01集合与简易逻辑(教案)

第一章 集合与数理逻辑用语 复习要点和要求 1 集合的概念 理解 2 集合的表示方法 掌握 3 常用数集的记号 了解 4 空集 子集 交集 并集 全集 补集的概念 理解 5 属于 包含 相等关系的意义与符号 理解 6 求简单的集合的子集 交集 并集与补集 掌握 7 命题 了解 8 逻辑联词 推出和充要条件 理解 复习重点 集合的表示方法 属于 包含 相等关系的意义与符号 求简单的集合的子集 交集 并集与补集 推出和充要条件 复习难点 集合运算的综合应用 充要条件 课时安排 内容 课时数 第1讲 集合 第2讲 集合的运算 第3讲 简易逻辑 第1讲 集合 一 基础知识复习 1 集合的概念 理解 1 集合的定义 通常把一组确定的对象的全体叫做集合 一般用大写拉丁字母A B C 表示 2 集合的特征 集合的元素必须是确定的 互不相同的 同时也不考虑元素之间的先后顺序 确定性 互异性 无序性 3 元素 集合里各个对象叫做这个集合的元素 一般用小写拉丁字母a b c 表示 6 空集 不含有任何元素的集合叫做空集 记作 重点 考查重点 元素与集合的关系 a A 表示a是集合A的元素 读作 a属于A aA 表示a不是 集合A的元素 读作 a不属于A 元素与集合的关系用符号 来体现 是考查的重点的内容 要特别强调这两个符号表示元素与集合间的关系 不能用来表示集合与集合的关系 2 集合的表示方法 掌握 列举法 把元素一个一个地列举在大括号内 元素间用逗号分开 大体可以分三种情况 第一 元素个数少且有限时 全部列举 如 1 2 3 第二 元素个数多且有限时 可以列举部分 中间用省略号表示 列举几个元素 取决于能否普遍看出其规律 称中间省略列举 如 所有从1到10000的自然数全体 可以表示为 1 2 3 10000 第三 是当元素个数无限但有规律时 也可以用类似的省略号列举 如 自然数构成的集合 可以表示为 0 1 2 3 4 称末端省略列举 描述法 它又可细分为文字描述及属性描述法两类 文字描述法 是在大括号内用文字写出集合的属性 由于括号本身含有了 所有 全部 的意义 故类似的量词要去掉 如 全体自然数构成的集合写成 自然数 而不写成 全体自然数 直角三角形 特征描述法 把集合中的元素的共同特性描述出来并写在大括号内 这是集合中最广泛 最抽象的一种表示方法 其格式一般为 元素的一般形式 元素的特征 如 x x2 3x 4 0 x y y x2 x R 抛物线y x2上的点 而 y y x2 x R 表示函y x2的y的取值范围 方程x2 1 0的解集为 x x2 1 0 1 1 不是 x2 1 0 它仅仅是用列举法表示的一个集合 这个集合中只有一个元素 就是方程x2 1 0 不是它解的集合 图示法 一是一维数轴表示 如初中阶段所学的不等式解集表示方法 其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应 二是直角坐标表示 如 x y y x2 三是Venn图 即画个圆圈表示集合 有的书上称文氏兔 文斯图 这是解题时常用的一种方法 3 常用数集的记号 了解 实数集R 正实数集R 非负实数集R 负实数集 非零实数集R 有理数集 整数集Z 自然数集N 要注 几种符号与数集组合后表示的范围 4 集合的分类 1 有限集 含有有限个元素的集合叫做有限集 了解 2 无限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 了解 3 单元素集 只含有一个元素的集合叫做单元素集 了解 二 典型例题 例1 下列对象可构成一个集合的是 D A 某班的高个子同学 B 年轻人 C 其倒数很大的数 D 绝对值等于它本身的实数 分析 本题考查集合中的元素具有确定性 如漂亮 肥胖的人 等不具有确定性的一些对象不能构成集合 例2 下列关系中正确的是 A A 0 B 0 C 0 D 0 分析 本题考查空集的概念 元素与集合的关系 符号 的运用 注意0在这里的意意义是一个对象 表示一个元素 例3 数集 0 与空集的关系是 A 0 B 0 C 0 D 0 分析 0 0 的关系是高考中常见题型 例4 在平面直角坐标系中 坐标轴上的点集可表示为 D A