山东日照高三数学联考试卷文

山东省日照市2019届高三数学1月联考试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.己知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：z=36i2+i=36i2i2+i2i=115i5=153i，据此可知，复数z的虚部为3.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3.右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位：kg）.记甲组数据的众数与中位数分别为x1,y1，乙组灵气的众数与中位数分别为x2,y2，则（ ）A. x1x2,y1y2B. x1x2,y1y2C. x1y2D. x1x2,y1y2【答案】D【解析】甲组数据的众数为x164，乙组数据的众数为x266，则x1x2；甲组数据的中位数为y164+66265，乙组数据的中位数为y266+67266.5，则y10时，y=12x，此时函数单调递减，故A错误；B选项：函数定义域为0,+，故函数为非奇非偶函数，故B错误；C选项：x2+2x=x2+2x，函数为偶函数；当x0时，y=x2+2x，此时x2和2x均为增函数，所以整体为增函数，故C正确；D选项：y=2x=12x，为非奇非偶函数，且在0,+上单调递减，故D错误.本题正确选项：C【点睛】本题考查简单函数的奇偶性和单调性的判定，属于基础题.6.已知双曲线x2a2y2b2=1a0,b0的两条渐近线均与圆C:x2+y26x+5=0相切，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. y=55xB. y=255xC. y=52xD. y=53x【答案】B【解析】【分析】根据渐近线与圆相切，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出ba，从而得到渐近线方程.【详解】C:x2+y26x+5=0可化为C:x32+y2=4设双曲线的一条渐近线方程为bxay=0且双曲线bxay=0的渐近线与圆C:x32+y2=4相切所以圆心3,0到渐近线距离为23ba2+b2=2 ba=255所以双曲线的渐近线方程为y=255x本题正确选项：B【点睛】本题考查直线与圆相切位置关系问题以及双曲线简单几何性质，属于基础题.7.一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 33C. 3D. 3【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，利用体积公式直接求解即可.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知：主视图是边长为2的正三角形PAC，平面PAC平面ABC高是3，其中DA=DB=DC=1，PD平面ABCABC为直角三角形，AB=BC=2SABC=12ABBC=1所以V=13SABCPD=33本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图还原几何体、锥体体积的求解，关键在于能够准确还原几何体，属于基础题.8.已知下列四个命题：“若x2x=0，则x=0或x=1”的逆否命题为“若x0且x1，则x2x0”；“x0”的充分不必要条件；命题p:x0R，使得x02+x0+10且a1)恒过定点Am,n,则m+n=_【答案】4【解析】【分析】求解出A点的坐标，从而得到结果.【详解】当x=1时，y=3可知函数恒过A1,3则：m+n=4本题正确结果：4【点睛】本题考查函数定点问题，关键是通过x的取值消除a的影响，属于基础题.15.设x0,y0,x+y=4,则1x+4y的最小值为_【答案】94【解析】【分析】由题意可知1x+4y=141x+4yx+y=145+yx+4xy，利用基本不等式求得最小值.【详解】x+y=4 1x+4y=141x+4yx+y=145+yx+4xy又x0，y0，则yx+4xy2yx4xy=4（当且仅当yx=4xy时取等号）则1x+4y145+4=94本题正确结果：94【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.16.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列an满足：a1=1，a2=1，an=an1+an2(n3,nN*)，记其前n项和为Sn，设a2018=t（为常数），则S2016+S2015S2014S2013=_（用表示）【答案】【解析】由题意可得S2016+S2015S2014S2013=a2016+a2015+a2015+a2014=a2017+a2016=a2018=t。答案：三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=18,a2a3=32.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn的通项公式bn=1log2anlog2an+1，求数列bn的前n项和Sn.【答案】（1）an=2n；（2）nn+1.【解析】【分析】（1）根据a1a4=a2a3=32和a1+a4=18求得a1和a4，利用通项公式得到q，从而可求解出通项公式；（2）由（1）得到bn，然后利用裂项相消法求出Sn.【详解】（1）由题意知a1a4=a2a3=32，又a1+a4=18解得：a1=2a4=16或a1=16a4=2（舍去）设等比数列的公比为q，由a4=a1q3=2q3=16，可得q=2故an=a1qn1=2nnN*（2）由题意知：bn=1log2anlog2an+1=1log22nlog22n+1=1nn+1=1n1n+1Sn=b1+b2+.+bn=112+1213+.+1n1n+1=11n+1=nn+1【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、裂项相消法对数列求和，属于常规题.18.如图，在平面四边形ABCD中，CD=1,BD=7,AB=4,ABC=120，DCB=120(1)求sinDBC；(2)求AD【答案】(1)2114；(2)33.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求解出结果；（2）利用两角和差公式求出cosABD，再利用余弦定理求解出结果.【详解】（1）在BDC中，CD=1，BD=7，DCB=120由正弦定理得DCsinDBC=BDsin120所以sinDBC=DCBDsin120=1732=2114（2）在BDC中，由已知可知DBC是锐角，又sinDBC=2114所以cosDBC=121142=5714所以cosABD=cosABCDBC=cos120cosDBC+sin120sinDBC=125714+322114=714在ABD中，由余弦定理可知：AD2=AB2+BD22ABBDcosABD=16+7247714=27所以AD=33【点睛】本题考查两角和差公式的应用、正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.19.