 表表 1 1 1 1 包含给定百分比功率的GMSK占有的带宽 功率功率 b BT 9090999999 999 999 9999 99 0 200 790 991 22 0 250 861 091 37 0 51 041 332 08 MSK 0 52 0 57 0 69 0 781 202 766 00 19 第 2 章 相干二元系统相干二元系统 相干相干带通数字系统在接收机端使用关于载波频率和相位的信息来检测消息 例如同步模拟检测 非相干系统不需要和载波相位同步 但它们无法达到相干 检测所能达到的最优性能 本章考察相干二元传输 在加性高斯白噪声 AWGN 存在的条件下 首 先从最佳二元检测的一般处理入手 然后从所得结果来评估具体二元调制系统 的性能 本节始终关注键控调制 OOK PRK 和 FSK 这些键控调制不包含 基带滤波或可能在调制信号中产生 ISI 的传输失真 2 1 最佳二元检测最佳二元检测 任何键控调制后的带通二元信号可以被表示成一般正交载波形式 cossin cckibckqbc kk xtAI P tkTtQ ptkTt 对于实际的相干系统 载波应和数字调制同步 因此 令并添加如下0 条件 2 1 ccbc b fNTN r 其中 是整数 而且通常是较大的整数 因此 c N cos sin cckibcbkqbcb k xtAI P tkTtkTQ p tkTtkT 考虑一个单比特区间 2 2 1 cmbbb xtstkTkTtkT 其中 cossin mckickkc stAI p ttQ ptt 20 上式中 代表两信号波形和中的任意一个 和分别表 m st 0 st 1 s t 0 st 1 s t 示和的消息比特 0m 1m 现在考虑接收信号被高斯白噪声污染 一个最佳基带接收机能够在 c xt 与基带脉冲波形相匹配的滤波器的帮助下实现错误概率最小化 然而 二元连 续波调制包含如公式 2 2 所示的两种不同信号波形 而不是两个不同幅度的同 一种脉冲波形 因此 必须对和重新做先前的分析 0 st 1 s t 图 2 1 给出了本章所提到的接收机结构图 图中标出了考虑区间内对应的 信号和噪声 带通接收机与基带接收机十分相似 其不同之处是带通接收机使 用带通滤波器而不是低通滤波器 经过滤波的信号和噪声一起 在位于比 y t 特间隔末尾的时刻被采样 并与门限值进行对比 重新生成最可 1 kb tkT 能的消息比特 这里采用带通滤波器的冲击响应以及门限值进行最佳 m h tV 二元检测 从而获得最小平均重建错误概率 图 2 1 带通二元接收机 令和分别代表和 接收机根据观察随机变量的值来决定 1 H 0 H1m 0m 还是 1 H 0 H km Yy tzn 21 其中 2 3 1 0 k b b b mmkmb t t kT mbk kT T mb zztstkTh t skTh td sh Td 噪声采样值是零均值且方差为的随机变量 因此当给定或 k nn t 2 1 H 时 的条件概率密度是一条对称中心位于或的高斯型曲线 如图 2 2 0 HY 1 z 0 z 所示 对于通常情况下 0 和 1 概率均等的假设 最佳门限取在交叉点处 例如 opt10 1 2 Vzz 那么由概率密度函数的对称性得到 且 10 ee PP 10 2 e PQ zz 其中 绝对值符号包括了的情况 10 zz 10 zz 图 2 2 条件概率密度函数 然而 什么样带的通滤波器的冲击响应能够使最大化 或 h t 10 2zz 者 等效于使最大化 为解决这个问题 由公式 2 3 得到 2 2 10 4zz 2 4a 2 2 1010 b zzssh Td 22 其中 由于在区间外 因此无穷极限可以取到 同时也注意0 b tT 0 m st 到 2 4b 22 2 00 22 b NN h tdth Td 应用施瓦茨不等式 得到 2 5 2 2 10 10 2 0 1 42 zz s tstdt N 且当时比值最大 因此有 10b h TtK s tst 2 6 opt10bb htK s TtsTt 其中 为任意常数 K 公式 2 6 表明 最佳二元检测的滤波器应该与两种信号波形的差值相匹配 或者 可以用图 2 3a 中平行排列的两个冲击响应分别为和 11b h tKs Tt 的匹配滤波器 上面分支的输出减去下面分支的输出也会得 00b htKsTt 到同样的最佳冲击响应 不论哪种情况 