人教A版选修21 2.2.1 椭圆及其标准方程 课件（35张）.pptx

2 2 1椭圆及其标准方程 一 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点f1 f2 3 用铅笔尖 m 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 f1 f2 m 观察作图过程 1 绳长应当大于f1 f2之间的距离 2 由于绳长固定 所以m到两个定点的距离和为定值 在这一过程中 你能说出移动笔尖 动点 满足的几何条件吗 椭圆的定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于的点的轨迹叫椭圆 f1 f2 m 这两个定点f1 f2叫做 两焦点之间的距离叫做 1 椭圆的定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫椭圆 f1 f2 m 这两个定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 满足几个条件的动点的轨迹是椭圆 1 平面内 这是前提 2 动点m到两个定点f1 f2的距离之和是常数2a 3 常数2a要大于焦距2c f1 f2 m 动点m的轨迹是线段f1f2 动点m没有轨迹 下面我们根据椭圆的几何特征 选择适当的坐标系 建立椭圆方程 并通过方程研究椭圆的性质 取过焦点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 设m x y 是椭圆上任一点 椭圆的焦距为2c c 0 m与f1 f2的距离的和等于常数2a 则f1 c 0 f2 c 0 由定义知 将方程移项后平方得 两边再平方得 由椭圆定义知 方程形式能否更简单 由上述过程可知 椭圆上任一点的坐标都满足方程 以方程 的 即以方程 的解为坐标的点都在椭圆上 由曲线与方程的关系可知 方程 是椭圆的方程 解 x y 为坐标的点到椭圆两焦点f1 c 0 f2 c 0 的距离之和为2a 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 思考 观察图 你能从中找出表示 的线段吗 由图可知 如果椭圆的焦点在y轴上 用类似的方法 可得出它的方程为 它也是椭圆的标准方程 2 椭圆的标准方程 f1 f2 m 0 x y a1 a2 b1 b2 方程的形式可以统一表示为 注意 求椭圆的标准方程 要先定 位 即确定焦点的位置 其次是定 量 即求a b的大小 a b c满足的关系有 注意 1 在两个方程中 总有 2 有关系式 3 在的分母下 焦点在x轴上 在的分母下 焦点在y轴上 或 解 1 由已知可设椭圆的标准方程为 故所求椭圆的标准方程为 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 2 由已知可设椭圆的标准方程为 解 由椭圆的定义知 故所求椭圆的标准方程为 还有其他方法吗 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 方法2 可设所求椭圆方程为 椭圆经过点 即 即 故所求椭圆的标准方程为 说明 1 求椭圆标准方程需要两个独立条件 2 求椭圆标准方程的主要方法有 定义法 用定义寻找a b c的方程 待定系数法 设方程 代入计算出待定字母的值 待定系数法更为常用 是解此类问题的通解通法 或 课堂练习 教材42页 1 如果椭圆上一点p到焦点f1的距离等于6 那么点p到另一个焦点f2的距离是 由椭圆定义 解 pf1 pf2 20 pf2 20 6 14 pf1 6 2 焦点在y轴上 1 焦点在x轴上 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 解 1 由题意 故 af1b的周长为 解 1 由题意 故 af1b的周长为 2 如果ab不垂直于x轴 af1b的周长不会有变化 仍然成立 说明 由本题可知 af1b的周长为4a af1f2 bf1f2的周长等于2a 2c 说明 1 所谓椭圆标准方程 一定指的是焦点在坐标轴上 且两焦点的中点为坐标原点 2 两个标准方程中 都有 3 a b c满足的关系 4 椭圆方程的鉴别 形如的式子要表示椭圆 当且仅当 5 椭圆焦点位置的判断 标准方程中 谁x2 y2的分母大 则焦点在其对应的坐标轴上 课堂练习 分析 课堂练习 解 解 又 由已知 解得 巩固1如图 在圆x2 y2 4上任意一点p 过点p作x轴的垂线段pd d为垂足 当点p在圆上运动时 线段pd中点m的轨迹是什么 为什么 解 设m x y p x0 y0 则 p x0 y0 在圆x2 y2 4上 x02 y02 4 得x2 4y2 4 点m的轨迹是一个椭圆 d 解2 p在圆x2 y2 4上 可设 消去参数 得 点m的轨迹是一个椭圆 设m x y 则 由题意有 巩固1如图 在圆x2 y2 4上任意一点p 过点p作x轴的垂线段pd d为垂足 当点p在圆上运动时 线段pd中点m的轨迹是什么 为什么 d 巩固2 如图点a 5 0 b 5 0 直线am bm相交于点m 且它们的斜率之积是 求点m的轨迹方程 解 设m x y 则 即 化简 即 为所求点m的轨迹方程 巩固3 点a 1 0 b 1 0 直线am bm相交于点m 且直线am的斜率与直线bm的斜率的商是2 点m的轨迹是什么 为什么 解 设m x y 则 即 得 故点m的轨迹是直线x 3 并去掉点 3 0 解 故动圆圆心的轨迹方程为 巩固4 求与圆 x 3 2 y2 4外切 且与圆 x 3 2 y2 100内切的动圆圆心的轨迹方程 设动圆的圆心为m x y 半径为r 它与已知圆o1 o2切于q p两点 则 2 两种标准方程的比较 3 在求椭圆方程时 要弄清焦点在哪个轴上 是x轴还是y轴 或者两个轴都有可能 小结 1 椭圆的定义 说明