x 0 y 0 B 0 0 C x y x y 0 D x y xy 0 例5 已知集合A a 2 2a2 5a 10 且 3 A 求a 解 a 2 3或2a2 5a 3 故a 1或a 3 2 当a 1时 2a2 5a 3 a 2 3与集合的互异性矛盾 舍去 当a 3 2时 经检验满足条件 综上所述 a 3 2 说明 由于解题过程中用到了不等价变形 所以要进行检验 例6 已知集合 1 a b a a2 ab 求实数a b 解 由已知有 或 a 1 a 1 b 0 练习 m m d m 2d m mq mq2 求q 答案 q 1 2 例7 已知集合A x a2 1 x2 a 1 x 1 0 x R 中仅有一个元素 求实数a的值 解 本题应分两种情况进行讨论 当a2 1 0时 a 1或a 1 当a 1时 A x 2x 1 0 1 2 满足条件 当a 1时 A x 1 0 不合题意 舍去 当a2 1 0时 a 1且a 1 0 解得a 5 3 综合 1 2 a 5 3或a 1 三 练习题 1 下列各组对象能确定一个集合吗 1 所有很大的实数 2 好心的人 3 1 2 2 3 4 5 2 由实数x x x 所组成的集合 最多含 A 2个元素 B 3个元素 C 4个元素 D 5个元素 3 下列数学关系中 正确的是 A 0 B 0 C 0 D 0 4 在下列各式中 正确的是 A 0 B 0 C 2 x x 10 D x x 10 5 设M x x 4 x R a 那么正确的关系是 A aM B aM C a M D a M 6 设集合M x x 2 a 则有 A a B a C a D a 7 若M x x m 下列关系正确的是 A A mM B mM C m M D m M 8 用列举法表示集合 x x2 4 x Z 为 9 用描述法表示集合 1 10 100 100000 为 四 小结 本节应重点掌握好 集合的特征 确定性 互异性 无序性 空集 元素与集合的关系 元素与集合的关系只能用符号 来体现 第2讲 集合的运算 一 基础知识复习 1 空集 子集 真子集 交集 并集 全集 补集的概念 理解 2 属于 包含 相等关系的意义与符号 理解 1 空集 不含有任何元素的集合叫做空集 记作 重点 2 子集 对于两个集合A与B 如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素 那么集合B叫做集合A的子集 记作B A或A B 读作B包含于A或A包含B 由子集的定义知 AA A 如果A B B C 那么A C 3 真子集 如果集合B是集合A的子集 并且A中至少有一个元素不属于B 那么集合B叫做集合A的真子集 图1 1 记作BA或AB 常见的几种数集之间的关系 集合相等 对于两个集合A与B 如果A B 同时B A 那么就说集合A与集合B相等 记作A B 图1 1 图1 2 4 交集 由集合A与集合B的所有公共元素所组成的集合 叫做A与B的交集 图1 2 记作A B 可以理解为两个集合间的 且运算 由交集的定义知 A A A A A B B A A B C A B C 5 并集 由集合A与集合B的所有元素合并在一起所组成的集合 叫做A与B的并集 图1 3 记作A B 可以理解为两个集合间的 或运算 由并集的定义知 A A A A A A B B A A B C A B C 图1 3 6 补集与全集 全集 在研究集合与集合之间关系时 这些集合常常都是某一个给定集合的子集 这个给定集合叫做全集 常用符号U或I表示 补集 已知全集U 集合A U 由U中所有不属于A的元素组成的集合 叫做集合A在集合U中的补集 图1 4 记作或 由补集的定义知 A U A 3 求简单的集合的子集 真子集 交集 并集与补集的运算 掌握 二 典型例题 例1 数集 0 与空集的关系是 A 0 B 0 C 0 D 0 分析 0 0 的关系是考题中的经典题型 特别要注意判断清楚所解题目是元素与集合 还是集合与集合的关系 例2 设集合M x x 2 a 则有 A a B a C a D a 注意 这类题要特别注意在表示元素与集合间的关系时 各个符号的含义和适用对象 这类题往往会附带考查其它一些知识点 如实数大小的比较 分母有理化 解方程等 