为防止在后续的比特间隔上发生 ISI 任何滤波器中存储的能量必须在每个采样时刻后被释放 另一种选择 带有内置能量释放装置 是基于观察图 2 3a 上半支采样信 号值为 11 0 1 1 b b b T mkmb kT mbb kT ztsh Td stkTKs tkTdt 对于也是同样的 因此 最佳滤波器可以通过如图 2 3b 所示的系统图 0mk zt 23 来实现 其中 需要两个乘法器 两个积分器以及和的存储副本 0 st 1 s t 这种系统被称为相关检测器 因为它将接收到的含噪声信号与无噪信号波 形副本进行关联处理 注意 相关检测是匹配滤波器的积分 清除技术的推广 同样也需要注意的是 只有在采样时刻时 匹配滤波器和相关检测器才等效 k t 图 2 3 最佳二元检测 a 平行匹配滤波器 b 相关检测器 不考虑特殊的实现方式 最佳二元检测的差错概率依靠公式 2 5 中最大化 的比值 这一比值反过来要靠每比特的信号能量以及信号波形的相似程度 为 此 考虑下面的展开 2 101010 0 2 b T s tstdtEEE 其中 2 7 22 1100 00 bb TT EstdtEstdt 24 1010 0 b T Es t stdt 这里定义和分别为和的能量 正比于两个信号的相关 1 E 0 E 1 s t 0 st 10 E 系数 定义该相关系数为 2 8 10 0 10 1 b T s t stdt E E 因为 0 和 1 的出现概率相等 所以每比特的平均信号能量为 10 1 2 b EEE 进而得到 2 9a 2 10101010 max00 2 22 b zzEEEEE NN 且 2 9b 100 eb PQEEN 或者 如果信号能量相等 2 9c 0 1 eb PQEN 当和确定时 公式 2 9 说明了对于系统性能的重要性 以及系统性 b E 0 N 10 E 能如何依靠两信号的相关系数 最后 将公式 2 6 代入公式 2 3 得到和 1110 zK EE 0100 zK EE 因此有 2 10 opt1010 1 22 K VzzEE 25 注意的是 最佳门限的表达式中不包含 10 E 2 2 相干相干 OOK BPSK 和和 FSK 尽管 ASK 自身特点几乎不能保证复杂系统设计 但是简要的分析相干开 关键控将有助于阐明最佳检测的概念 OOK 信号波形是 2 11 10 cos 0 b cTc s tA ptts t 载波频率条件意味着 对于任意比特间隔 ccb fNT 1 cos bcc s tkTAt 同时肯定有 因此 相干检测接收机可简化为图 2 4 的形式 其 0 0 b stkT 中一个与载波同步的本地振荡器提供的存储副本 位同步信号启动采样 1 s t 保持单元并复位积分器 由于 假设的 和的谐波关系 两个同步信号可 c f b r 以来源于同一信号源 图 2 4 OOK 或 BPSK 的相干接收机 现在利用公式 2 7 和公式 2 11 得到且 010 0EE 22 22 1 0 4 cos1 sinc 22 b T cbccb cc b A TfA T EAt dt r 因此 令门限 并由公式 2 9 得到 2 1 2 4 bcb EEA T 10 2 b VK EEKE 26 最小平均差错概率 即 2 12 0 ebb PQENQ 显然 相干 OOK 的性能等同于单极性基带传输 更好的性能可以通过相干 BPSK 实现 令两键控相位分别为 0 弧度和 弧度 因此 2 13 101 cos b cTc s tA pttsts t 关系定义了双极性信号 类似于极性码基带传输 这样很 01 sts t 快就能得到 2 1010 2 bcbb EEEA TEE 因此且 10 2 bb EEE 2 14 0 2 2 ebb PQENQ 这样 在其它因素相同的情况下 BPSK 比 OOK 就会节约 3dB 信号能量 因为 一个相干 BPSK 接收机仅需一个匹配滤波器或相关器 01 sts t 这和 OOK 是一样的 但是 现在并且由于 因此若接收信号经0V 10 EE 过衰减后 BPSK 的门限无需重新调整 此外 BPSK 近似恒定的包络 使得 BPSK 相对较难受到非线性失真影响 因此 BPSK 的性能在几个方面是优于 OOK 的 而它们的频谱效率却是相同的 下面将要看到 BPSK 的性能同样优 27 于二元 FSK 考虑频移为的二元 FSK 及其信号波形 d f 2 15 1 0 