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微积分基本定理 温故知新 1 定积分的定义2 定积分的几何意义3 常见函数的导数 上一节课我们学习了对于一些简单的定积分计算方法 利用几何直观 一般定积分计算中 如果每次均要进行 分割 以直代曲 作和 逼近 的操作 显然是不现实的 本节课介绍一种求定积分的一般方法 微积分基本定理 对于一般的函数 如 该如何求 学生实习作业展示 一 学生根据实习作业内容 介绍微积分创立的有关历史事件及人物 同学 1670年 英国数学家伊萨克 巴罗在他的著作 几何学讲义 中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题 这实际是牛顿 莱布尼茨公式的几何表述 同学 1666年10月 牛顿在它的第一篇微积分论文 流数简论 中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题 并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积 首次提出了微积分基本定理 同学 德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和 1677年 莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理 二 学生讨论发言 微积分基本定理能够解决什么问题 同学 牛顿 莱布尼茨公式的发现 使人们找到了解决曲线的长度 曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法 它简化了定积分的计算 只要知道被积函数的原函数 总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值 同学 牛顿 莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁 它是微积分中最基本的公式之一 它证明了微分与积分是可逆运算 同时在理论上标志着微积分完整体系的形成 从此微积分成为一门真正的学科 同学 牛顿 莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用 计算运动物体的路程 计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力 同学 牛顿 莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展 微积分基本定理 对于被积函数f x 如果f x f x 则 微积分基本定理可写成 举例验证 火箭发射ts的速度v t s t 为火箭的运动方程则表示火箭10s内运动的距离 另一方面 s t v t 由微积分基本定理可得 由此可以看出两者是一致的 一方面 由运动方程可得 定理的简单应用 例 求在上阴影部分的面积 解 取f x cosx 则f x sinx 从而 计算下列定积分 例题讲解 1 解 取f x x2 4x 则f x 2x 4 从而 练习 思考 用微积分基本定理求函数定积分的关键是什么 求定积分和求导函数的关系是什么 3 若f x 2x 4 则f x 是否唯一 求积分
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