例3 若M x x m 下列关系正确的是 A mM B mM C m M D m M 分析 本题首先考查分母有理化 m 具有一定的综合性 在解题时要注意处理 转化好条件 进一步判断元素与集合 集合与集合间的关系 例4 设集合A x Z x是3的倍数 B x Z x是6的倍数 则下列关系中正确的是 2000年四川省对口高考题 A AB B A B C A B D A B 分析 本题考查了整数中3的倍数与6的倍数的关系 可以列举特殊值进行判断 例5 已知集合A x Z 3x x 0 那么 2002年四川省对口高考题 A A 0 B A C A 0 D A 0 分析 本题考查了解简单的方程3x x 0 也可以用验证法 特别容易忽略条件x Z 例6 设集合A x 2 1 B x x a x2 1 0 当a为何值时 AB 分析 集合A B都是用 陈述法 表示的方程的解集 为了比较A和B的关系 先考虑将A和B分别化简 解 对集合A 由已知条件有x2 3x 2 0 解得x 1或x 2 对集合B 由已知条件有x a 0或x2 1 0 解得x 1或x 1或x a 故集合A 1 2 B 1 1 a 欲得AB 必须且只需a 2 注意 已知A是B的子集 求 母集 B中常数a应满足的条件 逆向运用子集的定义 常采用 比较法分析法 例7 设U 0 1 2 3 9 A 2 4 B 4 5 6 7 C 0 8 9 D l 2 3 则 A B 2 4 5 6 7 A B C D U A B 4 A C CuA 0 l 3 5 6 7 8 9 CuB 0 l 2 3 8 9 分析 本类题 首先掌握好求交 并 补集的基本含义和方法 再进行变式训练 注意集合运算的结果要用集合的形式来表示 例8 设A x 0 x 2 B x x2 x 12 0 则A B 三 练习题 1 若U 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0 1 3 5 7 B 3 4 5 7 则A B A B Cu A B CuA B 2 设M x 2 x 5 N x 1 x 3 则M N等于 A x 1 x 5 B x 1 x 2或3 x 5 C x x 3或x 5 D x x 2或x 5 分析 在集合运算中 所给集合的形式是多种多样的 要根据出现的形式选择恰当的处理方法 准确快速地求解结果 这类题宜采用图象法 在数轴上表示出各自的范围即可求解 另外要小心处理分界点 3 已知元素 1 2 A B A x y ax2 y2 b 0 B x y x2 ay b 0 则a b 4 设A x y y B x y x 4 则A B A 4 3 4 3 B 4 3 C 3 4 3 4 D 3 4 5 设集合A x 2 1 B x x a x2 1 0 当a为何值时 A B 1 分析 A是不等式的解集 B是方程的解集 已知A和B的交集 求B中参数满足的条件 先考虑将A和B分别化简 解 易得A x 1 x 2 B 1 1 a 欲使A B 1 必须有a 即a 2或 1 a 1 或a 1 6 设集合A x 2 1 B x x a 0 当a为何值时 A B A 解 易得A x x 1或x 2 B x x a a R 欲使A B A 则有BA 则必须有a 1 2 注意 本题中的集合B 容易误解为在R上去掉一个单元素a 即B a a 实际上a是个变数 当a 1 2 时 B 1 2 A 7 设集合M x x 3 N x x 则N M M 8 设集合A 3 0 3 B 0 则 A B为空集 B B A C BA D AB 9 若a 1 集合A x x 则下列关系中正确的是 A aA B a A C a A D a A 10 下列关系正确的是 A 1 0 1 0 B 0 C 0 D x 1 x 5 x Z 11 设A x y x y y 1 2 0 B x x Z 则A与B的关系是 A AB B BA C A B D 非以上关系 12 集合 a 的子集有 集合 1 2 的非空真子集为 13 若方程x2 px 15 0的解集与x2 5x 9 0的解集的交集为 3 则p q 14 若M x y 4 x y 6 N x y 3 x 2y 1 则M N A 1 2 B 6 18 C 