cos 2 cos 2 b b cTcd cTcd s tA ptfft stA ptfft 其中 且 cdb ffr 2 2 bcb EA T 2 16 10 sinc 4 bdb EEfr 而上式与频移有关 如果 则相当于桑德 FSK 3 此时 且错 2 db fr 10 0E 误概率与 OOK 的相同 当存在相位不连续时可以进行一些改进 但无论 c xt 如何选择 始终有 因此 二元 FSK 不能显著地实现宽带 d f 10 1 22 bb EEE 降低噪声 并且 BPSK 至少有dB 的能量优势 另外 最佳 FSK 接 2 1 222 收机远比图 2 4 所示的复杂 对于的 MSK 情况 其差错概率与4 db fr BSPK 相同 也就是说 文献 5 依据经验判定 GMSK 的差错概 Q2 beb P 率为 0 2 beb PQEN 其中 2 17 0 68 0 25 0 85 MSK Tb Tb B T B T 对于 对于一般 注意 它们的一般 MSK 的经验结果不同于理论值 28 2 3 时间和同步时间和同步 最后 考虑与最佳相干检测有关的定时和同步问题 为此 考虑带通信号 波形及匹配滤波器 cos1 b cTccbc s tA pttf TN cos b bcTc h tKs TtKA ptt 将应用到其匹配滤波器上 得到的响应为 s t 2 18 cos b c b tT z ts th tKEt T 其中 图 2 5 所示的标出了预期的最大值 且通 2 2 cb EA T z t b z TKE 过在采样时刻后滤波器放电 时的响应将会被清除 注意到图中画出 b tT 包络的虚线就是相干接收机积分器的输出 在下一组练习 2 3 和 2 4 中 z t 将明确看到这一结果 图 2 5 也证实了这一结论 即匹配滤波器输出和相干器 输出仅在时刻相同 b tkT 图 2 5 带通匹配滤波器的响应 但是 假设存在一个小的定时误差以至于采样实际发生在时刻 1 kb tT 29 那么 cos2 kcbc z tKETN 因此 定时误差通过因子降低了有效信号幅度 因为将以cos 2 10 zz 衰减 而保持不变 差错概率变为 2 cos 2 2 19 2 10 0 cos b e EE PQ N 上式由公式 2 9 得到 举个例子 BPSK 的参数选取为 kbps 8 b 2 b r kHz 正确定时得出的差错概率为 而比特间隔100 c f 5 163 10 e PQ 误差仅为 0 3 将导致以及 2100 20 00354 这些数字说明了带通匹配滤波器不能作为相干检 2 2 16 cos 5410 e PQ 测实现方法的原因 由于积分器输出并不在载波频率振荡 图 2 4 所示的相干检测器对定时误 差有更小的敏感度 相干检测因此被应用在大多数的相干二元系统中 然而 本地振荡器必须与载波精确同步 否则相位同步误差将会通过因子再 cos 次衰减有效信号幅度 对于 BPSK 可以利用 Costas 锁相环系统 载波同步信 号可由得到 下一节将会讨论被称为相位比较检测的另一种方法 以及 c xt OOK 和 FSK 的非相干检测 30 2 4 干扰干扰 本节将讨论扩展到多址干扰 MAI 对带有相干检测的数字调制系统信号 的影响 MAI 可能由多径 邻信道干扰 不理想的多路复用等因素引起 并导 致检测器输入端在同一时间间隔内接收到两个或更多的 冲突信号 这种信 号间的冲突将污染期望获得的信号 并引发错误 对于信号共享相同频率和相 同时隙的无线系统来说 信号间冲突尤其突出 如同 SNR 定义 MAI 可以用 信干比 SIR 衡量 在图 2 3b 中 假设相干检测器的输入端有干扰和噪声 在区间 有一个二元信号 1 因此 相关器的上半分支输入为 1 bb kTkT 2 20 110 1 N bibjbb j i v tkTstkTstkTn tkT 其中 是第 个所需的二元信号 1 为个干扰信 1 ib stT i 0 1 N jb j i stT 1N 号的和 为噪声 由于要传输的是 0 或是 1 因此可以说 b n tkT 和互斥 因此 在这一分支不被接收 1 ib stkT 0ib stkT 0ib stkT 积分器输出为 2 21a 1 110 11 b b kT N mbibjbbib j i kT ztkTstkTstkTn tkTstkT dt 2 21b 1 1 1 2 10 111 1 T