如图1，在直角ABC中，ABC=90,AC=43,AB=23,D,E分别为AC,BD的中点，连结AE，将ABC沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.（1）求证：AECD；（2）求三棱锥ABCD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质得到AE平面BCD，然后可得结论；（2）利用已知条件的数据求得BCD面积和高AE，从而求得体积.【详解】（1）证明：由条件可知AB=AD，而E为BD的中点 AEBD又面ABD面BCD，面ABD面BCD=BD，且AE面ABDAE平面BCD，又因为CD平面BCDAECD（2）由题给数据知BC=6，ABD为等边三角形，而E为BD中点因此RtABE中，AE=ABsin60=3又底面BCD中BD=CD=23 SBCD=1263=33故三棱锥体积V=13333=33【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的求解问题，属于基础题.20.“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁.某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5, 0.5,1,.,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中a的值；(2)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由【答案】(1)0.3；(2)16.2万；(3)2.8吨.【解析】【分析】（1）通过频率之和为1，构造方程求得结果；（2）计算出样本中不低于2.5吨人数占比，从而求得全市的人数；（3）由频率分布直方图频率分布可知2.5x3，然后根据平均分布列方程求得相应结果.【详解】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为1即频率分布直方图各小矩形面积之和为10.50.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a=1解得：a=0.3（2）由图可知，不低于2.5吨人数所占百分比为0.50.3+0.12+0.08+0.04=27%全市月均用水量不低于2.5吨的人数为：600.27=16.2（万）（3）由（2）可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：73%即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨故2.5xb0，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=a2b2a2+b2若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点O为坐标原点，若OAOB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围.【答案】（1）椭圆C的方程为x22+y2=1，“相关圆”E的方程为x2+y2=23；（2）m63或m63.【解析】【分析】（1）由已知条件计算出椭圆C的方程和“相关圆”E的方程（2）直线与椭圆相交，联立方程组，由OAOB求出k、m之间关系，然后再表示出点到线的距离公式，即可求出结果【详解】解：（1）因为若抛物线x2=4y的焦点为(0,1)与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1，又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，故椭圆C的方程为y22+x2=1，“相关圆”E的方程为x2+y2=23（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程组y=kx+my22+x2=1得(2+k2)x2+2kmx+m2-2=0，=4k2m2-4(2+k2)(m2-2)=4(2k2-2m2+4)0，即k2-m2+20x1+x2=-2kmk2+2x1x2=m2-2k2+2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(m2-2)k2+2-2k2m2k2+2+m2=2m2-2k2k2+2由条件OAOB得3m2-2k2-2=0,所以原点O到直线的距离是d=|m|1+k2=m21+k2，由3m2-2k2-2=0得d=63为定值又圆心到直线的距离为63，直线与圆有公共点P，满足条件由0，即k2-m2+20，3m2-22-m2+20即m2+20又k2=3m2-220，即3m22，所以m223，即m63或m-63综上，m63或m-63【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，在计算过程中还要掌握点到线的距离公式，较为综合，需要熟练计算，并且能掌握解题方法22.已知函数fx=x2+ax+bex(xR，e为自然对数的底数)(1)若a=2,b=2，求函数fx的极值；(2)若x=1是函数fx的一个极值点，试求出a关于b的关系式(用a表示b)，并确定fx的单调区间；(3)在(2)的条件下，设a0，函数gx=a2+14ex+4若存在1,20,4使得f1g21成立，求a的取值范围【答案】当x=4时，函数f(x)有极大值，f(x)极大6e4，当a4时，单调递增区间为(,3a)和(1,+)，递减区间为(3a,1)11e2a0，当x(4,0)时f(x)0（或列表）4分当x=4时，函数f(x)有极大值，f(x)极大6e4，当x=0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小=2.-5分（2）由（1）知f(x)=x2+(2+a)x+(a+b)exx=1是函数f(x)的一个极值点 f(1)=0即e1+(2+a)+(a+b)=0，解得b=32a-6分则f(x)=exx2+(2+a)x+(3a)ex(x1)x+(3+a) KS*5U.C#O%下标令f(x)=0，得x1=1或x2=3ax=1是极值点，3a1，即a4-7分当3a1即a0得x(3a,+)或x(,1)由f(x)0得x(1,3a)-8分当3a4时，由f(x)0得x(1,+)或x(,3a)由f(x)0得x(3a,1)-9分综上可知：当a4时，单调递增区间为(,3a)和(1,+)，递减区间为(3a,1)-10分（3）由