2 1 D 1 2 15 设集合I 2 4 a2 a 1 A 2 a 1 B 4 7 若A B I 则a 16 已知 x x 1 N x x P 若M N 则实数P的取值范围 17 A 等腰三角形 B 直角三角形 则A B 18 已知集合A x x 0 B x x 0 则A B是 A x x 0 B x x 0 C 0 D 19 设集合A x Z 0 x 4 B 2 3 4 5 6 则A B 2002年 分析 不要遗漏条件x Z 注意不等号类型的变化可以产生很多题型 仔细处理好分界点 20 若A x y 3 2y 1 B x y 5 x 2y 7 则A B 21 设集合A x Z 0 x 4 B 2 3 4 5 6 则A B 22 已知I R A x 2 x 10 则CUA 23 若全集U R A x x 3 则CUA 24 已知全集U N 集合A x N x 10 B x N x 3 则CU A B 25 如果全集U x Z x 0 则CUN 26 设全集 1 2 3 4 5 A 1 3 5 B 3 5 则 A A B B A B C A B D A B 四 小结 重点掌握好交并补运算 注意条件出现的不同形式 第3讲 简易逻辑 一 基础知识复习 1 命题 了解 命题 能够判断真假的句子叫做命题 常有小写字母p q r等表示 正确的命题叫真命题 错误的命题叫假命题 命题真值 若P是真命题 则命题真值为1 记为P 1 若P是假命题 则命题真值为0 记为P 0 2 逻辑联结词 推出和充要条件 理解 1 逻辑联结词 且 设p q是两个命题 则 p且q 构成一个新命题 记作 p q 读作p且q 其真值表如 表1 1 或 设p q是两个命题 则 p或q 构成一个新命题 记作 p q 读作p或q 其真值表如 表1 2 非 否定 设p是一个命题 则命题p的非 否定 构成一个新命题 记作 p 读作非p 或p的否定 其真值表如 表1 3 表1 1 表1 2 表1 3 表1 4 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 真 假 假 真 真 真 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 p q p q p q p q p 使得q p 都有q p 都有q p 使得q 2 推出 如果 则 那么 设p q是两个命题 用 如果 则 那么 联结这两个命题可得一个新命题 如果p则q 记作 pq 其真值表如 表1 4 3 充分条件与必要条件 如果p则q 是真命题 即p可推出q 称p是q的充分条件 或q是p的必要条件 即pq 真 p是q的充分条件 或q是p的必要条件 4 充要条件 若pq 真 且qp 真 则说p是q的充分且必要条件 简称 充要条件 记作 pq p是q的充要条件 又常说q当且仅当p 或p与q等价 二 典型例题分析 例1 下列句子或式子是命题的是 A 1 2 3吗 B 请您讲文明礼貌 C x2 1 0 D 20被6整除 例2 下列命题是真命题的是 A 3 2且 1 0 B 若A B 则A C 方程 x 1 2 y 1 2 0的解是x 1或y 1 D 一个实数x 使x2 1 例3 1 命题p 李明是三好学生 命题q 李明不是优秀班干部 则命题p q为 2 命题 明天刮风或者下雨 的非是 A 明天不刮风或者明天不下雨 B 明天不刮风且不下雨 C 明天刮风且不下雨 D 明天不刮风且下雨 分析 注意这类题目表达形式的变化 例4 1 若命题P 一个实数x 使得2x2 2x 1 0 则P 2 命题P 对实数x 都有x2 3x 2 0 则P是 A 一个实数x 使得x2 3x 2 0 B 不存在 一个实数x 使得x2 3x 2 0 C 一个实数x 使得x2 3x 20 0 D 不存在 一个实数x 使得 x2 3x 20 0 例5 1 x2 y2 是 x y 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不是充分又不是必要条件 2 在三角形ABC中 A B是sinA sinB的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 分析