bbb bb k kTkT N ibjbibbib j i kTkTkT stkT dtstkT stkT dtn tkT stkT dt MAI 二元的消息能量 噪声 如果和对于所有互为正交 MAI将被最小化 然而 由 0 1jb stkT 1 ib stkT ji 于包括多径以及设计正交信号十分困难 即其它用户可能使用相似的波形 将导致MAI 的最小 31 化通常是不可能的 事实上 MAI 的影响经常超过随机噪声 同样 如果噪声和信 号互为正交 那么公式 2 21b 中的第三项将被最小化 最后 类似于 Aloha 和 CSMA 系统 干扰是客观存在的 而且也必须在系统设计时加以考虑 32 第 3 章 非相干二元系统非相干二元系统 如果信号足够强 以至于复杂度较低的接收机就能保证系统足够可靠 那 么最佳相干检测可能并非是必不可少的 这种情况最好的例子就是话音信道的 数字传输 它具有相对较大的用模拟性能标准来衡量的信噪比 实现相干检测 对于有些应用来说也许是非常困难的 或是非常昂贵的 例如 一些广播信道 的传播延迟变化太快而无法允许接收机对载波相位进行精确跟踪 因此 非同 步或非相关检测成为唯一可行方案 这里考察利用包络检测来避开相干检测中的同步问题 从而得到次优性能 的非相干 OOK 和 FSK 系统 这里还要考察含有相位比较检测的差分相干 PSK 系统 对于以上的三种情况 必须首先分析含有带通噪声的正弦曲线包络 3 1 含带通噪声的正弦曲线包络 考虑正弦波加上均值为零 方差为的高斯带通噪声 cos cc At 2 n t 使用正交载波形式 cos sin icqc n tn ttntt 求和可以写为 cos cos ccc Atn tA ttt 其中 在任一时刻 有t 3 1 2 2 arctan q ciq ci n AAnn An 33 和噪声分量是相对独立且与同分布的随机变量 现在求包络的概iq n tA 率密度函数 在开始分析前 先在极端条件下推测的性质 如果 那么减小A0 c A A 为瑞利分布的噪声包络 n A 3 2 22 2 2 0 n n A n Ann A pAeA 在另一极端 如果 那么在大部分时间内 将大于噪声分量 因 c A c A 此有 222 12 ciciqcci AAnAnnAAn 上式意味着为近似高斯分布 A 对于取任意值的情况 必须进行矩形 极化变换 和的联合概率密度 c AA 函数变为 3 3 22 22 2 cos exp 22 cc A AA AAA pA 公式 3 3 对于和成立 指数中的 使公式 3 3 无法被因式0A cosA 分解为的乘积形式 这意味着和并非统计独立 因此通过在 A pA p A 的区间对联合概率密度函数进行积分 就能得出概率密度函数的包络 因此 22 222 cos expexp 22 cc A AAA AA pAd 现在引入修正的第一类零阶贝塞尔函数 定义为 34 3 4a 0 1 exp cos 2 Ivvd 具有如下性质 0 Iv 3 4b 2 4 0 1 1 2 v v ev Iv e v v 然后得到 3 5 222 2 0 22 0 c AA c A A AA pAeIA 上式被称为莱斯分布 尽管公式 3 5 看上去非常复杂 但在大信号条件下可以很容易化简为 3 6 2 2 2 2 2 c A A Ac c A pAeA A 上式由公式 3 4b 中 取较大值时近似值得到 由于公式 3 6 主要由指数项决定 v 因此可以确定包络概率密度函数本质上是一条中心在 方差为的高斯 c AA 2 曲线 图 3 1 说明对比 当变大时包络概率密度函数由瑞利曲线变为高斯 c A 曲线 35 图 3 1 含带通噪声的正弦波包络的概率密度函数 3 2 非相干 OOK 非相干 OOK 一直被认为是一个简单系统 通常 载波和数据是不同步的 因此对于任意比特间隔 可以写为 1 bb kTtkT 3 7 cos 0 1 b cckTbck xtA a ptkTta 信号能量为 且 0 0E 22 1 sin 22sin 2 1 222 cb cbcb cb TA TA T E T 这里假设 由于此处继续假设 1 和 0 等概出现 每比特的平均信号能量 cb fr 为 2 1 2 4 bcb EEA T 图 3 2 所示的 OOK 接收机 由一个低通滤波器串联一个包络检波器和再 生器构成 带通滤波器是一个冲激响应为如下形式的匹配滤波器 3 8 cos b cTc h tKA ptt 上式不考虑载波相位 通过跟踪上文图 2 5 中的虚线 包络检波器可以消除 对相位的依赖 因此 当时 包络信号成分的峰值为 为1 k a y t 11 AKE 方便起见 令 因此 那么有 1 c KAE 1c AA 3 9 22 0 4 4 cbb AEN 其中 为包络检波器输入端的带通噪声方差 它根据第 2 章中的公式 2 4b 2 36 由计算得到 h t 图 3 2 非相干 OOK 接收机 现在考虑随机变量的条件概率密度函数 当时 仅得到噪 k Yy t 0 k a 声包络的采样值 因此 是瑞利函数 当时 得到正弦 0Y py H n A py1 k a 波加噪声信号的包络采样值 因此 是莱斯函数 图 3 3 给出 1Y py H A py 了在条件下的上述两条曲线 因此 莱斯分布的概率密度函数具有近似1 b 高斯波形 两条曲线的交点定义了最佳门限 被证明为 opt 2 1 1 22 cc b b AA V 图 3 3 非相干 OOK 的条件概率密度函数 遗憾的是 考虑到门限值 以及随之得到的当最小时的情况 就 e P 10 ee PP 37 无法得到前面的对称性 为实现合理性能 非相干 OOK 系统需要满足 且门限通常被设定1 b 为 得到的差错概率为 2 c A 3 10a 22 0 8 2 2 cb n c A eA A Ppydyee 3 10b 1 2 0 2 2 1 1 2 c A c eAb b b b A PpydyQQ e 上式引入了的渐进逼近值 并说明当时 最终 b Q 1 b 10 ee PP 3 11 01 2 11 22 2 1 2 1 b b eeeb b PPPeQ e 上式以为横轴 和其它二元系统的曲线一起画在图 3 4 中 b 38 图 3 4 二元差错概率曲线 a 相干 BPSK b DPSK c 相干 OOK 或 FSK d 非相 干 FSK e 非相干 OOK 3 3 非相干 FSK 尽管包络检测对于 FSK 似乎是一个不大可能的方法 然而回顾图 1 1b 中 所示的波形可以看出 二元 FSK 可以等价地认为是由两个交叉的幅度均为 但载波频率分别为和的 OOK 信号构成 因此 非相 c A 1cd fff 0cd fff 干检测可以利用如图 3 5 所示排列的那样一对带通滤波器和一对包络检波器来 实现 其中 3 12 1100 cos cos bb cTcT h tKA ptthtKA ptt 39 令 注意到 那么 cb KAE 2 10 2 bcb EEEA T 3 13 22 0 2 2 cbb AEN 其中 为任一滤波器输出端的噪声方差 2 图 3 5 二元 FSK 的非相干检测 和桑德 FSK 3 一样 这里也令频率间隔是的整数倍 这种状 10 2 d fff b r 态保证了带通滤波器组能有效地分离两个频率 并且在采样时刻 两个带通噪 声波形不相关 因此 当时 上半分支采样输出的信号成分为1 k a 1k y t 并且满足莱斯分布 而下半分支的为瑞利分布 而反之 11c AKEA 0k yt 当时 也是如此 0 k a 再生是基于两个包络之差 即 如果不采用条件概 1010kk YYy tyt 率密度函数 在不考虑的情况下 由接收机的对称性可以得出 门限应设定 c A 为 进而得出 且 因此有0V 1 101 0 e PP YYH 01 eee PPP 10 1 011 110101 0 e YY y PP YY H py Hpy Hdydy 其中 方括号内的积分表示为 对于一个给定的值事件的概率 代入 1 y 01 YY 40 概率密度函数和 得出内部积分为 0 010 n YA py Hpy 1 111YA py Hpy 222 1 2 2 11 01 22 0 c yA c e A yy PeIdy 相当令人惊奇的是 令且 这个积分能够得到如下的 1 2y 2 c A 闭合形式 2222 4 2 0 0 1 2 c A e peeId 现在 被积函数与公式 3 5 中的莱斯分布概率密度函数完全相同 其中 莱斯分布概率密度函数在积分域下的总面积等于 1 因此 最终结果简化为 3 14 22 4 2 11 22 cb A e Pee 上式应用了公式 3 13 公式 3 14 也适用于非相干 MSK 由图 3 4 中画出的非相干 FSK 和 OOK 的性能曲线对比情况可以看出 两 条曲线除值很小